算法的概念 人教版高中数学必修3教材教案.docx

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算法的概念人教版高中数学必修3教材教案

第一章算法初步

1.1算法与程序框图

1.1.1算法的概念

授课时间：

第周年月日（星期）

教学分析

算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：

“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固.

三维目标

1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.

2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.

3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.

重点难点

教学重点：

算法的含义及应用.

教学难点：

写出解决一类问题的算法.

教学过程

导入新课

思路1（情境导入）

一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？

请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法.

思路2（情境导入）

大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？

答案：

分三步，第一步：

把冰箱门打开；第二步：

把大象装进去；第三步：

把冰箱门关上.

上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.

思路3（直接导入）

算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？

要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.

推进新课新知探究提出问题

（1）解二元一次方程组有几种方法？

（2）结合教材实例

总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.

（3）结合教材实例

总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.

（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.

（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解.

（6）请同学们总结算法的特征.

（7）请思考我们学习算法的意义.

讨论结果：

（1）代入消元法和加减消元法.

（2）回顾二元一次方程组

的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：

第一步，①+②×2，得5x=1.③

第二步，解③，得x=

.

第三步，②-①×2，得5y=3.④

第四步，解④，得y=

.

第五步，得到方程组的解为

（3）用代入消元法解二元一次方程组

我们可以归纳出以下步骤：

第一步，由①得x=2y－1.③

第二步，把③代入②，得2（2y－1）+y=1.④

第三步，解④得y=

.⑤

第四步，把⑤代入③，得x=2×

－1=

.

第五步，得到方程组的解为

（4）对于一般的二元一次方程组

其中a1b2－a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤：

第一步，①×b2-②×b1，得

（a1b2－a2b1）x=b2c1－b1c2.③

第二步，解③，得x=

.

第三步，②×a1-①×a2，得（a1b2－a2b1）y=a1c2－a2c1.④

第四步，解④，得y=

.

第五步，得到方程组的解为

（5）算法的定义：

广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.

在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.

现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

（6）算法的特征：

①确定性：

算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：

算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：

算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.

（7）在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.

应用示例

思路1

例1

（1）设计一个算法，判断7是否为质数.

（2）设计一个算法，判断35是否为质数.

算法分析：

（1）根据质数的定义，可以这样判断：

依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数.

算法如下：

（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.

第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.

第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.

第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.

第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.

（2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：

第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.

第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.

第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.

第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.

变式训练

请写出判断n（n>2）是否为质数的算法.

分析：

对于任意的整数n（n>2），若用i表示2—（n-1）中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：

用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，再执行同样的操作.

这个操作一直要进行到i的值等于（n-1）为止.

算法如下：

第一步，给定大于2的整数n.

第二步，令i=2.

第三步，用i除n,得到余数r.

第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.

第五步，判断“i＞（n-1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.

例2写出用“二分法”求方程x2-2=0（x>0）的近似解的算法.

分析：

令f（x）=x2-2,则方程x2-2=0（x>0）的解就是函数f（x）的零点.

“二分法”的基本思想是：

把函数f（x）的零点所在的区间［a,b］（满足f（a）·f（b）<0）“一分为二”，得到［a,m］和［m,b］.根据“f（a）·f（m）<0”是否成立，取出零点所在的区间［a,m］或［m,b］，仍记为［a,b］.对所得的区间［a,b］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］“足够小”，则［a,b］内的数可以作为方程的近似解.

解：

第一步，令f（x）=x2-2,给定精确度d.

第二步，确定区间［a,b］，满足f（a）·f（b）<0.

第三步，取区间中点m=

.

第四步，若f（a）·f（m）<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为［a,b］.

第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f（m）是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步.

当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.

a

b

|a-b|

1

2

1

1

1.5

0.5

1.25

1.5

0.25

1.375

1.5

0.125

1.375

1.4375

0.0625

1.40625

1.4375

0.03125

1.40625

1.421875

0.015625

1.4140625

1.421875

0.0078125

1.4140625

1.41796875

0.00390625

于是，开区间（1.4140625,1.41796875）中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求

的近似值的一个算法.

例1一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？

请设计算法.

分析：

任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.

解：

具体算法如下：

算法步骤：

第一步：

人带两只狼过河，并自己返回.

第二步：

人带一只狼过河，自己返回.

第三步：

人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.

第四步：

人带一只羊过河，自己返回.

第五步：

人带两只狼过河.

强调：

算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.

知能训练

设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.

解：

算法步骤如下：

第一步，输入一元二次方程的系数：

a，b，c.

第二步，计算Δ=b2－4ac的值.

第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法.

强调：

用算法解决问题的特点是：

具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点.

拓展提升

中国网通规定：

拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.

解：

算法分析：

数学模型实际上为：

y关于t的分段函数.

关系式如下：

y=

其中［t－3］表示取不大于t－3的整数部分.

算法步骤如下：

第一步，输入通话时间t.

第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t∈Z是否成立，若成立执行

y=0.2+0.1×（t－3）；否则执行y=0.2+0.1×（［t－3］+1）.

第三步，输出通话费用c.

课堂小结

（1）正确理解算法这一概念.

（2）结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法.

作业

课本本节练习1、2.