第二章 232平面与平面垂直的判定.docx

第二章 232平面与平面垂直的判定.docx

《第二章 232平面与平面垂直的判定.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 232平面与平面垂直的判定.docx（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

第二章232平面与平面垂直的判定

2.3.2　平面与平面垂直的判定

学习目标

　1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.

知识点一　二面角的概念

1.定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.

2.相关概念：

（1）这条直线叫做二面角的棱；

（2）两个半平面叫做二面角的面.

3.画法：

4.记法：

二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.

5.二面角的平面角：

若有

（1）O∈l；

（2）OA⊂α，OB⊂β；（3）OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.

知识点二　平面与平面垂直

1.平面与平面垂直的定义

（1）定义：

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

（2）画法：

（3）记作：

α⊥β.

2.平面与平面垂直的判定定理

文字语言

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

图形语言

符号语言

l⊥α，l⊂β⇒α⊥β

1.二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直.（　√　）

2.对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.（　×　）

3.已知一条直线垂直于某一平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直.（　√　）

4.两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.（　√　）

题型一　二面角的求法

例1　

（1）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：

①二面角D′－AB－D的大小为________.

②二面角A′－AB－D的大小为________.

答案　①45°　②90°

解析　①在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.

②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.

（2）如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小.

解　如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.

∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.

又AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.

而AD⊂平面AOD，

∴AD⊥BC.

∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角.

由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，

知AO⊥OB，AO⊥OC.

∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a，

∴AO＝a，AC＝

a，AB＝2a.

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，

∴BC＝

＝

a，

∴AD＝

＝

＝

a.

在Rt△AOD中，

sin∠ADO＝

＝

＝

.

∴∠ADO＝60°，

即二面角A－BC－O的大小是60°.

反思感悟　

（1）定义法：

在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.

（2）垂面法：

过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线（交线）所成的角，即为二面角的平面角.

（3）垂线法：

利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法.

跟踪训练1　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.

考点　二面角

题点　求二面角的大小

解　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC.

∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，

∴AC⊥BC.

又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC.

又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.

又∵BC是二面角P－BC－A的棱，

∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.

由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，

∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.

题型二　平面与平面垂直的判定

例2　在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：

平面PDB⊥平面PAC.

证明　∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，

又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC.

∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.

反思感悟　

（1）证明平面与平面垂直的方法

①利用定义：

证明二面角的平面角为直角；

②利用面面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.

（2）根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.

跟踪训练2　已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.求证：

平面AFC1⊥平面ACC1A1.

证明　延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.

连接BD.由四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，可知AA1⊥平面ABCD，

又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.

∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.

又∵AC∩A1A＝A，AC，A1A⊂平面ACC1A1，

∴BD⊥平面ACC1A1.

∵BF∥CC1，F为NC1的中点，∴B为NC的中点.

在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，

∴四边形DANB为平行四边形，

∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1.

又∵NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.

图形的折叠问题

典例　如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝

AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：

平面A′BE⊥平面BCDE.

证明　取BE的中点N，CD的中点M，

∵AB＝

AD，E是AD的中点，

∴AB＝AE，即A′B＝A′E.

∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.

在四边形BCDE中，CD⊥MN，

又∵MN∩A′M＝M，

∴CD⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N.

∵DE∥BC且DE＝

BC，

∴BE必与CD相交，

又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，

∴A′N⊥平面BCDE.

又∵A′N⊂平面A′BE，

∴平面A′BE⊥平面BCDE.

[素养评析]　

（1）折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题.解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量.

（2）折叠问题要借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，理解所要解决的数学问题，对于平面与平面垂直问题的证明，要有理有据，有逻辑地表达出来，所以，本题充分体现直观想象与逻辑推理的数学核心素养.

1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面（　　）

A.有且只有一个B.有一个或两个

C.有且仅有两个D.有一个或无数个

答案　D

2.直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是（　　）

A.平行B.可能重合

C.相交且垂直D.相交不垂直

考点　平面与平面垂直的判定

题点　判定两平面垂直

答案　C

解析　由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.

3.下列命题中正确的是（　　）

A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β

B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β

C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β

D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β

考点　平面与平面垂直的判定

题点　判定两平面垂直

答案　C

解析　当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确.

4.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是（　　）

A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β

B.AO⊥l，BO⊥l

C.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β

D.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β

答案　D

5.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，求此时二面角B－AD－C的大小.

考点　二面角

题点　看图索角

解　由已知BD＝2CD，翻折后，

在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，

而AD⊥BD，CD⊥AD，

故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.

1.求二面角大小的步骤

简称为“一作二证三求”.

2.平面与平面垂直的判定定理的应用思路

（1）本质：

通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直.

（2）证题思路：

处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决.

一、选择题

1.下列不能确定两个平面垂直的是（　　）

A.两个平面相交，所成二面角是直二面角

B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C.一个平面经过另一个平面的一条垂线

D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b

考点　平面与平面垂直的判定

题点　判定两平面垂直

答案　D

解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.

2.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：

①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.

其中正确结论的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

考点　垂直问题的综合应用

题点　线线、线面、面面垂直的相互转化

答案　C

解析　①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以正确结论的个数是2.

3.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有（　　）

A.2对B.3对

C.4对D.5对

考点　平面与平面垂直的判定

题点　判定两平面垂直

答案　D

解析　∵PA⊥平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAB⊥平面ABCD，

又CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，BC⊥平面PAB，

∴平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，

∴共有5对互相垂直的平面.

4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（　　）

A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

B.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β

C.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β

D.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β

答案　C

解析　由m∥α，m∥n得n∥α或n⊂α，由n⊥β，知α⊥β.

5.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（　　）

A.平面ABC⊥平面ABD

B.平面ABD⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

考点　平面与平面垂直的判定

题点　判定两平面垂直

答案　C

解析　因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.

因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.

因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.

6.在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于（　　）

A.90°B.45°C.60°D.30°

考点　二面角

题点　求二面角的大小

答案　A

解析　如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.

由题意可得AF＝CF＝

a，∠AFC＝90°.

在Rt△AFC中，可得AC＝a，

∴△ACD为正三角形.

∵E是CD的中点，

∴AE⊥CD，

∴∠AED＝90°，故选A.

7.在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（　　）

A.平面PAB⊥平面PAD

B.平面PAB⊥平面PBC

C.平面PBC⊥平面PCD

D.平面PCD⊥平面PAD

答案　C

解析　对于A，∵PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD，故A正确；对于B，∵PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC，故B正确；对于D，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴平面PCD⊥平面PAD，故D正确.故选C.

8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为（　　）

A.

B.

C.

D.

考点　二面角

题点　求二面角的大小

答案　C

解析　如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，

∵A1D＝A1B，

∴在△A1BD中，A1O⊥BD.

又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.

∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.

设AA1＝1，则AO＝

.

∴tan∠A1OA＝

＝

.

二、填空题

9.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2

，则侧面与底面所成的二面角为________.

答案　60°

解析　正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2

，则底面边长为2

，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为

，故所求的二面角为60°.

10.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：

①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；

②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；

③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；

④若n⊂β，n⊥α，则α⊥β.

其中正确结论的序号是________.（把正确结论的序号都填上）

答案　①④

解析　①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确.

11.α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.

考点　平面与平面垂直的判定

题点　用定义法证明两平面垂直

答案　①③④⇒②

解析　m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，

∵n⊥β，m⊥α，

∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，

从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，

∴α⊥β.

故答案为①③④⇒②.

三、解答题

12.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.

求证：

平面EBD⊥平面ABCD.

考点　平面与平面垂直的判定

题点　用定义法证明两平面垂直

证明　连接AC与BD交于O点，连接OE.

∵O为AC的中点，E为SA的中点，

∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD.

又∵EO⊂平面EBD，

∴平面EBD⊥平面ABCD.

13.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.

（1）求证：

直线A1B1∥平面ABD；

（2）求证：

平面ABD⊥平面BCC1B1.

证明　

（1）由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.

因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，

所以直线A1B1∥平面ABD.

（2）因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.

又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.

又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.

14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

考点　平面与平面垂直的判定

题点　判定两平面垂直

答案　DM⊥PC（或BM⊥PC等）

解析　由题意得BD⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.

又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，

∴平面MBD⊥平面PCD.

15.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：

截面A1CE⊥侧面ACC1A1.

考点　平面与平面垂直的判定

题点　利用判定定理证明两平面垂直

证明　如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝

AA1.

因为BE＝EB1，A1B1＝CB，

∠A1B1E＝∠CBE＝90°，

所以△A1B1E≌△CBE，

所以A1E＝CE.

因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.

又FG∥AA1∥BE，GF＝

AA1＝BE，且BE⊥BG，

所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.

因为A1C∩FG＝F，所以EF⊥侧面ACC1A1.

又因为EF⊂平面A1CE，所以截面A1CE⊥侧面ACC1A1.