高中数学知识点.docx
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高中数学知识点
高中数学知识点
第一章集合与函数概念一、集合
1、集合的含义与表示
一般地，我们把研究对象统称为元素。
把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
通常用大写字母A，B，C，D，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素。
2.集合中元素的特征
⑴确定性：
给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。
“身材较高的人”不能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。
⑵互异性：
一个给定集合中的元素是互不相同的（或说是互异的），即，集合中的元素是不重复出现的。
相同元素、重复元素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。
⑶无序性：
不考虑元素之间的顺序只要元素完全相同，就认为是同一个集合。
3、集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
4、元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A。
5、常见的数集及记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排除0的集合），记N*或N+；全体整数组成的集合称为整数集，记Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记Q；全体实数组成的集合称为实数集，记R。
例已知P={x,y,1},Q=x2,xy,x,且P=Q ,求x,y的值
{}
⎧y=xy,⎧y=x2,
解析由⎨①或⎨2②
xy=1,⎩⎩x=1,
解①得x=y=1这与集合中元素的互异性相矛盾。
解②得x=-1或1（舍去）这时y=0≨x=-1，y=06、集合的表示方法
⑴列举法：
把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。
适用条件：
有限集或有规律的无限集，形式：
{a1,a2,a3,⋯，an}
⑵描述法：
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
适用条件：
一般适合于无限集，有时也可以是有限集。
形式：
{x∈Dp（x）}，其中x为元素，p（x）表示特征。
（3）韦恩图法：
把集合中的元素写在一条封闭曲线（圆、椭圆、矩形等）内。
例用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：
⑴由所有非负奇数组成的集合；
⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；⑶方程x2+x+1=0的实数根组成的集合。
解：
⑴由所有非负奇数组成的集合可表示为：
A={xx=2n+1,n∈N}，无限集。
⑵平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合为：
C={（x,y）x
⑴子集：
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个无素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A含于B”（或“B包含A”）。
可简述为：
若x∈A⇒x∈B，则集合A是集合B的子集。
⑵集合相等：
如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此
2
2
{xx
时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B。
数学表述法可描述为：
对于集合A、B，若A⊆B，且B⊆A，则集合A、B相等。
⑶真子集：
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（BÙA）或说：
若集合A⊆B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集。
⑷空集：
不含任何元素的集合叫做空集，记为φ，并规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
8、集合间的基本运算
⑴并集：
一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并
⑶全集与补集
①全集：
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
②补集：
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作ðuA={xx∈U,且x∉A}。
例设集合A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9}，若A∩B={9}，求A∪B。
解析由A∩B={9}得，9∈A。
≨x2=9或2x-1=9
①由x2=9得，x=±3。
当x=3时，A={9,5,-4},B={-2,-2,9}，与元素的互异性矛盾。
当x=-3时，A={9,-7,-4},B={-8,4,9}，此时，A⋃B={-8,-7,-4,4,9}.②由2x-1=9得x=5.
当x=5时，A={25,9,-4},B={0,-4,9}，此时，A⋃B={-4,9}，与题设矛盾。
综上所述，A⋃B={-8,-7,-4,4,9}.⑷集合中元素的个数：
在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题，我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card来表示有限集合A中元素的个数。
例如：
A={a,b,c},则card（A）=3.
一般地，对任意两个有限集A，B，有card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）.当时仅当A∩B=φ时，card（A∪B）=card（A）+card（B）.解与集合中元素个数有关的问题时，常用venn图。
例学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？
}，B={球类运动会参赛的学生}，那么解：
设A={田径运动会参赛的学生
}，A⋃B={所有参赛的学生}，AB={两次运动会都参赛学生
Card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）=8+12-3=17
答：
两次运动会中，这个班共有17名同学参赛二、函数及其表示
1、函数的概念：
一般地，我们说：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x）,x∈A
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集。
2、函数的三要素
⑴函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。
⑵由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。
3、区间：
设a，b是两个实数，而且a
⑴满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］；⑵满足不等式a
⑶满足不等式a≤x
实数集常用区间表示为（-∞，“≦”读作“无穷大”。
“-∞”读作“负无穷大”，“++∞），≦”读作“正无穷大”
例1求下列函数的定义域y=x+1+
解：
要使y=x+1+
12-x
1
有意义，则必须2-x
⎧x+1≥0⎧x≥-1
，即x≥-1且x≠2，⇒⎨⎨
2-x≠0x≠2⎩⎩
故所求函数的定义域为{x|x≥-1且x≠2}
例2⑴已知函数f（x）的定义域是［-1，3］，求f（x+1）和f（x2）的定义域⑵已知函数f（2x+3）的定义域为（-1,2]，求f（x-1）的定义域
解：
⑴≧f（x）的定义域为［-1，3］，
≨f（x+1）的定义域由-1≤x+1≤3确定，即-2≤x≤2，≨f（x+1）的定义域为［-2，2］.
f（x2）的定义域由-1≤x2≤3确定，即-≤x≤≨f（x2）的定义域为[-3]⑵≧函数f（2x+3）的定义域为（-1,2]，≨2x+3中的x满足-1
令t=2x+3，则f（t）的定义域为（1,7].又1
式子y=f（x）表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C，我们从式子y=f（x）中解出x得到x=g（y），如果对于y在C中的任何一个值通过式子x=g（y）,x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=g（y）表示y是自变量x的函数，这样的函数x=g（y）叫做y=f（x）
的反函数，记作x=f-1（y），一般写成y=f-1（x）.
5、函数的三种表示法
解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。
列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
6、分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函
⎧f1（x）x∈D1⎪
⎪f（x）x∈D2
数叫分段函数，它是一类重要函数，形式是：
f（x）=⎨2
⋯⋯⎪⎪⎩fn（x）x∈Dn
分段函数是一个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段处理，其定义域为D1∪D2∪…∪Dn.
例中国移动通信已于2019年3月21日开始在所属18个省、市移动公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下：
请问：
“套餐”中第3种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式。
解：
“套餐”中第3种收费函数为
⎧168,0≤t≤330,y1=⎪⎨
⎪⎩168+0.5（t-330）,t>330.
7、复合函数
若y是u的函数，u又是x的函数，即y=f（u）,u=g（x）,x∈（a,b）,u∈（m,n），那么y关于x的函数y=f［g（x）］，x∈（a,b）叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是g（x）的值域。
8、映射
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
A→B为从集合A到集合B的一个映射。
9、函数解析式的求法
⑴待定系数法。
若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程或方程组，再求系数。
⑵换元法。
若已知函数y=f[ϕ（x）]的解析式，可令t=ϕ（x），并由此求出x=g（t），然后代入解析式求得y=f（t）的解析式，要注意t的取值范围为所求函数的定义域。
⑶赋值法：
可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。
⑷列方程（组）法求解。
若所给式子中含有f（x），f⎪或f（x）,f（-x）等形式，可考虑构造另一个方程，通过解方程组获解。
⑸配凑法
例解答下列各题：
⑴已知f（x）=x2-4x+3，求f（x+1）；⑵已知f（x+1）=x2-2x，求f（x）；
⎛1⎫⎝x⎭
⑶已知二次函数g（x）满足g
（1）=1,g（-1）=5，图象过原点，求g（x）。
解：
⑴f（x+1）=（x+1）2-4（x+1）+3=x2-2x
⑵方法一：
（配凑法）
f（x+1）=（x+1）2-2x-1-2x=（x+1）2-4x-1=（x+1）2-4（x+1）+3，≨f（x）=x2-4x+3
方法二：
（换元法）令x+1=t，则x=t-1，f（t）=（t-1）2-2（t-1）=t2-4t+3，≨f（x）=x2-4x+3.
⑶由题意设g（x）=ax2+bx+c，a≠0.≧g
（1）=1,g（-1）=4，且图象过原点，
⎧a+b+c=1,⎧a=3,⎪⎪
≨⎨a-b+c=5,解得⎨b=-2,⎪c=0.⎪c=0.⎩⎩
≨g（x）=3x2-2x.
三、函数的基本性质1、函数的单调性
⑴一般地，设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数，如图⑵所示。
如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间。
⑵函数单调性的判断方法
①定义法。
用定义法判断函数单调性的步骤为
第一步：
取值。
设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1
第二步：
作差、变形。
准确作出差值，并通过因式分解、配方、分子（分母）有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。
第三步：
判断f（x1）-f（x2）［或f（x2）-f（x1）］的符号。
第四步：
根据定义作出结论。
简记为“取值—作差—变形—定号—结论”。
②直接法。
运用已知的结论，直接得到函数的单调性，常见结论有：
ⅰ函数y=-f（x）与函数y=f（x）的单调性相反；ⅱ当函数f（x）恒为正或恒为负时，函数y=
1
与y=f（x）的单调性相反；f（x）
ⅲ在公共区间内，增函数+增函数，其和为增函数，增函数-减函数，其差为增函数等。
③图象法：
按照作图的方法，准确作出函数的图象，观察判断函数的单调性。
④若当x∈（a,b）时，f′（x）>0，则f（x）在（a,b）上递增；若当x∈（a,b）时，f′（x）
例讨论函数f（x）=
ax+11
（a≠）在（-2，+≦）上的单调性。
x+22
ax+2a+1-2a1-2a
解：
设-2
x+2x+2
≨f（x2）-f（x1）=（a+
x1-x21-2a1-2a11
）-（a+）.=（1-2a）（-）.=（1-2a）∙.x2+2x+2x2+2x1+2（x2+2）（x1+2）
又≧-2
x1-x2
（x2+2）（x1+2）
121
当1-2a时，上式>0，即f（x2）>f（x1）。
2
≨当1-2a>0，即a
ax+1
在（-2，+≦）上为减函数x+2
1ax+1当a>时，f（x）=在（-2，+≦）上为增函数
2x+2
≨当a
12
⑶复合函数的单调性
对于复合函数y=f［g（x）］，若t=g（x）在区间（a,b）上是单调函数，则y=f（t）在区间（g（a）,g（b））或（g（b）,g（a））上是单调函数；若t=g（x）与y=f（t）单调性相同（同时为增或减），则y=f［g（x）］为增函数，若t=g（x）与g=f（x）单调性相反，则y=f［g（x）］为减函数，简单地说成“同增异减”。
2函数的最大（小）值
⑴定义：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足⑴对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；⑵存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值。
同样地：
如果存在实数M满足：
⑴对于任意x∈I，都有f（x）≥M；⑵存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么我们称M是函数的最小值。
⑵二次函数在闭区间上的最值
二次函数f（x）=ax2+bx+c，当a>0时，在闭区间［m,n］上的最值可分如下讨论：
b
②若->n时，则最大值为f（m），最小值为f（n）；
2abb
③若m≤≤n时，则最大值为f（m）或f（n），最小值为f（-）.
2a2a1
例已知≤a≤1，若f（x）=ax2-2x+1，在［1，3］上最大值为M（a），最小值为N（a），令
3
①若-
g（a）=M（a）-N（a）,求g（a）的函数表达式。
1⎫1⎛
解：
f（x）=ax-⎪+1-.
a⎭a⎝
2
≧≤a≤1，≨1≤
1
31
≤3.a
又≧x∈［1，3］.≨当x=时，
1a
11
当1≤≤2，即≤a≤1时，
a2
1a
f（x）min=N（a）=1-
f（x）max=M（a）=f（3）=9a-5.当2
1a
13
1
时，2
f（x）max=M（a）=f
（1）=a-1
11⎧9a+-6,≤a≤1,⎪⎪a2
≨g（a）=M（a）-N（a）=⎨
111⎪a+-2,≤a
3、函数的奇偶性
⑴偶函数：
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。
⑵奇函数：
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。
（1）若函数f（x）是偶函数，那么：
①对任意定义域的x,都有f（-x）=f（x）；②函数f（x）的图象关于y轴对称；
③函数f（x）在两个半对称区间上的单调性是相反的。
⑶若函数f（x）是奇函数，那么：
①对任意定义域内的x，都有f（-x）=-f（x）；②函数f（x）的图象关于坐标原点对称；
③函数f（x）在两个半对称区间上的单调性是相同的。
⑷函数奇偶性的判定方法
①定义法：
f（x）是奇函数⇔f（-x）=-f（x）⇔f（-x）+f（x）=0；f（x）是偶函数⇔f（-x）=f（x）⇔f（-x）-f（x）=0
②利用图象的对称性：
f（x）是奇函数⇔f（x）的图象关于原点对称。
f（x）是偶函数⇔f（x）的图象关于y轴对称。
例设函数f（x）对任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x>0时，f（x）
⑵试问在-3≤x≤3时，f（x）是否有最值？
如果有，求出最值；如果没有，说明理由。
解：
⑴≧f（x）对于任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立≨令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），≨f（x）为奇函数。
⑵设x10时，f（x）
≨f（x2）在［-3，3］上，当x=-3时，f（x）取最大值，即f（x）max=f（-3）=-f（3）=-3f
（1）=6；当x=3时，f（x）取最小值，即f（x）min=f（3）=-6.第二章基本初等函数一、运算公式
1、指数幂①
r
a=a
1
n
；②aras=ar+s（a>0,r,s∈Q）；③（ar）S=ar*s（a>0,r,s∈Q）；④
m
rr（a>0,b>0,r∈Q）⑤=（ab）aban=am
2、对数（a>0,且a≠1，m>0,且m≠1，M>0,N>0）①loga（MN）=logaM+logaN;②
loga
Mn=logaM-logaN;③logaMN
=nlogaM（n∈R）；④logaN=logmN
logma
推论logambn=
n
logab（a>0,且a>1,m,n>0,且m≠1,n≠1,N>0）.m
二、指数函数及其性质
1、指数函数的概念：
一般地，函数y=ax（a>0,且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：
指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
x
注意：
利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，f（x）=a（a>0且a≠1）
值域是[f（a）,f（b）]或[f（b）,f（a）]；
（2）若x≠0，则f（x）≠1；f（x）取遍所有正数当且仅当x∈R；
x
f（x）=a（a>0且a≠1），总有f
（1）=a；（3）对于指数函数
三、对数函数
1、对数的概念：
一般地，如果ax=N（a>0,a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：
x=logaN（a—底数，N—真数，logaN—对数式）
x
说明：
⑴注意底数的限制a>0，且a≠1；⑵a=N⇔logaN=x；
2、两个重要对数：
⑴常用对数：
以10为底对数lgN；⑵自然对数：
以无理数e=2.71828为底的对数lnN。
3、对数函数
⑴对数函数的概念：
函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+≦）。
注意：
①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：
y=2log2x，
y=log5
x
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数。
5
②对数函数对底数的限制：
（a>0，且a≠1）．⑵对数函数的性质：
四、幂函数
1、幂函数定义：
一般地，形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中α为常数。
2、幂函数性质归纳
⑴所有的幂函数在（0，+≦）都有定义并且图象都过点（1，1）。
⑵α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+∞）上是增函数。
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0
⑶α
x轴正半轴．在第一象限内,过（1,1）点后,|α|越大,图象下落的速度越快.
⑷解析式f（x）=xa，当a=1时，一次函数；当a=2时，二次函数；当a=-1时，反比例函数；当a=时，。
幂函数只要求掌握a为某些特殊值的时候的图象即可。
1
2
第三章函数的应用
第四章空间几何体一、空间几何体的结构
1、柱、锥、台、球的结构特征
⑴棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：
用各顶点字母，如五棱柱ABCDE-A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱
AD'。
几何特征：
两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
⑵棱锥：
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
表示：
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