《整式的乘法与因式分解》全章导学案.docx

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《整式的乘法与因式分解》全章导学案

第十四章　整式的乘法与因式分解

14．1　整式的乘法

14．1.1　同底数幂的乘法

1．掌握同底数幂的乘法的概念及其运算性质，并能运用其熟练地进行运算；

2．能利用同底数幂的乘法法则解决简单的实际问题．

重点：

同底数幂乘法的运算性质．

难点：

同底数幂乘法的运算性质的灵活运用．

一、自学指导

自学1：

自学课本P95－96页“问题1，探究及例1”，掌握同底数幂的乘法法则，完成下列填空．（7分钟）

1．根据乘方的意义填空：

（－a）2＝a2，（－a）3＝－a3；（m－n）2＝（n－m）2；（a－b）3＝－（b－a）3.

2．根据幂的意义解答：

52×53＝5×5×5×5×5＝55；32×34＝3×3×3×3×3×3＝36；a3·a4＝（a·a·a）·（a·a·a·a）＝a7；am·an＝am＋n（m，n都是正整数）；am·an·ap＝am＋n＋p（m，n，p都是正整数）．

总结归纳：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（5分钟）

1．课本P96页练习题．

2．计算：

（1）10·102·104；

（2）x2＋a·x2a＋1；（3）（－x）2·（－x）3；（4）（a＋1）（a＋1）2.

解：

（1）10·102·104＝101＋2＋4＝107；

（2）x2＋a·x2a＋1＝x（2＋a）＋（2a＋1）＝x3a＋3；

（3）（－x）2·（－x）3＝（－x）2＋3＝（－x）5＝－x5；

（4）（a＋1）（a＋1）2＝（a＋1）1＋2＝（a＋1）3.

点拨精讲：

第

（1）题中第一个因式的指数为1，第（4）题（a＋2）可以看作一个整体．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　计算：

（1）（－x）4·x10；

（2）－x4·（－x）8；（3）1000×10a×10a＋1；（4）（x－y）·（y－x）3.

解：

（1）（－x）4·x10＝x4·x10＝x14；

（2）－x4·（－x）8＝－x4·x8＝－x12；

（3）1000×10a×10a＋1＝103·10a·10a＋1＝102a＋4；

（4）（x－y）·（y－x）3＝－（y－x）·（y－x）3＝－（y－x）4.

点拨精讲：

应运用化归思想将之化为同底数的幂相乘，运算时要先确定符号．

探究2　已知am＝3，an＝5（m，n为整数），求am＋n的值．

解：

am＋n＝am·an＝3×5＝15

点拨精讲：

一般逆用公式有时可使计算简便．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．计算：

（1）a·a2·a4；

（2）x·x2＋x2·x；

（3）（－p）3·（－p）2＋（－p）4·p；

（4）（a＋b）2m（a＋b）m＋1；

（5）（x－y）3（x－y）2（y－x）；

（6）（－x）4·x7·（－x）3.

解：

（1）a·a2·a4＝a7；

（2）x·x2＋x2·x＝x3＋x3＝2x3；

（3）（－p）3·（－p）2＋（－p）4·p＝（－p）5＋p4·p＝－p5＋p5＝0；

（4）（a＋b）2m（a＋b）m＋1＝（a＋b）3m＋1；

（5）（x－y）3（x－y）2（y－x）＝－（x－y）3（x－y）2（x－y）＝－（x－y）6；

（6）（－x）4·x7·（－x）3＝x4·x7·（－x3）＝－x14.

点拨精讲：

注意符号和运算顺序，第1题中a的指数1千万别漏掉了．

2．已知3a＋b·3a－b＝9，求a的值．

解：

∵3a＋b·3a－b＝32a＝9，∴32a＝32，∴2a＝2，即a＝1.

点拨精讲：

左边进行同底数幂的运算后再对比指数．

3．已知am＝3，am＋n＝6，求an的值．

解：

∵am＋n＝am·an＝6，an＝3，∴3×an＝6，∴an＝2.

（3分钟）1.化归思想方法（也叫做转化思想方法）是人们学习、生活、生产中的常用方法．遇到新问题时，可把新问题转化为熟知的问题，例如（－a）6·a10转化为a6·a10.

2．联想思维方法：

要注意公式之间的联系，例如看到am＋n就要联想到am·an，它是公式的逆用．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

14．1.2　幂的乘方

1．理解幂的乘方法则；

2．运用幂的乘方法则计算．

重点：

理解幂的乘方法则．

难点：

幂的乘方法则的灵活运用．

一、自学指导

自学1：

自学课本P96－97页“探究及例2”，理解幂的乘方的法则完成填空．（5分钟）

（1）52中，底数是5，指数是2，表示2个5相乘；（52）3表示3个52相乘；

（2）（52）3＝52×52×52（根据幂的意义）

＝5×5×5×5×5×5（根据同底数幂的乘法法则）

＝52×3；

（am）2＝am·am＝a2m（根据am·an＝am＋n）；

（am）n＝am·am…am,\s\up6（n个am））（根据幂的意义）

＝am＋m＋…＋m,\s\up6（n个m））（根据同底数幂的乘法法则）

＝amn（根据乘法的意义）．

总结归纳：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n都是正整数）．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（7分钟）

1．课本P97页练习题．

2．计算：

（1）（103）2；

（2）（x3）5；（3）（－xm）5；（4）（a2）4·a5.

解：

（1）（103）2＝103×2＝106；

（2）（x3）5＝x3×5＝x15；

（3）（－xm）5＝－x5m；（4）（a2）4·a5＝a2×4·a5＝a8·a5＝a13.

点拨精讲：

遇到乘方与乘法的混算应先乘方再乘法．

3．计算：

（1）[（－x）3]2；

（2）（－24）3；（3）（－23）4；

（4）（－a5）2＋（－a2）5.

解：

（1）[（－x）3]2＝（－x3）2＝x6；

（2）（－24）3＝－212；（3）（－23）4＝212；（4）（－a5）2＋（－a2）5＝a10－a10＝0.

点拨精讲：

弄清楚底数才能避免符号错误，混合运算时首先确定运算顺序．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　若42n＝28，求n的值．

解：

∵4＝22，∴42n＝（22）2n＝24n，∴4n＝8，∴n＝2

点拨精讲：

可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．

探究2　已知am＝3，an＝4（m，n为整数），求a3m＋2n的值．

解：

a3m＋2n＝a3m·a2n＝（am）3·（an）2＝33×42＝27×16＝432.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．填空：

108＝（　　）2，b27＝（　　）9，（ym）3＝（　　）m，p2n＋2＝（　　　）2.

2．计算：

（1）（－x3）5；

（2）a6（a3）2·（a2）4；（3）[（x－y）2]3；（4）x2x4＋（x2）3.

解：

（1）（－x3）5＝－x15；

（2）a6（a3）2·（a2）4＝a6·a6·a8＝a20；（3）[（x－y）2]3＝（x－y）6；（4）x2x4＋（x2）3＝x6＋x6＝2x6.

3．若xmx2m＝3，求x9m的值．

解：

∵xmx2m＝3，∴x3m＝3，∴x9m＝（x3m）3＝33＝27.

（3分钟）公式（am）n的逆用：

amn＝（am）n＝（an）m.

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

14．1.3　积的乘方

1．理解积的乘方法则．

2．运用积的乘方法则计算．

重点：

理解积的乘方法则．

难点：

积的乘方法则的灵活运用．

一、自学指导

自学1：

自学课本P97－98页“探究及例3”，理解积的乘方的法则，完成填空．（5分钟）

填空：

（1）（2×3）3＝216，23×33＝216；（－2×3）3＝－216，（－2）3×33＝－216．

（2）（ab）n＝（ab）·（ab）……（ab）（n）个＝（a·a……a）（n）个·（b·b……b）（n）个＝anbn．

总结归纳：

积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）．

推广：

（abc）n＝anbncn（n是正整数）．

点拨精讲：

积的乘方法则的推导实质是从整体到部分的顺序去思考的．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（7分钟）

1．课本P98页练习题．

2．计算：

（1）（ab）3；

（2）（－3xy）3；（3）（－2×104）3；（4）（2ab2）3.

解：

（1）（ab）3＝a3b3；

（2）（－3xy）3＝－27x3y3；（3）（－2×104）3＝（－2）3×（104）3＝－8×1012；（4）（2ab2）3＝8a3b6.

3．一个正方体的棱长为2×102毫米．

（1）它的表面积是多少？

（2）它的体积是多少？

解：

（1）6×（2×102）2＝6×（4×104）＝2.4×105，则它的表面积是2.4×105平方毫米；

（2）（2×102）3＝8×106，则它的体积是8×106立方毫米．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　计算：

（1）（a4·b2）3；

（2）（anb3n）2＋（a2b6）n；（3）[（3a3）2＋（a2）3]2.

解：

（1）（a4·b2）3＝a12b6；

（2）（anb3n）2＋（a2b6）n＝a2nb6n＋a2nb6n＝2a2nb6n；（3）[（3a3）2＋（a2）3]2＝（9a6＋a6）2＝（10a6）2＝100a12.

点拨精讲：

注意先乘方再乘除后加减的运算顺序．

探究2　计算：

（1）（

）2013×（

）2014；

（2）0.12515×（215）3.

解：

（1）（

）2013×（

）2014＝（

）2013×（

）2013×

＝（

×

）2013×

＝

；

（2）0.12515×（215）3＝（

）15×（23）15＝（

×23）15＝1.

点拨精讲：

反用（ab）n＝anbn可使计算简便．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．计算：

（1）－（－3a2b3）2；

（2）（2a2b）3－3（a3）2b3；（3）（－0.25）2008×（－4）2009.

解：

（1）－（－3a2b3）2＝－9a4b6；

（2）（2a2b）3－（3a3）2b3＝8a6b3－9a6b3＝－a6b3；（3）（－0.25）2008×（－4）2009＝（

）2008×（－42009）＝－（

×4）2008×4＝－4.

点拨精讲：

可从里向外乘方也可从外向内乘方，但要注意符号问题．在计算中如遇底数互为相反数指数相同的，可反用积的乘方法则使计算简便．

2．填空：

4ma3mb2m＝（4a3b2）m.

（3分钟）公式（ab）n＝anbn（n为正整数）的逆用：

anbn＝（ab）n（n为正整数）．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

14．1.4　整式的乘法

（1）

1．了解单项式与单项式的乘法法则；

2．运用单项式与单项式的乘法法则计算．

重点：

单项式与单项式的乘法法则．

难点：

运用单项式与单项式的乘法法则计算．

一、自学指导

自学1：

自学课本P98－99页“思考题及例4”，理解单项式与单项式乘法的法则，完成下列填空．（5分钟）

1．填空：

（ab）c＝（ac）b；aman＝aman＝am＋n（m，n都是正整数）；（am）n＝amn（m，n都是正整数）；（ab）n＝anbn（n都是正整数）．

2．计算：

a2－2a2＝－a2，a2·2a3＝2a5，（－2a3）2＝4a6；

x2yz·4xy2＝（

×4）·x（2＋1）y（1＋2）z＝2x3y3z．

总结归纳：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

点拨精讲：

单项式乘以单项式运用乘法的交换律和结合律将数和同底数幂分别结合在一起．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（7分钟）

1．课本P99页练习题1，2.

2．计算：

（1）3x2·5x3；

（2）4y·（－2xy2）；（3）（3x2y）3·（－4x）；（4）（－2a）3·（－3a）2；（5）－6x2y·（a－b）3·

xy2·（b－a）2.

解：

（1）3x2·5x3＝（3×5）·（x2·x3）＝15x5；

（2）4y·（－2xy2）＝（－4×2）·x·（y·y2）＝－8xy3；（3）（3x2y）3·（－4x）＝27x6y3·（－4x）＝（－27×4）·（x·x6）·y3＝－108x7y3；（4）（－2a）3·（－3a）2＝（－8a3）·9a2＝（－8×9）·（a3·a2）＝－72a5；（5）－6x2y·（a－b）3·

xy2·（b－a）2＝（－6×

）（x2·x）（y·y2）[（a－b）3·（a－b）2]＝－2x3y3（a－b）5.

点拨精讲：

先乘方再算单项式与单项式的乘法，（a－b）看作一个整体，一般情况选择偶数次幂变形符号简单一些．

3．已知单项式－3x4m－ny2与

x3ym＋n的和为一个单项式，则这两个单项式的积是－

x6y4．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　若（－2xm＋1y2n－1）·（5xnym）＝－10x4y4，求－2m2n·（－

m3n2）2的值．

解：

∵（－2xm＋1y2n－1）·（5xnym）＝－10x4y4，∴－10xm＋n＋1y2n＋m－1＝－10x4y4，∴

∴

∴－2m2n·（－

m3n2）2＝－

m8n5＝－

×18×25＝－16.

探究2　宇宙空间的距离通常以光年作单位，一光年是光在一年内通过的距离，如果光的速度约为3×105千米/秒，一年约为3.2×107秒，则一光年约为多少千米？

解：

依题意，得（3×105）×（3.2×107）＝（3×3.2）·（105×107）＝9.6×1012.

答：

一光年约为9.6×1012千米．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．一种电子计算机每秒可做2×1010次运算，它工作2×102秒可做4×1012次运算．

2．已知x2n＝3，则（

x3n）2·4（x2）2n的值是12．

3．小华家新购了一套结构如图的住房，正准备装修．

（1）用代数式表示这套住房的总面积为15xy；

（2）若x＝2.5m，y＝3m，装修客厅和卧室至少需要112.5平方米的木地板．

（3分钟）单项式与单项式相乘：

积的系数等于各系数相乘，这部分为数的计算，应该先确定符号，再确定绝对值；积的字母部分运算法则为相同字母不变，指数相加；单个的字母及其指数写下来；单项式与单项式相乘，积仍是单项式；单项式与单项式乘法法则的理论依据是乘法的交换律和结合律．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

14．1.4　整式的乘法

（2）

1．了解单项式与多项式的乘法法则．

2．运用单项式与多项式的乘法法则计算．

重点：

单项式与多项式的乘法法则．

难点：

灵活运用单项式与多项式的乘法法则计算．

一、自学指导

自学1：

自学课本P99－100页“例5”，理解单项式与多项式乘法的法则，完成下列填空．（5分钟）

乘法的分配律：

m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc．

总结归纳：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（7分钟）

1．课本P100页练习题1，2.

2．计算：

（1）－5x（2x3－x－3）；

（2）2x（

x3－3x＋1）；

（3）（－2a3）（4ab3－2ab2）；

（4）（－3m－1）·（－2m）2.

解：

（1）－5x（2x3－x－3）＝－5x·2x3＋5x·x＋5x×3＝－10x4＋3x2＋15x；

（2）2x（

x3－3x＋1）＝2x·

x3－2x·3x＋2x·1＝3x4－6x2＋2x；

（3）（－2a3）（4ab3－2ab2）＝－2a3·4ab3＋2a3·2ab2＝－8a4b3＋4a4b2；

（4）（－3m－1）·（－2m）2＝（－3m－1）·4m2＝－3m·4m2－1×4m2＝－12m3－4m2.

3．要使x（x＋a）＋3x－2b＝x2＋5x＋4成立，则a＝2，b＝－2．

4．长方体的长、宽、高分别为4x－3，x和2x，它的体积为8x3－6x2．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　解方程：

8x（5－x）＝17－2x（4x－3）．

解：

40x－8x2＝17－8x2＋6x，34x＝17，x＝

.

探究2　先化简，再求值：

x2（3－x）＋x（x2－2x）＋1，其中x＝

.

解：

x2（3－x）＋x（x2－2x）＋1＝3x2－x3＋x3－2x2＋1＝x2＋1，当x＝

时，原式＝（

）2＋1＝3＋1＝4.

点拨精讲：

所谓的化简即去括号、合并同类项．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．解方程：

2x（7－2x）＋5x（8－x）＝3x（5－3x）－39

解：

14x－4x2＋40x－5x2＝15x－9x2－39，39x＝－39，x＝－1.

2．求下图所示的物体的体积．（单位：

cm）

解：

x·3x·（5x＋2）＋2x·x·（5x＋2）＝3x2·（5x＋2）＋2x2·（5x＋2）＝25x3＋10x2.

答：

物体的体积为（25x3＋10x2）cm3.

3．x为何值时，3（x2－2x＋1）与x（3x－4）的差等于5?

解：

依题意，得3（x2－2x＋1）－x（3x－4）＝5，3x2－6x＋3－3x2＋4x＝5，－2x＝2，x＝－1，

答：

当x＝－1时，3（x2－2x＋1）与x（3x－4）的差等于5.

（3分钟）单项式与多项式相乘：

理论依

据是乘法的分配律；单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；计算时都要注意符号问题，多项式中每一项都包括它的符号，同时要注意单项式的符号．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

14．1.4　整式的乘法（3）

1．了解多项式与多项式相乘的法则．

2．运用多项式与多项式相乘的法则进行计算．

重点：

理解多项式与多项式相乘的法则．

难点：

灵活运用多项式与多项式相乘的法则进行计算．

一、自学指导

自学1：

自学课本P100－101页“问题、例6”，理解多项式乘以多项式的法则，完成下列填空．（5分钟）

看图填空：

大长方形的长是a＋b，宽是m＋n，面积等于（a＋b）（m＋n），图中四个小长方形的面积分别是am，bm，an，bn，由此可得（a＋b）（m＋n）＝am＋bm＋an＋bn．

总结归纳：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；

点拨精讲：

以数形结合的方法解决数学问题更直观．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（7分钟）

1．课本P102页练习题1，2.

2．计算：

（1）（a＋3）（a－1）＋a（a－2）；

（2）（x＋2y）（x－2y）－

y（

x－8y）；

（3）（x2＋3）（x－2）－x（x2－2x－2）．

解：

（1）（a＋3）（a－1）＋a（a－2）＝a2－a＋3a－3＋a2－2a＝2a2－3；

（2）（x＋2y）（x－2y）－

y（

x－8y）＝x2－2xy＋2xy－4y2－

xy＋4y2＝x2－

xy；

（3）（x2＋3）（x－2）－x（x2－2x－2）＝x3－2x2＋3x－6－x3＋2x2＋2x＝5x－6.

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　计算下列各式，然后回答问题：

（1）（a＋2）（a＋3）＝a2＋5a＋6；

（2）（a＋2）（a－3）＝a2－a－6；

（3）（a－2）（a＋3）＝a2＋a－6；

（4）（a－2）（a－3）＝a2－5a＋6．

从上面的计算中，你能总结出什么规律：

（x＋m）（x＋n）＝x2＋（m＋n）x＋mn．

点拨精讲：

这种找规律的问题要依照整体到部分的顺序，看哪些没变，哪些变了，是如何变的，从而找出规律．

探究2　在（ax＋3y）与（x－y）的积中，不含有xy项，求a2＋3a－1的值．

解：

∵（ax＋3y）（x－y）＝ax2－axy＋3xy－3y2＝ax2＋（3－a）xy－3y2，依题意，得3－a＝0，∴a＝3，∴a2＋3a－1＝32＋3×3－1＝9＋9－1＝17.

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．先化简，再求值：

（x－2y）（x＋3y）－（2x－y）（x－4y），其中：

x＝－1，y＝2.

解：

∵（x－2y）（x＋3y）－（2x－y）（x－4y）

＝x2＋3xy－2xy－6y2－（2x2－8xy－xy＋4y2）

＝x2＋3xy－2xy－6y2－2x2＋8xy＋xy－4y2

＝－x2＋10xy－10y2.

当x＝－1，y＝2时，原式＝－（－1）2＋10×（－1）×2－10×22＝－1－20－40＝－61.

2．计算：

（1）（x－1）（x－2）；

（2）（m－3）（m＋5）；

（3）（x＋2）（x－2）．

解：

（1）（x－1）（x－2）＝x2－3x＋2；

（2）（m－3）（m＋5）＝m2＋2m－15；

（3）（x＋2）（x－2）＝x2－4.

3．若（x＋4）（x－6）＝x2＋ax＋b，求a2＋ab的值．

解：

∵（x＋4）（x－6）＝x2－2x－24，又∵（x＋4）（x－6）＝x2＋ax＋b，∴a＝－2，b＝－24.

∴a2＋ab＝（－2）2＋（－2）×（－24）＝4＋48＝52.

点拨精讲：

第2题应先将等式两边计算出来，再对比各项，得出结果．

（3分钟）在多项式的乘法运算中，必须做到不重不漏，并注意合并同类项．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

14．1.4　整式的乘法（4）

1．掌握同底数幂的除法运算法则，会熟练运用法则进行运算；并了解零指数幂的意义，并注意对底数的限制条件．

2．单项式除以单项式的运算法则及其应用．

3．多项式除以单项式的运算法则及其应用．

重点：

理解单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，理解零指数幂的意义．

难点：

单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则及灵活运用．

一、自学指导

自学1：

自学课本P102－103页“例7”，掌握同底数幂的除法、单项式除以单项式的运算法则，完成下列填空．（5分钟）

1．填空：

26×28＝26＋8＝214，214÷28＝214－8＝26．

总结归纳：

同底数幂的除法法则——am÷an＝am－n（a≠0，n，m为正整数，且m＞n），即同底数幂相除，底数不变，指数相减．

2．∵am÷am＝1，而am÷am＝a（m－m）＝a0，∴a0＝1（a≠0）．（a为什么不能等于0？

）

总结归纳：

任何不等于a的数的0次幂都等于1．

3．2a·4a2＝8a3；3xy·2x2＝6x3y；3ax2·4ax3＝12a2x5；8a3÷2a＝4a2；6x3y÷3xy＝2x2．

总结归纳：

单项式除以单项式法则——单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的