一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵.docx
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一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵
一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵
LT
9.3一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵
1.杆端内力与位移关系回顾
（轴向）；
；
（弯曲）；
2.公式推导（图1）
图1
杆件性质：
长度l，截面面积A，截面惯性矩I，弹性模量E；杆端位移u、v、θ。
（1）
（2）
列成矩阵形式：
（3）
即：
（4）
局部坐标系下单元刚度矩阵：
（5）
9.4梁单元
1.简支梁
简支梁单元见图1。
图1
图1
分析（a）从数学的角度理解整体坐标系（xy）与局部坐标系（
）的区别；
（b）力分量应向整体坐标系转换，图f给出了两种坐标系下力分量之间的数学关系：
。
同理：
2.公式推导
矩阵形式：
（1）同理：
（2）
其中：
为单位坐标转换矩阵。
3.［T］的特性
正交矩阵：
其逆矩阵等于转置矩阵，即
。
α＝0时，
（单位矩阵）。
9.7整体坐标系单元刚度矩阵
1.整体坐标系中的单元刚度矩阵
两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系为：
单元刚度矩阵的性质：
同局部坐标系下。
2.实例
例10-1：
图1结构，已知单元
（1）、
（2）在局部坐标系（杆件箭头方向）中的单元矩阵如下（单位：
长度m，角度rad，力kN），求各单元在整体坐标系下的刚度矩阵。
图1
分析：
→求［T］→求α→依据图形。
解：
（1）单元1：
α＝0，
（2）单元2：
α＝90
；
（3）单元2：
α＝120
；
注意：
图中单元的方向，计算时宜取与整体坐标系相同（转角以逆时针为正）。
思考图2的求解。
图2
9.8位移法建立整体刚度矩阵
1.回顾
（1）连续梁的特点：
并考虑杆件的轴向变形；一般情况下，结构仅有转角位移。
（2）两端固定的梁，在近端有一转角θ，相应产生杆端弯矩：
4iθ（近端）和2iθ（远端）。
2.公式推导
图1两跨连续梁。
图1
结点力与结点力偶的关系见表1。
表1
位移
结点力偶
M1
M2
M3
θ1
4i1θ1
2i1θ1
0
θ2
2i1θ2
（4i1+4i2）θ2
2i2θ2
θ3
0
2i2θ3
4i2θ3
矩阵形式：
记为：
――整体刚度方程
其中：
――整体刚度矩阵
注意：
红、绿框中分别是单元
（1）和
（2）的单元刚度矩阵。
3.单元集成法的概念
基本思路：
考虑单元独立贡献，再叠加。
如图1。
图1
基本过程：
局部单元刚度矩阵→单元贡献矩阵→整体单元刚度矩阵
；
4.单元定位向量的概念
总码（整体分析）：
结点位移在结构中统一编码，如1，2等；
局部编码（单元分析）：
单元结点位移，如
（1），
（2）等。
单元定位向量（λ）：
单元结点位移的总码组成的向量。
具体见图2和表1。
图2
表10-1
单元
局部码→总码
单元定位向量（λ）
①
（1）→1
（2）→2
②
（1）→2
（2）→3
任意单元
（i）→r
（j）→s
5.实例分析
求图10-11连续梁的整体刚度矩阵。
图10-11
分析：
固定端总码为0；总码的最后编号为n，则整体刚度矩阵为n×n阶。
解：
见表10-3
单元
单元刚度矩阵
定位向量
单元贡献矩阵
整体刚度矩阵
①
②
③
6.整体刚度矩阵的性质
Kij――第j个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为0时所引起的第i个杆端力分量的值。
［K］是对称矩阵、可逆矩阵、和带状稀疏矩阵（非零元素集中在主对角线两侧的局部带宽之内）。
9.9 刚架整体刚度矩阵刚结点
1．问题的引出
（a）连续梁建立方法：
单元刚度矩阵通过单元定位向量形成整体刚度矩阵。
（b）刚架与连续梁的区别：
考虑轴向变形（有水平竖向位移）。
（c）必须采用整体坐标系，统一各杆的方向。
2．建立过程：
编码→单元定位向量→单元集成
编码原则：
已知位移分量为零的，总码为零；
位移分量不为零的，总码（每个结点）按顺序：
水平位移→竖向位移→转角位移；其方向由整体坐标系的方向确定。
一般结点顺序可按：
刚结点→支座；左→右；上→下。
注意处理支座情况和刚结点。
见图1。
图1
实例分析：
图1中a）和b）的单元单位向量见表1，整体刚度矩阵的集成过程见表2a和b。
表1
表10-5（图a）
表10-5（图b）
与刚性结点的区别
铰结点（两杆相交）编号有4个，两个线位移（水平和竖向）和两个铰位移，即两杆的线位移编号相同，角位移编号不同。
如图1。
图1
应用实例分析
图2中a）、b）和c）整体刚度矩阵的集成过程见表1a、b和c。
图2
分析：
图a和图b的区别在于支座变化；图c特殊：
杆①为链杆，仅有轴向变形（1和4）。
表1（图a）
表1（图b）
表1（图c）
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