秋八年级数学上册2实数教学案新版北师大版Word格式文档下载.docx

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2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.

3.运算性质的掌握与应用.

1.注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.

概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合,去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.如无理数的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识无理数是无限不循环小数这一意义,在教学时,教师要鼓励学生动手、动脑、动口,与同伴进行合作,并充分地开展交流.再如平方根的概念,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符.对此,在平方根的引入时,教师可多提一些具体的问题,如9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有其他的数,它的平方也是9吗?

……旨在引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.接着让学生去讨论:

一个正数有几个平方根?

0有几个平方根?

负数呢?

引导学生更深刻地理解平方根的概念,特别是负数的情况,然后再通过具体的求平方根的练习,巩固新学的概念.

2.鼓励学生自主探索和合作交流.

本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题,教学中应当让学生进行充分的探索和交流.如面积为2的正方形的边长a是什么数?

教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索,从中感受无理数引入的必要性,并体会无限不循环的过程;

再如二次根式的相关运算性质,教学中应让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证,并用自己的语言清楚地表达.

3.注意运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系.

七年级时,学生已经学习过有理数的有关概念和运算,本章将学习实数的有关概念及运算.在这些概念、运算律、运算法则的教学中,应加强类比教学,通过新旧知识的类比、对比,认识新旧知识的区别和联系,促进知识系统的构建与完善.如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比有理数建立起来的,运算律和运算法则也是通过类比得出的.

1　认识无理数

2课时

2　平方根

3　立方根

1课时

4　估　算

5　用计算器开方

6　实　数

7　二次根式

3课时

回顾与思考

1.通过拼图活动,感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性.

2.借助计算器探索无理数,并从中体会无限逼近思想.

3.会判断一个数是不是无理数.

1.在探究的过程中使学生感受到数的扩张,积累解决数学问题的经验和方法.

2.在探索的过程中体会无理数的产生过程,积累解决数学问题的方法和经验.

1.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.

2.通过“再创造”的过程,体会数学发现的方法和乐趣.

【重点】　理解无理数的概念.

【难点】　判断一个数是不是无理数.

第

课时

感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.

经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.

通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.

【重点】　感受无理数产生的背景.

【难点】　会判断一个数是不是无理数.

【教师准备】　两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.

【学生准备】　两张边长为1的正方形纸片,复习有理数的运算法则及勾股定理有关知识.

导入一:

七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:

（1）一个整数的平方一定是整数吗?

（2）一个分数的平方一定是分数吗?

[设计意图]　做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.

导入二:

一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?

利用勾股定理计算一下.

【总结】　我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?

探究活动

　　[过渡语]　我们研究一下下面的问题.

1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方,并提出问题:

x是整数（或分数）吗?

2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?

出示教材P21图2-1.

图2-1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.

问题1

拼成后的正方形是什么样的呢?

问题2

拼成后的大正方形面积是多少?

问题3

若新的大正方形边长为a,a2=2,则:

①a可能是整数吗?

②a可能是分数吗?

【总结】　没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a不可能是有理数.

[设计意图]　选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.

　　[过渡语]　前面的问题中,我们都不能用有理数来表示,再看下面的问题.

思路一

（1）如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?

（2）设该正方形的边长为b,b满足什么条件?

（3）b是有理数吗?

【问题解答】

（1）由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.

（2）b2=5.

（3）没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.

思路二

在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.

【问题解答】　构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.

[设计意图]　创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”（无理数）的存在,从而激发学习新知的兴趣,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.

　　[过渡语]　我们所学的有理数已经不够用了,需要再扩大数的范围,先在数轴中感受一下.

[知识拓展]　正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P表示的就是这个非有理数.网格上长方形（包括正方形）的对角线的长度都不一定是有理数.

通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.

1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长（　　）

A.是有理数　　　　　B.不是有理数

C.不确定D.4

答案:

B

2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是（　　）

A.16B.25

C.2D.4

C

3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:

长度是有理数的线段为　　　　,长度不是有理数的线段为　　　　. 

略

第1课时

1.拼接正方形.

2.做一做.

3.a,b存在,但不是有理数.

一、教材作业

【必做题】

教材第21页随堂练习及教材第22页习题2.1第1题.

【选做题】

教材第22页习题2.1第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC中,边长不是有理数的线段有　　　　,在图中再画一条边长不是有理数的线段. 

【能力提升】

2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数.假设a,b是两个有理数,且a<

b,在a,b两数之间插入一个数为　　　　. 

【拓展探究】

3.把下列小数化成分数.

（1）0.6;

（2）0.;

（3）0..

4.你会在下面的正方形网格（每个小正方形面积为1）中画出面积为10的正方形吗?

试一试.

【答案与解析】

1.AB,BC,AC　略（解析:

AB2=42+12=17,BC2=22+32=13,AC2=22+42=20.）

2.（解析:

答案不唯一,如插入a和b正中间的数.）

3.解析:

（1）0.6=;

（2）设0.=x,则10x=7.,∴9x=7,从而x=;

（3）设0.=x,则100x=34.,∴99x=34,从而x=.

解:

（1）0.6=.　

（2）0..　（3）0..

4.略

大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.

在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解.

设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.

随堂练习（教材第21页）

因为等边三角形中BC边上的高平分BC,所以h2=22-12=3,所以h不可能是整数,也不可能是分数.

习题2.1（教材第22页）

1.解:

答案不唯一.如图

（1）所示,线段AB,AD,AE,DE,BD,BC的长度都是有理数;

线段AC,CE,BE的长度都不是有理数.

2.解:

答案不唯一.如图

（2）所示的是几个符合要求的直角三角形.

　一个正方形木块的面积为8平方厘米,那么它的边长满足什么条件?

可能是整数吗?

可能是分数吗?

它的边长的平方为8,没有整数的平方为8,所以边长不可能为整数,也没有一个分数的平方为8,所以边长不可能为分数.

掌握无理数的概念;

能用所学定义正确判断所给数的属性.

借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.

在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.

【重点】　能用所学定义正确判断所给数的属性.

【难点】　无理数概念的建立.

【教师准备】　计算器、立方体、多媒体课件.

【学生准备】　计算器、复习有理数的分类.

导入:

前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?

1.有理数是如何分类的?

【问题解决】

有理数

2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数?

如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?

那么它们究竟是什么数呢?

本节课我们就来揭示它们的真面目.

[设计意图]　通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.

　　[过渡语]　上一节我们已经感受到数不够用了,下面我们继续探索用什么数来表示.

一、数的小数表示

面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?

（1）如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?

说说你的理由.

（2）边长a的整数部分是几?

十分位是几?

百分位呢?

千分位呢?

……借助计算器进行探索.

（3）小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?

边长a

面积S

1<

a<

2

S<

4

1.4<

1.5

1.96<

2.25

1.41<

1.42

1.9881<

2.0164

1.414<

1.415

1.999396<

2.002225

1.4142<

1.4143

1.99996164<

2.00024449

　　【思考】　a的范围在哪两个数之间?

左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?

【归纳总结】　a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?

事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.

【做一做】　

（1）请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到0.1）,并用计算器验证你的估计.

（2）如果结果精确到0.01呢?

（提示:

精确到0.1,b≈2.2,精确到0.01,b≈2.24）

同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.

[设计意图]　让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a=1.41421356…,b=2.2360679…,c=1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.

二、有理数的小数表示,明确无理数的概念

请同学们以学习小组的形式活动.

【议一议】　把下列各数表示成小数,你发现了什么?

3,,,-,.

【答案】　3=3.0,=0.8,=0.,-=-0.1,=0..

分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?

回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?

（3.14）它是确切的值吗?

（不是,是近似值）那π是有理数吗?

（不是）并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?

【探究结论】　分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.

【强调】　像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.

我们把无限不循环小数称为无理数.（圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数）

【想一想】　你能找到其他的无理数吗?

[设计意图]　通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.

三、例题讲解

　下列各数中,哪些是有理数?

哪些是无理数?

3.14,-,0.,0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.

有理数有:

3.14,-,0.;

无理数有:

0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.

【强调】　1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.

2.任何一个有理数都可以化成分数的形式（q≠0,p,q为整数且互质）,而无理数不能.

[设计意图]　通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.

[知识拓展]　确定x2=a（a≥0）中正数x的近似值的方法:

1.确定正数x的整数部分.

根据平方的定义,把x夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:

求x2=5中的正数x的整数部分,因为22<

5<

32,即22<

x2<

32,所以2<

x<

3,因此x的整数部分为2.

2.确定x的小数部分十分位上的数字.

（1）将这两个整数平方和的平均数与a比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为=6.5>

5,所以x的十分位上的数字一定比3小,不妨设x≈2.2.

（2）设误差为k（k必为一个纯小数,且k可能为负数）,则x=2.2+k,所以（2.2+k）2=5,所以4.84+4.4k+k2=5,因为k是小数,所以k2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k=5,所以k≈0.036,所以x=2.2+k≈2.2+0.036=2.236.

实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<

5.29,所以2.22<

2.32,所以2.2<

2.3,所以十分位上的数字为2.

数

1.下列说法中正确的是（　　）

A.无限小数都是无理数

B.有限小数是无理数

C.无理数都是无限小数

D.有理数是有限小数

2.以下各正方形的边长是无理数的是（　　）

A.面积为25的正方形

B.面积为的正方形

C.面积为8的正方形

D.面积为1.44的正方形

解析:

52=25,,（1.2）2=1.44.故选C.

3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a是有理数吗?

由勾股定理得:

a2=32+52,即a2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a不是有理数.

4.已知-,5,-1.,π,3.1416,,0,42,（-1）2n,-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.

（1）写出所有有理数;

（2）写出所有无理数.

（1）有理数:

-,5,-1.,3.1416,,0,42,（-1）2n.

（2）无理数:

π,-1.4242242224…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.

第2课时

1.数的小数表示.

2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.

3.例题讲解.

教材第24页随堂练习.

教材第25页习题2.2第2,4题.

1.面积为3的正方形的边长为x,则x（　　）

A.1<

2　　　　　B.2<

3

C.3<

4D.4<

5

2.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是（　　）

A.整数B.分数

C.有限小数D.无理数

3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是　　　　,则斜边长是　　　　数. 

4.设半径为a的圆的面积为20π.

（1）a是有理数吗?

说说你的理由;

（2）估计a的值（精确到十分位,并利用计算器验证你的估计）;

（3）如果精确到百分位呢?

5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?

要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:

（1）如果精确到十分位,正方形的边长是多少?

（2）如果精确到百分位呢?

1.A（解析:

12=1,22=4.）

2.D（解析:

由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.）

3.13　无理（解析:

由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.）

4.解:

（1）∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数.　

（2）a≈4.5.　（3）a≈4.47.

5.解析:

1.72=2.89,1.73=2.9929.

（1）1.7米.　

（2）1.73米.

本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.

对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.

知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.

感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.

随堂练习（教材第24页）

0.4583,3.,-,18.无理数有:

-π.

习题2.2（教材第25页）

-,3.9,-234.10101010…（相邻两个1之间有1个0）是有理数,0.12345678910111213…

（小数部分由相继的正整数组成）是无理数.

2.提示:

（1）x不是有理数.　

（2）x≈3.2.　（3）x≈3.16.

3.

（1）✕　

（2）􀳫

　（3）✕　（4）✕

π-1,3.4141141114…（相邻两个4之间1的个数逐次加1）等,答案不唯一.

由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程,因此,要重视教材创设（或相同类型）的问题,针对内容应该花较多的时间,教师应积极引导,让学生有充足的时间借助计算器进行思考和交流,循序渐进地缩小范围,体会无限逼近的思想.