第14章整式的乘法.docx

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第14章整式的乘法

第14章整式的乘法

14.1幂的运算

1、同底数幂的乘法

教学目标

1．熟记同底数幂的乘法的运算性质，了解法则的推导过程。

2．能熟练地进行同底数幂的乘法运算。

3．通过法则的习题教学，训练学生的归纳能力，感悟从未知转化成已知的思想。

4．会逆用公式aman＝am＋n。

教学重难点

重点：

掌握并能熟练地运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算。

难点：

对法则推导过程的理解及逆用法则。

教学过程一、复习活动，

1．填空。

（1）2×2×2×2×2＝（），a·a·…·a＝（）

　m个

（2）指出各部分名称。

2．应用题计算。

（1）1平方千米的土地上，一年内从太阳中吸收的能量相当于燃烧105千克煤所产生的热量。

那么105平方千米的土地上，一年内从太阳中吸收的能量相当于燃烧多少千克煤?

（2）卫星绕地球运行的速度为第一宇宙速度，达到7.9×l05米／秒，求卫星绕地球3×103秒走过的路程?

由这两个问题引出本节课的学习内容：

同底数幂的乘法。

二、探索，概括。

1．下述题目，要求学生说出每一步变形的根据之后，再提问让学生直接说出23×25＝（），36×37＝（），由此可发现什么规律?

（1）23×22＝（）×（）＝2（），

（2）53×52＝（）×（）＝5（），

（3）a3a4＝（）×（）＝a（）。

2．如果把a3×a4中指数3和4分别换成字母m和n（m、n为正整数），你能写出aman的结果吗?

你写的是否正确?

（让学生猜想，并验证。

）

即am·an＝am＋n（m、n为正整数）

这就是同底数幂的乘法法则。

让学生用文字语言表述法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

3．说明。

同底数幂的乘法法则是初中数学中第一个关于幂的运算法则，应充分展示教学过程。

　三、举例及应用。

1．例1计算：

（1）103×104

（2）a·a3

（3）a·a3·a5

2、练习

做课本第73页练习的第1题。

补充习题。

3、提问：

通过以上练习，你对同底数是如何理解的？

在应用同底数幂的运算法则中，应注意什么？

四、拓展延伸。

由aman＝am＋n，可得am＋n＝aman（m、n为正整数。

）

例2已知am＝3，am＝8，则am＋n＝（）

五、巩固练习。

补充习题。

六、课堂小结。

1．在运用同底数幂的乘法法则解题时，必须知道运算依据。

2．“同底数”可以是单项式，也可以是多项式。

3．不是同底数时，首先要化成同底数。

七、布置作业。

1．课本第75页习题14.1第1题的

（1）、

（2）、（4）。

2、幂的乘方

教学目标

1．熟记幂的乘方的运算法则，知道幂的乘方性质是根据乘方的童义和同底数幂的乘法性质推导出来的。

2．能熟练地进行幂的乘方的运算。

3．会双向应用幂的乘方公式。

4．在双向应用幂的乘方运算公式中，培养学生思维的灵活性。

教学重难点

重点：

理解幂的乘方的意义，掌握幂的乘方法则。

难点：

注意与同底数幂的乘法的区别。

教学过程

一、复习活动。

1．如果—个正方体的棱长为16厘米，即42厘米，那么它的体积是多少?

2．计算：

（1）a4·a4·a4；

（2）x3·x3·x3·x3。

3．你会计算（a4）3与（x3）5吗?

（由第1题得出幂的乘方的课题，第2题是复习同底数幂的乘法，第3题既是复习又是引入。

对于第3题应着重让学生讨论。

）

二、新授。

1．x3表示什么意义?

2．如果把x换成a4，那么（a4）3表示什么意义?

3．怎样把a2·a2·a2·a2＝a2＋2＋2＋2写成比较简单的形式?

4．由此你会计算（a4）5吗?

5．根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空。

（1）（23）2＝23×23＝2（）；

（2）（32）3＝（）×（）×（）＝3（）；

（3）（a3）5＝a3×（）×（）×（）×（）＝a（　）。

6．用同样的方法计算：

（a3）4；（a11）9；（b3）n（n为正整数）。

这几道题学生都不难做出，在处理这类问题时，关键是如何得出3＋3＋3＋3＝12，教师应多举几例。

教师应指出这样处理既麻烦，又容易出错。

此时应让学生思考，有没有简捷的方法?

引导学生认真思考，并得到：

（23）2＝23×2＝26；

（32）3＝32×3＝36；

（a11）9＝a11×9＝a99

（b3）n＝b3×n＝b3n

（现察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?

结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?

）

怎样说明你的猜想是正确的?

即（am）n＝am·n（m、n是正整数）。

这就是幂的乘方法则。

　你能用语言叙述这个法则吗?

　幂的乘方，底数不变，指数相乘。

三、举例及应用。

1.例1计算：

（课本例2。

）

（1）（103）5；

（2）（b3）4。

（此题是法则的直接应用，教师应示范解题步骤。

）

2．练习。

课本第74页练习第2题。

3．例2下列计算过程是否正确?

（1）x2·x6·x3＋x5·x4·x＝xll＋x10＝x2l。

（2）（x4）2＋（x5）3＝x8＋x15＝x23

（3）a2·a·a5＋a3·a2·a3＝a8＋a8＝2a8。

（4）（a2）3＋a3·a3＝a6＋a6＝2a6。

说明。

（1）要让学生指出题中的错误并改正，通过解题进一步明确算理，避免公式用错。

（2）进一步要求学生比较“同底数幂的乘法法则”与“幂的乘方法则”的区别与联系。

4．练习。

（1）课本第74页练习的第1题。

5．例3填空。

（1）a12＝（a3）（）＝（a2）（）＝a3·a（）＝（a（））2；

（2）93＝3（）；

（3）32×9n＝32×3（）＝3（）。

（此题要求学生会逆用幂的乘方和同底数幂的乘法公式，灵活、简捷地解题。

）

6．练习。

四、巩固练习。

补充习题。

五、课堂小结。

1．（am）n＝am·n（m、n是正整数），这里的底数a，可以是数、是字母、也可以是代数式；这里的指数是指幂指数及乘方的指数。

2．对于同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项这三个法则，要理解它们的联系与区别。

在利用法则解题时，要正确选用法则，防止相互之间发生混淆（如：

am·an＝amn（am）n＝am＋n）。

并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯。

六、布置作业。

课本第75页习题14．I第2、4题。

3、积的乘方

教学目标

1.能说出积的乘方性质并会用式子表示。

2.使学生理解并掌握积的乘方的法则。

3.使学生能灵活地运用积的乘方的法则进行计算。

4.通过法则的推导过程培养学生分析问题、解决问题的能力。

教学重难点

重点：

探索积的乘方法则的形成过程。

难点：

积的乘方公式的推导及公式的逆用。

教学准备

学生：

4张正方形硬纸片、若干张边长为a的小正方形纸片。

教学过程

一、提问。

1.a2·a3＝a5，也就是说：

（）。

即am·an＝am＋n（m、n为正整数）。

（让学生明白所用到的运算法则及运算律。

）

2.（a3）7＝a（），也就是说：

（）。

即（am）n＝am·n（m、n为正整数。

）

（让学生明白同底数幂的乘法与幂的乘方法则的区别。

）

二、引导观察。

1.计算。

22×32＝4×9＝36。

（2×3）2＝（2×3）（2×3）＝6×6＝36。

从而得到：

（2×3）2＝22×32＝36。

进而猜想：

（ab）2与a2b2是否相等?

从而引出课题：

积的乘方。

2.问题。

现有4张边长为m的正方形硬纸片，你能否拼成一个正方形?

若能，请你表示它的面积，看你能用几种不同的方法表示新的正方形的面积?

3.探索，概括。

于是我们得到了积的乘方法则：

（ab）n＝anbn（n是正整数）。

这就是说，积的乘方，等于各因数乘方的积。

教师应一步一步地引导学生，得出结论（因为指数是用字母表示的，就学生的思维状况来说是个难点）。

然后让学生自己对照公式总结，自己叙述出法则。

4．引导学生剖析积的乘方法则。

问题。

三个或三个以上因式的积的乘方，是不是也具有这一性质?

（1）（abc）n＝（ab）ncn＝anbncn。

即（abc）n＝anbncn（n为正整数）。

三、举例及应用。

1．例3计算：

（1）（－2b）3；

（2）（2×a3）2；

（3）（－a）3；

（4）（－3x）4。

（第

（1）题由学生回答，教师板演，并要求学生说出每一步的根据是什么；第

（2）、（3）、（4）题由学生完成，根据学生完成的情况，提醒学生注意：

①系数的乘方；②因数中若有幂的形式，要注意运算步骤，先进行积的乘方，后作因数幂的乘方。

）

2．练习。

（1）课本第75页练习的第1题。

四、巩固练习。

课本第75页习题14．1第4题的

（2）、（3）、（5）。

五、拓展延伸。

因为（ab）n＝anbn，所以anbn＝（ab）n.

逆用性质进行计算：

（1）24×44×0.1254＝（2×4×0.125）4。

（2）（－4）2002×（0.25）2002＝?

六、看谁做的又快又正确?

1．（－5ab）2＝（）

2．（xy2）3＝（）

3．（－2xy3）4＝（）；

4．（－2×103）＝（）；

5．（－3a）3＝（）。

七、开放性练习。

准备若干张边长为a的小正方形纸片，让学生前后位四人一组，动手拼图形。

现有若干个边长为a的小正方形纸片，你能拼出一个新的正方形吗?

多少个小正方形才能拼成一个新的正方形?

并用不同的表示方法表示新正方形的面积。

从不同的表示法中，你发现了什么?

八、课堂小结。

这节课你有什么收获?

学到了什么?

还有哪些需要老师帮你解决的问题?

请注意：

积的乘方要将每一因式（特别是系数）都要乘方。

九、布置作业。

课本第76页习题14.1第4题

（1）、（4）。

14．2整式的乘法

1、单项式与单项式相乘

教学目标

1．通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则。

2．掌握单项式相乘的几何意义。

3．会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算中的问题。

4．培养学生合作、探究的意识，养成良好的学习习惯。

教学重难点

重点：

单项式与单项式相乘的法则。

难点：

单项式与单项式相乘的法则的应用；单项式相乘的几何意义。

教学过程

一、复习活动。

我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗；

1．判断下列计算是否正确，如有错误加以改正。

（1）a3·a5＝a10

（2）a·a2·a5＝a7；

（3）（a3）2＝a9；

（4）（3ab2）2·a4＝6a2b4。

2．计算：

（1）10×102×104＝（）；

（2）（a＋b）·（a＋b）3·（a＋b）4＝（）；

（3）（－2x2y3）2＝（）。

二、导入新课。

我们刚才已经复习了幂的运算性质。

从本节开始，我们学习整式的乘法。

我们知道，整式包括什么?

（包括单项式和多项式。

）因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式。

这节课我们就来学习最简单的一种：

单项式与单项式相乘。

三、达标导学。

1．探索目标一。

单项式与单项式相乘，怎样计算呢?

我们采看这样一个问题。

一个长方体底面积是4xy，高是3x，那么这个长方体的体积是多少?

学生探讨4xy·3x如何计算?

3x＝3·x，4xy＝4·xy，

因此4xy·3x＝4·xy·3·x＝（4·3）·（x·y）·y＝12x2y。

（要强调解题的步骤和格式。

）

2．探索目标二。

仿照刚才的作法，你能解出下面的题目吗?

（1）3x2y·（－2xy3）＝[3·（－2）]·（x·x2）·（y·y3）＝－6x3y4。

（2）（－5a2b3）·（－4b2c）＝[（－5）×（－4）]·a2·（b3·b2）·c＝20a2b5c。

总结法则：

单项式和单项式相乘，系数与系数相乘，相同字母的幂分别相乘；对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

学生练习课本第77页练习第1题。

把题目分两组，指名两个学生上黑板做题。

同时教师巡视，辅导，纠正。

3．探索目标三。

我们已经掌握了两个单项式相乘的情况，那么三个或三个以上的单项式相乘，你会不会计算呢?

计算：

3a3b·2ab2·（－5a2b2）。

4．探索目标四。

单项式与单项式相乘，在实际生活和科学计算中有着非常重要的应用，尤其是在航天方面，因为它涉及的数据很大，因此经常要用到科学记数法和单项式相乘的法则。

看下面的例子。

小资料：

飞向太空要靠载人航天器，自前苏联宇航员加加林乘“东方1号”宇宙飞船首次游太空以来，39年间已有12人登上月球。

载人航天器必须达到第一宇宙速度每秒7.9千米，才能围绕地球运转而不坠落至地。

例题:

卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约7.9×103米／秒，则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少?

5．探索目标五。

单项式相乘的几何意义。

边长是a的正方形的面积是a·a，反过来说，a·a也可以看作是边长为a的正方形的面积。

探讨：

3a·2a的几何意义。

探讨：

3a·5ab的几何意义。

可以看做是长为a，宽为5b，高为3a的长方体的体积，也可以看做是长为5a，宽为b，高为3a的长方体的体积。

四、拓展延伸。

1．－4mn3·3mn2；

2．－3a2c·（－2ab2）2；

3．3x·（－4x2y）·2y；

4．光速约为3×l08米／秒，太阳光射到地球上的时间约为5×102秒。

则地球与太阳的距离约为多少米?

五、课堂小结。

你能说说，这节课我们学习了哪些内容?

你有什么收获?

六、布置作业。

1．课本第77页练习的第3题。

2．课本第80页习题14．2的第2题。

2、单项式与多项式相乘

教学目标

1．能说出单项式与多项式相乘的法则，并且知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项式。

2．会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算。

3．通过例题教学，培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

教学重难点

重点：

本节课的教学重点是掌握单项式乘以多项式的法则。

难点：

熟练地运用法则，准确地进行计算。

教学过程

一、复习活动。

1．单项式与单项式相乘的法则?

单项式乘以单项式就是系数与系数相乘，相同字母按同底数的幂相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

2．完成下列各题。

（1）2x2·（－4xy）＝（）；

（2）（－2x2）·（－3xy）＝（）；

（3）（－

ab）·（

ab2）＝（）；

（4）12（

－

＋

）

二、引导观察，图形演示。

1．在l2×（

－

＋

）中，你是怎样计算的?

用什么样的方法较简单?

（乘法分配律。

）

即12×（

－

＋

）＝12×

－12×

＋12×

。

2．我们知道代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，你会计算m（a＋b＋c）吗?

（引导学生用乘法的分配律解决。

）

3．你算出的结果能否用长方形的面积加以验证?

（出示图。

）

大长方形的面积有两种表示方法，一是长为a＋b＋c，宽为m，面积是m（a＋b＋c）；二是三个小长方形的面积和，即am＋bm＋cm。

它们都是大长方形的面积，所以它们是相等的，即m（a＋b＋c）＝am＋bm＋cm。

4．在m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc中，“m”是单项式，“a＋b＋c”是多项式，这两者相乘，从中你能看出什么规律?

（在教师的引导下，学生总结出法则，并用语言叙述。

）

法则：

单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。

用式子表示为：

m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc

三、举例及应用。

1．例1计算：

（－2a2）·（3ab2－5ab3）。

解：

（－2a2）·（3ab2－5ab3）

　　＝（－2a2）·3ab2＋（－2a2）·（－5ab3）

　　＝－6a3b2＋l0a3b3。

（此题是为了熟悉法则，解题时要严格按法则，教师示范解题格式。

）

2．例2计算：

（3a2－5b）·2a2。

　此题是否是单项式乘以多项式?

应怎样计算?

　（引导学生归纳出当单项式在右边时，法则仍然成立。

）

　3．练习。

　课本第78页练习第1题。

　4．例3计算：

－2a2（

ab＋b2）－5a（a2b－ab2）。

（该题是含有两个单项式与多项式相乘的混合运算，对于后一个括号中的“－”的处理，要看成是单项式的符号。

）

5．练习。

课本第78页练习第2题。

四、巩固练习。

补充习题。

五、问题思考。

1．当多项式中的项数多于三项时，法则是否成立?

2．非零单项式乘以不含同类顶的多项式，其积仍是多项式，积的项数与多项式的项数有什么联系?

六、课堂小结。

1、注意不要漏乘任何一项。

2、注意“－”的问题。

3、在几个单项式乘以多项的混合运算中，要注意运算顺序，完成乘法后，要合并同类项，得出最简结果。

七、布置作业。

课本第80页习题14、2第3题的

（2）第4题。

3、多项式与多项式相乘

教学目标

1．能说出多项式与多项式相乘的法则，并且知道多项式乘以多项式的结果仍然是多项式。

会进行多项式乘以多项式的计算及混合运算。

1．培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力。

3．培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望及能力。

教学重难点

重点：

掌握多项式乘以多项式的法则。

难点：

运用法则进行混合运算时，不要漏项。

教学过程

一、复习活动。

指名学生说出单项式与多项式相乘的法则。

（单项式乘以多项式就是用单项式乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加。

）

二、引导观察，图形演示。

1．式子p（a＋b）=pa＋pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式。

如果p=m＋n，那么p（a＋b）就成了（m＋n）（a＋b），这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题。

（由此引出课题。

）

你会计算这个式子吗?

你是怎样计算的?

（教师引导学生由繁化简，把m＋n看作一个整体，使之转化为单项式乘以多项式，即：

[（m＋n）（a＋b）=（m＋n）a＋（m＋n）b=ma＋mb＋na＋nb。

]

2．你能用图形验证你算出的式子吗?

某地区在退耕还林期间，有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米。

请你表示这块林区现在的面积。

问题：

（1）如何表示扩大后的林区的面积?

（2）用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢?

（学生分组讨论，相互交流得出答案。

）

学生得到了两种不同的表示方法,一个是（m＋n）（a＋n）米2；另一个是（ma＋mb＋na＋nb）米2.以上的两个结果都是正确的。

3．观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到?

如果能得到，又是怎样相乘得到的?

（教师示范。

）

你能用语言叙述这个式子吗?

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：

（m＋n）（a＋b）=ma＋mb＋na＋nb。

三、举例及应用。

1．例1计算：

（课本例4。

）

（1）（x＋2）（x－3）；

（2）（3x－1）（2x＋1）。

2．练习。

（1）课本第80页练习第1题的

（1）、

（2）。

3．例2计算：

（课本例5。

）

（1）（x－3y）（x＋7y）；

（2）（2x＋5y）（3x－2y）。

4．练习。

（1）课本第80页练习第1题的（3）、（4）。

四、巩固练习。

补充习题

五、问题探究。

1．两个多项式相乘，不先计算能知道结果中（合并同类项前）有几项吗?

2．在计算中怎样才能不重不漏?

3．这个法则，对于三个或三个以上的多项式相乘，是否适用?

若适用．应怎样计算?

六、课堂小结

1、多项式乘法是用“换元”的方法，将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘。

2、运用法则时，要有序地逐项相乘，做到不重不漏。

3、在含有多项式乘法的混合运算时，要注意运算顺序，计算结果要化简。

七、布置作业

课本80页习题6、7题

14．3乘法公式

1、两数和乘以它们的差

教学目标

1．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示。

2．能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法。

3．通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想。

教学重难点

重点：

掌握平方差公式的特点，牢记公式。

难点：

具体问题要具体分析，会运用公式进行计算。

教学过程

一、新课引入。

王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果相吻合。

售货员惊讶地问：

“这位同学，你怎么算得这么快?

”王剑同学说：

“我利用了在数学上刚学过的一个公式。

”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?

你现在能算出来吗?

学了本节之后，你就能解决这个问题了。

从而引出课题：

平方差公式。

二、知识回顾。

1．多项式乘以多项式的法则：

_______。

2．利用多项式与多项式的乘法法则说出（x＋a）（x＋b）的结果。

3．计算：

（1）（x＋3）（x－3）；　　

（2）（a＋2b）（a－2b）；

（3）（4m＋n）（4m－n）；（4）（5＋4y）（5－4y）。

三、引导观察。

1．请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的乘法式子，两个因式有什么特点?

积有什么特点?

2．这四个题目与（x＋a）（x＋b）=x2＋（a＋b）x＋ab有什么关系?

你还能再举出这样的几个例子来吗?

（引导学生发现：

当a=－b时，（x＋a）（x＋b）=x2－b2，从而得出平方差公式。

）

3．观察这个公式，你能说出它左边的特征吗?

右边呢?

4．你能用图形来验证它的正确性吗?

5．你能用语言叙述这个公式吗?

四、学例及应用。

1．例1计算：

（课本例1。

）

（1）（a＋3）（a－3）；

（2）（2a＋3b）（2a－3b）；

（3）（1＋2c）（1－2c）。

（教师要规范解题步骤。

）

2．练习。

3．例2计算：

1998×2002。

（课本例题2。

）

分析：

这是一个数字计算问题，让学生分组讨论如何利用平方差公式进行计算。

在本例教学时不能仅仅着眼于应用公式的化简与计算，要让学生感受构造数学“模型”的乐趣。

4．练习。

课本第82页练习第2题的

（2）。

5．例3

街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米。

问改造后的长方形草坪的面积是多少?

（课本例3。

）

6．练习。

课本第82页练习的第3题。

五、巩固练习。

补充习题。

六、课堂小结

1、本节课你学到了什么？

是否还有不明白的地方？

2、注意：

一定要记住公式的特点。

七、布置作业

课本92页第3题（3）（4）84页