第一章141142.docx

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第一章141142

1．4.1　全称量词

1．4.2　存在量词

学习目标

　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．

知识点一　全称量词、全称命题

思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：

m≤5；

Q：

对所有的m∈R，m≤5.

（1）上面的两个语句是命题吗？

二者之间有什么关系？

（2）常见的全称量词有哪些？

（至少写出五个）．

答案　

（1）语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

（2）常见的全称量词有：

“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．

梳理　

（1）概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．

（2）表示

将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：

∀x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，有p（x）成立”．

（3）全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，

证明p（x）成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p（x0）不成立即可．

知识点二　存在量词、特称命题

思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：

m>5；

Q：

存在一个m0∈Z，m0>5.

（1）上面的两个语句是命题吗？

二者之间有什么关系？

（2）常见的存在量词有哪些？

（至少写出五个）

答案　

（1）语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．

（2）常见的存在量词有：

“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．

梳理　

（1）存在量词：

通常指的是短语“存在一个”“至少有一个”，并用符号“∃”表示．

（2）特称命题：

①定义：

含有存在量词的命题．②记法：

特称命题“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”，可用符号简记为：

∃x0∈M，p（x0）．

（3）特称命题真假判定：

要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p（x0）成立即可，否则这一特称命题就是假命题.

类型一　全称命题与特称命题的识别

例1　判断下列命题是全称命题，还是特称命题：

（1）凸多边形的外角和等于360°；

（2）有的向量方向不定；

（3）对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解　

（1）可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题．

（2）含有存在量词“有的”，故是特称命题．

（3）含有全称量词“任意”，故是全称命题．

反思与感悟　判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．

跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．

（1）自然数的平方大于或等于零；

（2）圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；

（3）有的函数既是奇函数又是增函数；

（4）对于数列

，总存在正整数n0，使得

与1之差的绝对值小于0.01.

解　

（1）是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0.

（2）是特称命题，表示为∃（x0，y0）∈{（x，y）|x2＋y2＝1}，满足

＝1.

（3）是特称命题，∃f（x）∈{函数}，f（x）既是奇函数又是增函数．

（4）是特称命题，∃n0∈N*，

其中

＝

.

类型二　全称命题与特称命题的真假的判断

例2　判断下列命题的真假．

（1）所有的素数都是奇数；

（2）∀x∈R，x2＋1≥1；

（3）对每一个无理数x，x2也是无理数；

（4）存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0；

（5）存在两个相交平面垂直于同一条直线．

解　

（1）2是素数，但2不是奇数．

所以全称命题“所有的素数都是奇数”是假命题．

（2）任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.

所以全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．

（3）

是无理数，但（

）2＝2是有理数．

所以全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．

（4）由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以特称命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题．

（5）由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直同一条直线，所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题．

反思与感悟　判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：

（1）要判定一个特称命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x0，使p（x0）成立即可，否则命题为假．

（2）要判定一个全称命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p（x）都成立，但要判定一个全称命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x0，使p（x0）不成立即可．

跟踪训练2　

（1）举反例说明下列命题是假命题．

①∀x∈R，都有|x|＝x；

②∀x∈R，都有

＝x；

③任意一元二次方程都有实数解；

④凡x<2，都有x<1（x∈R）．

解　①当x＝－1时，|x|＝1，而x＝－1，等式不成立，故为假命题．

②当x＝－1时，

＝1，而x＝－1，等式不成立，故为假命题．

③方程x2＋2x＋2＝0无实数解，故为假命题．

④令x＝1.5，则x<2，但x>1，故为假命题．

（2）判断下列命题的真假：

①有一些奇函数的图象过原点；

②∃x0∈R,2x

＋x0＋1<0；

③∀x∈R，sinx＋cosx≤

.

解　①该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．

②该命题是特称命题．

∵2x

＋x0＋1＝2（x0＋

）2＋

≥

>0，

∴不存在x0∈R，使2x

＋x0＋1<0.

故该命题是假命题．

③该命题是全称命题．

∵sinx＋cosx＝

sin（x＋

）≤

恒成立，

∴对任意实数x，sinx＋cosx≤

都成立，故该命题是真命题．

类型三　依据含量词命题的真假求参数取值范围

例3　

（1）已知命题p：

∀x∈R，ax2＋2x＋3≥0是真命题，求实数a的取值范围；

（2）已知命题q：

∃x∈[0，π]，使得sinx＋cosx＝m有解为真命题，求实数m的取值范围．

解　

（1）命题p为真命题，即ax2＋2x＋3≥0在R上恒成立．

①当a＝0时，不等式为2x＋3≥0，显然不能恒成立；

②当a≠0时，由不等式恒成立可知

即

∴a≥

.

综上，a的取值范围为[

，＋∞）．

（2）命题q为真，即方程sinx＋cosx＝m在x∈[0，π]上有解，设f（x）＝sinx＋cosx，

∴m的取值范围就是f（x）＝sinx＋cosx在[0，π]上的值域．

∴f（x）＝sinx＋cosx＝

sin（x＋

）．

而x∈[0，π]，∴x＋

∈[

，

π]，

∴sin（x＋

）∈[－

，1]，故f（x）∈[－1，

]，

∴m的取值范围为[－1，

]．

反思与感悟　已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．

解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制．

跟踪训练3　设点M（x0,1），若在圆O：

x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，求x0的取值范围．

解　方法一　当x0＝0时，M（0,1），由圆的几何性质得在圆上存在点N（－1,0）或N（1,0），使∠OMN＝45°.

当x0≠0时，过M作圆的两条切线，切点为A、B.

若在圆上存在点N，使得∠OMN＝45°，

应有∠OMB≥∠OMN＝45°，

∴∠AMB≥90°，∴－1≤x0<0或0

综上，－1≤x0≤1.

方法二　过O作OP⊥MN，P为垂足，OP＝OM·sin45°≤1，∴OM≤

，OM2≤2，

∴x

＋1≤2，∴x

≤1，

∴－1≤x0≤1.

1．下列命题中，不是全称命题的是（　　）

A．任何一个实数乘以0都等于0

B．自然数都是正整数

C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数

答案　D

解析　D选项是特称命题．

2．命题p：

∃x∈N，x3

∀a∈（0,1）∪（1，＋∞），函数f（x）＝loga（x－1）的图象过点（2,0），则（　　）

A．p假q真B．p真q假

C．p假q假D．p真q真

答案　A

解析　∵x3

3．已知函数f（x）＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f（x2）”为真命题，则下列结论一定正确的是（　　）

A．a≥0B．a<0C．b≤0D．b>1

答案　B

解析　函数f（x）＝|2x－1|的图象如图所示：

由图可知f（x）在（－∞，0）上为减函数，在（0，＋∞）上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1f（x2）为真命题，则必有a<0，故选B.

4．特称命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是________（填“真”或“假”）命题．

答案　假

解析　不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题．

5．若命题“∃x0∈R，x

＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．

答案　2≤m≤6

解析　由已知得“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×（2m－3）＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是2≤m≤6.

1．判断全称命题的关键：

一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．

2判定全称命题的真假的方法：

定义法：

对给定的集合的每一个元素x，p（x）都为真；代入法：

在给定的集合内找出一个x0，使p（x0）为假，则全称命题为假．

3．判定特称命题真假的方法：

代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为真，否则命题为假．

一、选择题

1．设非空集合A，B满足A⊆B，则（　　）

A．∃x0∈A，使得x0∉B

B．∀x∈A，有x∈B

C．∃x0∈B，使得x0∉A

D．∀x∈B，有x∈A

答案　B

解析　因为非空集合A，B满足A⊆B，所以A中元素都在B中，即∀x∈A，有x∈B.

2．已知命题p：

对任意x∈R，总有2x>0；q：

“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．（¬p）∧（¬q）

C．（¬p）∧qD．p∧（¬q）

答案　D

解析　p为真命题，q为假命题，故¬p为假命题，¬q为真命题．从而p∧q为假，（¬p）∧（¬q）为假，（¬p）∧q为假，p∧（¬q）为真，故选D.

3．已知命题“∃x∈R，使2x2＋（a－1）x＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－1,3）

C．（－3，＋∞）D．（－3,1）

答案　B

解析　原命题的否定为∀x∈R,2x2＋（a－1）x＋

>0，

由题意知，其为真命题，则Δ＝（a－1）2－4×2×

<0，

则－2

4．已知命题“∃x0∈R，x

＋ax0－4a<0”为假命题，则实数a的取值范围为（　　）

A．[－16,0]B．（－16,0）

C．[－4,0]D．（－4,0）

答案　A

解析　由题意可知“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，

∴Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选A.

5．下列四个命题：

①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．其中是真命题的为（　　）

A．①②③④B．①②③

C．①②④D．②③④

答案　C

解析　①所有无理数都是实数，为真命题；

②显然为真命题；

③显然不成立，为假命题；

④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．

6．已知命题p：

∃x∈R,2x>3x；命题q：

∀x∈（0，

），tanx>sinx，则下列是真命题的是（　　）

A．（¬p）∧qB．（¬p）∨（¬q）

C．p∧（¬q）D．p∨（¬q）

答案　D

解析　当x＝－1时，2－1>3－1，所以p为真命题；当x∈（0，

）时，tanx－sinx＝

>0，所以q为真命题，所以p∨（¬q）是真命题，故选D.

7．已知命题p：

∃x0∈R，使sinx0＝

；命题q：

∀x∈R，都有x2＋x＋1>0，给出下列结论：

①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（¬q）”是假命题；③命题“（¬p）∨q”是真命题；④命题“（¬p）∨（¬q）”是假命题．其中正确的结论是（　　）

A．②③B．②④

C．③④D．①②③

答案　A

解析　∵

>1，∴命题p是假命题．

∵x2＋x＋1＝（x＋

）2＋

≥

>0，

∴命题q是真命题，由真值表可以判断“p∧q”为假，“p∧（¬q）”为假，“（¬p）∨q”为真，“（¬p）∨（¬q）”为真，所以只有②③正确，故选A.

二、填空题

8．下列命题：

①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，即是特称命题又是真命题的是________（填上所有满足要求的序号）．

答案　①②③　④⑤

解析　①是全称命题，是真命题；

②是全称命题，是真命题；

③是全称命题，即任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；

④含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；

⑤是特称命题，是真命题；

⑥是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.

9．用符号“∀”或“∃”表示含有量词的命题．

（1）实数的平方大于等于0________.

（2）存在一对实数x0，y0，使2x0＋3y0＋3>0成立________．

答案　

（1）∀x∈R，有x2≥0

（2）∃x0，y0∈R，使2x0＋3y0＋3>0成立

解析　由题意，可表示为

（1）∀x∈R，有x2≥0.

（2）∃x0，y0∈R，使2x0＋3y0＋3>0成立．

10．已知命题p：

“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：

“∃x0∈R，x

＋4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

答案　[e,4]

解析　由命题“p∧q”是真命题，得命题p，q都是真命题.因为x∈[0,1]，所以ex∈[1，e]，所以a≥e；∃x0∈R，x

＋4x0＋a＝0，即方程x2＋4x＋a＝0有实数根，所以Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，取交集得a∈[e,4]．

三、解答题

11．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．

（1）存在一条直线，其斜率不存在；

（2）对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；

（3）存在实数x0，使得

＝2.

解　

（1）是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题．

（2）是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．

（3）是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，

＝2”，是假命题．

12．已知命题p：

“存在a>0，使函数f（x）＝ax2－4x在（－∞，2]上单调递减”，命题q：

“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16（a－1）x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．

解　若p为真，则对称轴x＝－

＝

在区间（－∞，2]的右侧，即

≥2，∴0

若q为真，则方程16x2－16（a－1）x＋1＝0无实数根，

∴Δ＝[－16（a－1）]2－4×16<0，∴

.

∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p、q都为真，

∴

∴

故实数a的取值范围为（

，1]．

13．已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x＋y）－f（y）＝（x＋2y＋1）x成立，且f

（1）＝0.

（1）求f（0）的值；

（2）当f（x）＋2

）恒成立时，求a的取值范围．

解　

（1）由已知等式f（x＋y）－f（y）＝（x＋2y＋1）x，

令x＝1，y＝0，

得f

（1）－f（0）＝2，又因为f

（1）＝0，

所以f（0）＝－2.

（2）由

（1）知f（0）＝－2，

所以f（x）＋2＝f（x）－f（0）＝f（x＋0）－f（0）＝（x＋1）x.

因为x∈（0，

），所以f（x）＋2∈（0，

）．

要使x∈（0，

）时，f（x）＋2

显然当a>1时不可能，

所以

解得

≤a<1.

所以a的取值范围为[

，1）．