(AC+BD),∴④正确。
【答案】 ④
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考点一
平面的基本质及应用
【典例1】 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点,求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点。
【证明】
(1)如图,连接CD1,EF,A1B,
∵E,F分别是AB和AA1的中点,
∴EF∥A1B且EF=
A1B。
又∵A1D1綊BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形。
∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1,
∴EF与CD1确定一个平面α。
∴E,F,C,D1∈α,即E,C,D1,F四点共面。
(2)由
(1)知,EF∥CD1,且EF=
CD1,
∴四边形CD1FE是梯形,
∴CE与D1F必相交。
设交点为P,
则P∈CE⊂平面ABCD,
且P∈D1F⊂平面A1ADD1,
∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1。
又∵平面ABCD∩平面A1ADD1=AD,
∴P∈AD,∴CE,D1F,DA三线共点。
反思归纳 1.证明点或线共面问题的两种方法:
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合。
2.证明点共线问题的两种方法:
①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上。
3.证明线共点问题的常用方法是:
先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点。
【变式训练】
(1)(2016·上海闵行区调研)已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:
A,B,C,D四点不共面,命题乙:
直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点。
求证:
D1,H,O三点共线。
【解析】
(1)若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交,但直线AC和BD平行时,A,B,C,D四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件。
(2)证明:
连接BD,B1D1,如图。
则BD∩AC=O,
∵BB1綊DD1,
∴四边形BB1D1D为平行四边形,又H∈B1D,
B1D⊂平面BB1D1D,
则H∈平面BB1D1D,又H⊂平面ACD1,
∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,∴H∈OD1。
即D1,H,O三点共线。
【答案】
(1)A
(2)见解析
考点二
空间两条直线的位置关系……多维探究
角度一:
平行与相交的判定
【典例2】
(1)(2017·济南模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,则EF与BD1的位置关系是( )
A.相交但不垂直 B.相交且垂直
C.异面D.平行
(2)(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
【解析】
(1)连接D1E并延长,与AD交于点M,
因为A1E=2ED,可得M为AD的中点,
连接BF并延长,交AD于点N,
因为CF=2FA,可得N为AD的中点,
所以M,N重合,且
=
,
=
,
所以
=
,所以EF∥BD1。
故选D。
(2)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交。
故选D。
【答案】
(1)D
(2)D
角度二:
异面直线的判定
【典例3】 在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________。
(填上所有正确答案的序号)
【解析】 图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G,M,N共面,但H∉面GMN,因此GH与MN异面。
所以在图②④中,GH与MN异面。
【答案】 ②④
反思归纳 1.线线平行或垂直的判定方法
(1)对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断。
(2)对于线线垂直,往往利用线面垂直的定义,由线面垂直得到线线垂直。
2.异面直线的判定方法
(1)反证法:
先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面。
(2)定理:
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线。
【变式训练】
(1)(2016·福州质检)已知命题p:
a,b为异面直线,命题q:
直线a,b不相交,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2016·浙江金丽衢联考)已知a,b,c为三条不同的直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,α∩β=c。
①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;
②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;
③若a∥b,则必有a∥c;
④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β。
其中正确命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
【解析】
(1)若直线a,b不相交,则a,b平行或异面,所以p是q的充分不必要条件。
故选A。
(2)①中若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交,故①正确;②中平面α⊥平面β时,若b⊥c,则b⊥平面α,此时不论a,c是否垂直,均有a⊥b,故②错误;③中当a∥b时,则a∥平面β,由线面平行的性质定理可得a∥c,故③正确;④中若b∥c,则a⊥b,a⊥c时,a与平面β不一定垂直,此时平面α与平面β也不一定垂直,故④错误,所以正确命题的个数是2。
故选C。
【答案】
(1)A
(2)C
考点三
异面直线所成的角……母题发散
【典例4】 如图在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角。
连接A1C1,由AB=1,则AA1=2,A1C1=
,A1B=BC1=
,
故cos∠A1BC1=
=
。
则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
。
故选D。
【答案】 D
【母题变式】 将本典例条件“AA1=2AB=2”改为“AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
”,试求:
的值。
【解析】 设
=t,则AA1=tAB。
∵AB=1,∴AA1=t,
∵A1C1=
,A1B=
=BC1,
∴cos∠A1BC1=
=
。
∴t=3,即
=3。
【答案】 3
反思归纳 探求常规的异面直线所成角的问题,首先要理清求角的基本步骤为“一作,二证,三求”,通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角,其中空间选点任意但要灵活,如常选择端点、中点、等分点,通过三角形的中位线平行于底边,长方体对面上的平行线进行平移等。
这是研究空间图形的一种基本思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题。
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1.下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面;
②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合。
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 ②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三个点在同一条直线上,则两个平面相交,①③正确。
故选C。
答案 C
2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b( )
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾。
故选C。
答案 C
3.已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( )
A.相交或平行B.相交或异面
C.平行或异面D.相交、平行或异面
解析 依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,故选D。
答案 D
4.(2016·临沂模拟)在三棱锥S-ACB中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=
,SB=
,则SC与AB所成角的余弦值为________。
解析 如图,取BC的中点E,分别在平面ABC内作DE∥AB,在平面SBC内作EF∥SC,则异面直线SC与AB所成的角为∠FED,过F作FG⊥AB,连接DG,则△DFG为直角三角形。
由题知AC=2,BC=
,SB=
,可得DE=
,EF=2,DF=
。
在△DEF中,由余弦定理可得cos∠FED=
=
。
答案
5.(2017·泸州模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值为________。
解析 由于AC∥A1C1,所以∠BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所成的角。
在△BA1C1中,A1B=
,A1C1=1,BC1=
,
cos∠BA1C1=
=
。
答案
微专题 巧突破
构造平面研究直线相交问题
【典例】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条。
【思路分析】
【解析】 解法一:
如图,在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有一个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这三条异面直线都有交点,所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条。
解法二:
在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因为CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线。
由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交。
【答案】 无数
【温馨提示】 1.本题难度不大,但比较灵活。
对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大。
2.注意本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少学生不会构造平面,因此失分较多。
【变式训练】 设l是直线,α,β是两个不同的平面,( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【解析】 解法一:
设α∩β=a,若直线l∥a,且l⊄α,l⊄β,则l∥α,l∥β,因此α不一定平行于β,故A错误;由于l∥α,故在α内存在直线l′∥l。
又因为l⊥β。
所以l′⊥β,故α⊥β,所以B正确;若α⊥β,在β内作交线的垂线l,则l⊥α,此时l在平面β内,因此C错误;已知α⊥β,若α∩β=a,l∥a,且l不在平面α,β内,则l∥α且l∥β,因此D错误。
故选B。
解法二:
借助于长方体模型解决本题:
对于A,如图①,α与β可相交;
对于B,如图②,不论β在何位置,都有α⊥β;
对于C,如图③,l可与β平行或l⊂β内;
对于D,如图④,l⊥β或l⊂β或l∥β。
故选B。
【答案】 B