高中数学函数与导数综合题型分类总结文档格式.doc

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（Ⅱ）∵当时，时，

∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增.∴是在区间[1，3]上的最小值，且.若当时，要使恒成立，只需，即，解得.

2、解：

（Ⅰ）．由题意知，得．

∴．

（Ⅱ）．∵，∴．

由解得或，

由解得．……………10

∴的单调增区间为：

和；

的单调减区间为：

．……12分

3、解：

（1）法一:

（导数法）在上恒成立.

∴在[0,1]上增，∴值域[0,1]。

法二:

复合函数求值域.

法三:

用双勾函数求值域.

（2）值域[0,1]，在上的值域.

由条件,只须，∴.

特别说明：

要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那是单调区间的子区间问题；

4、解：

（Ⅰ）∴，解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又

∴的值域是

（Ⅲ）令

∴要使恒成立，只需，即

（1）当时解得；

（2）当时；

（3）当时解得；

综上所述所求t的范围是

分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；

5、解：

（Ⅰ）

令=0,得

因为，所以可得下表：

+

-

↗

极大

↘

因此必为最大值,∴因此，，

即，∴，∴

（Ⅱ）∵，∴等价于，令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，

解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].

6、11（说明：

通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定是“导数等于零”方程的根；

）

7、解：

∵，∴由有，即切点坐标为，

∴切线方程为，或，整理得或

∴，解得，∴，∴。

（1）∵，在处有极值，∴，即，解得，∴

（2）∵函数在区间上为增函数，∴在区间上恒成立，∴，又∵在区间上恒成立，∴，即，∴在上恒成立，∴∴的取值范围是

题型二：

已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；

（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：

转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；

用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；

若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！

有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；

利用子区间（即子集思想）；

首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；

参考08年高考题；

第三种方法：

利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；

可参考第二次市统考试卷；

做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；

请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题（金考卷第5套）；

（2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤

画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；

主要看极大值和极小值与0的关系；

解不等式（组）即可；

例8．已知函数，，且在区间上为增函数．

（1）求实数的取值范围；

（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．

例9.已知函数

（I）讨论函数的单调性。

（II）若函数在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。

例10．已知函数f（x）＝x3－ax2－4x＋4a，其中a为实数．

（Ⅰ）求导数（x）；

（Ⅱ）若（－1）＝0，求f（x）在[－2，2]上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若f（x）在（－∞，－2]和[2，＋∞）上都是递增的，求a的取值范围

例11.已知：

函数

（I）若函数的图像上存在点，使点处的切线与轴平行，求实数的关系式；

（II）若函数在和时取得极值且图像与轴有且只有3个交点，求实数的取值范围.

例12．设为三次函数，且图像关于原点对称，当时，的极小值为．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）证明：

当时，函数图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．

例13．在函数图像在点（1，f

（1））处的切线与直线平行，导函数的最小值为－12。

（1）求a、b的值；

（2）讨论方程解的情况（相同根算一根）。

例14．已知定义在R上的函数，当时，取得极大值3，.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）已知实数能使函数上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数组成的集合为M.请判断函数的零点个数.

例15.已知函数的单调减区间为（0，4）

（I）求的值；

（II）若对任意的总有实数解，求实数的取值范围。

例16.已知函数是常数，且当和时，函数取得极值.

（Ⅱ）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围.

例17.已知函数正项数列满足：

，，点在圆上，ks5u

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）若，求证：

是等比数列；

（Ⅲ）求和：

例18.函数（、为常数）是奇函数。

ks5u

（Ⅰ）求实数的值和函数的图像与轴交点坐标；

（Ⅱ）设，，求的最大值.

例19.已知f（x）＝x3＋bx2＋cx＋2．

⑴若f（x）在x＝1时有极值－1，求b、c的值；

⑵若函数y＝x2＋x－5的图象与函数y＝的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

例20.设函数，，当时，取得极值.

（1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；

（2）当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围.

例21.已知在R上单调递增，记的三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若时，不等式恒成立．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）求角的取值范围；

（Ⅲ）求实数的取值范围。

8解：

（1）由题意∵在区间上为增函数，

∴在区间上恒成立

即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为

（2）设，

令得或由

（1）知，

①当时，，在R上递增，显然不合题意…②当时，，随的变化情况如下表：

—

极大值

极小值

由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得

综上，所求的取值范围为

9、解：

（1），当a>

0时，递增；

当a<

时，递减。

（2）当a>

0时

－

增

减

此时，极大值为…………7分

此时，极大值为因为线段AB与x轴有公共点所以解得

10、解：

（Ⅰ）

（Ⅱ）由，由得或x=又在[-2，2]上最大值，最小值

（Ⅲ），由题意知

11、解：

（I）设切点,,因为存在极值点，所以，即。

（II）因为，是方程的根，

所以，。

；

在处取得极大值，在处取得极小值.函数图像与轴有3个交点，，

12解：

（Ⅰ）设其图像关于原点对称，即得∴，则有由，依题意得∴①，②由①②得故所求的解析式为：

.（Ⅱ）由解得：

或，∴时，函数单调递增；

设是时，函数图像上任意两点，且，则有∴过这两点的直线的斜率.

13、解：

（1）又直线

（2）由

（1）知，列表如下：

x

f′

f（x）

所以，函数f（x）的单调增区间是和

14、解：

（1）由得c=1 ，得∴

（2）得，时取得极值.由，得∴.，，∴当时，，∴在上递减.又∴函数的零点有且仅有1个

15、解：

（I）又（II）。

16、解：

（Ⅰ），依题意，即解得∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线与有两个不同的交点，即在上有两个不同的实数解。

设，则，由0的或，当时，于是在上递增；

当时，于是在上递减.依题意有∴实数的取值范围是.

17、解：

（Ⅰ）由题意：

∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

，数列满足：

，故，（Ⅲ）令

，相减得：

∴

18、解：

（Ⅰ），与轴交点为，，（Ⅱ），当时，由，得或（舍），∴在上单调递增，在上单调递减。

当时，由得在上单调递增。

如图所示，为在上的图像。

∵当时，，∴当时，由

故的最大值的情形如下：

当时，当时，

当时，

∴

19、解：

⑴f'

（x）＝3x2＋2bx＋c，由题知f'

（1）＝03＋2b＋c＝0，f

（1）＝－11＋b＋c＋2＝－1∴b＝1，c＝－5，f（x）＝x3＋x2－5x＋2，f'

（x）＝3x2＋2x－5

f（x）在[－，1]为减函数，f（x）在（1，＋∞）为增函数∴b＝1，c＝－5符合题意

⑵即方程：

恰有三个不同的实解：

x3＋x2－5x＋2＝k（x≠0）

即当x≠0时，f（x）的图象与直线y＝k恰有三个不同的交点，由⑴知f（x）在为增函数，f（x）在为减函数，f（x）在（1，＋∞）为增函数，又，f

（1）＝－1，f

（2）＝2∴且k≠2

20、解：

（1）由题意当时，取得极值，所以即

此时当时，，当时，，

是函数的最小值。

（2）设，则，……8分

设，，令解得或列表如下：

__

函数在和上是增函数，在上是减函数。

当时，有极大值；

当时,有极小值

函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点

或

21、解：

（1）由知，在R上单调递增，恒成立，且，即且，．

（2），由余弦定理：

，，

（3）在R上单调递增，且，

所以

，

故，即，，即，即．

题型三：

函数的切线问题；

问题1：

在点处的切线，易求；

问题2：

过点作曲线的切线需四个步骤；

设切点，求斜率；

写切线（一般用点斜式）；

根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；

第四步：

判断三次方程根的个数；

例22.已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：

（1）的解析式；

（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

例23.已知（为常数）在时取得一个极值，

（1）确定实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数；

（2）若经过点A（2，c）（）可作曲线的三条切线，求的取值范围．

22、解：

（1）由题意得：

∴在上；

在上；

在上

因此在处取得极小值

∴①，②，③

由①②③联立得：

，∴

（2）设切点Q，

过

令，

求得：

，方程有三个根。

需：

故：

因此所求实数的范围为：

23、解：

（1）∵函数在时取得一个极值，且，

， ．

或时，或时，时，

， 在上都是增函数，在上是减函数． ∴使在区间上是单调函数的的取值范围是

（2）由

（1）知．设切点为，则切线的斜率，所以切线方程为：

． 将点代人上述方程，整理得：

．

∵经过点可作曲线的三条切线，∴方程有三个不同的实根． 设，则

，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故 得：

．

题型四：

函数导数不等式线性规划精彩交汇；

例24.设函数，在其图象上一点处的切线的斜率记为．

（1）若方程有两个实根分别为-2和4，求的表达式；

（2）若在区间上是单调递减函数，求的最小值。

例25.已知函数

（1）若图象上的是处的切线的斜率为的极大值。

（2）在区间上是单调递减函数，求的最小值。

例26.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行.

（I）试确定、的符号；

（II）若函数在区间上有最大值为，试求的值.

n

2

3

24、解：

（1）根据导数的几何意义知由已知-2，4是方程的两个实根由韦达定理，∴，

（2）在区间上是单调递减函数，所以在区间上恒有

，即在区间上恒成立

这只需满足即可，也即而可视为平面区域内的点到原点距离的平方由图知当时，有最小值13；

25、解：

（1）由题意得

令

由此可知

－1

极小值－9

时取极大值

（2）上是减函数

上恒成立

作出不等式组表示的平面区域如图

当直线经过点时取最小值

26、解：

（I）由图象在处的切线与轴平行，

知，∴①…………3分

又，故，.…………4分

（II）令,

得或……………………6分

易证是的极大值点，是极小值点（如图）.…………7分

令，得或.…………………………………………8分

分类：

（I）当时，，∴.②

由①，②解得，符合前提.

（II）当时，,∴.③

由①，③得.记,

∵,

∴在上是增函数，又，∴,

∴在上无实数根.综上，的值为.

题型五：

函数导数不等式数列的精彩交汇

例27.已知函数满足且有唯一解。

（1）求的表达式；

（2）记，且＝，求数列的通项公式。

（３）记，数列｛｝的前ｎ项和为，求证

例28.已知函数，其中.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.

例29.在数列中，，且已知函（）在时取得极值.学科网

（Ⅰ）求数列的通项；

学科网

（Ⅱ）设，且对于恒成立，求实数的取值范围．学

例30.已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.

（1）求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；

若不存在，请说明理由；

例31.已知函数（a、c、d∈R）满足且在R上恒成立。

（1）求a、c、d的值；

（2）若，解不等式；

（3）是否存在实数m，使函数在区间[m，m+2]上有最小值－5？

若存在，请求出实数m的值，若不存在，请说明理由。

例32.设函数（），其中

（1）当时，求曲线在点（2，）处的切线方程；

（2）当时，求函数的极大值和极小值；

（3）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立。

例33.已知函数为常数）

（Ⅰ）若

（Ⅱ）若在和处取得极值，且在时，函数

的图象在直线的下方，求的取值范围？

27、解：

（1）由即有唯一解

又

（2）由又

数列是以首项为，公差为

（3）由

=

28、解：

（Ⅰ），由导数的几何意义得，于是．由切点在直线上可得，解得．

所以函数的解析式为．

（Ⅱ）解：

当时，显然（）．这时在，上内是增函数．

当时，令，解得．

当变化时，，的变化情况如下表：

＋

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

（Ⅲ）解：

由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．

科网

29、解：

（Ⅰ）∵

（1）＝0∴（an＋2－an＋1）－（3an＋1－4an）＝0

即an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an）又a2－2a1＝4

∴数列｛an＋1－2an｝是以2为公比，以4为首项的等比数列。

∴an＋1－2an＝4×

2n－1＝2n＋1∴且∴数列｛｝是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝＋（n－1）×

1＝n∴

（Ⅱ）由，

令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2（）2＋3（）3＋…＋n（）n

　　　　　Sn＝（）2＋2（）3＋…＋（n－1）（）n＋n（）n＋1

得Sn＝＋（）2＋（）3＋…＋（）n－n（）n+1＝－n（）n+1＝2[1－（）n]－n（）n+1

∴Sn＝6[1－（）n]－3n（）n+1＜要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立,只须，所以实数的取值范围是.

30、解：

（1）由题意

①

②

由①、②可得，故

（2）存在 由

（1）可知，

单调增

单调减

，

.

的极小值为1.

31、解：

（1），，，即，

从而。

在R上恒成立，，

即，解得。

（2）由

（1）知，，，

∴不等式化为，

即，∴

（a）若，则不等式解为；

（b）若，则不等式解为空集；

（c）若，则不等式解为。

（3）。

该抛物线开口向上，对称轴为。

若，即时，在[m，m+2]上为增函数。

当时，由已知得，解得。

若，即时，当时，。

由已知得，无解。

若，即时，在[m，m+2]上为减函数。

当时，。

由已知得，解得。

综上所述，存在实数或，使函数在区间[m，m+2]上有最小值－5。

32、解：

（Ⅰ）当时，，得，且

，．

所以，曲线在点处的切线方程是，整理得

令，解得或．由于，以下分两种情况讨论．

（1）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．

（2）若，当变化时，的正负如下表：

（Ⅲ）证明：

由，得，当时，，．

由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，

只要即　　　　　①

设，则函数在上的最大值为．

要使①式恒成立，必须，即或．所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．

33、解：

（1）

又x1，x2是函数f（x）的两个极值点，则x1，x2是的两根，

（2）由题意，

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