高考数学人教A版理复习教案第一章 集合与常用逻辑用语 13.docx

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高考数学人教A版理复习教案第一章集合与常用逻辑用语13

§1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．命题p∧q，p∨q，非p的真假关系表

p

q

p∧q

p∨q

非p

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

2.全称量词和存在量词

量词名称

常见量词

表示符号

全称量词

所有、一切、任意、全部、每一个、任给等

∀

存在量词

存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等

∃

3.全称命题和特称命题

命题名称

命题结构

命题简记

全称命题

对M中任意一个x，有p（x）成立

∀x∈M，p（x）

特称命题

存在M中的一个x0，使p（x0）成立

∃x0∈M，p（x0）

4.含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，非p（x0）

∃x0∈M，p（x0）

∀x∈M，非p（x）

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．（　×　）

（2）已知命题p：

∃n0∈N,

>1000，则非p：

∃n∈N,

≤1000.（　×　）

（3）命题p和非p不可能都是真命题．（　√　）

（4）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”．（　×　）

（5）“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．（　√　）

（6）命题“∃x0∈R,

≤0”是假命题．（　√　）

1．命题p：

∀x∈R，sinx<1；命题q：

∃x∈R，cosx≤－1，则下列结论是真命题的是（　　）

A．p∧qB．非p∧q

C．p∨非qD．非p∧非q

答案　B

【详细分析】∵p是假命题，q是真命题，

∴非p∧q是真命题．

2．（2013·重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）

A．对任意x∈R，都有x2<0

B．不存在x∈R，使得x2<0

C．存在x0∈R，使得x

≥0

D．存在x0∈R，使得x

<0

答案　D

【详细分析】因为“∀x∈M，p（x）”的否定是“∃x0∈M，非p（x0）”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x

<0”．

3．（2014·重庆）已知命题

p：

对任意x∈R，总有2x>0；

q：

“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．

则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．非p∧非q

C．非p∧qD．p∧非q

答案　D

【详细分析】因为指数函数的值域为（0，＋∞），所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、非p为假命题，非q为真命题，非p∧非q、非p∧q为假命题，p∧非q为真命题，故选D.

4．若命题“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．

答案　[－4,0]

【详细分析】“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，

∴－4≤m≤0.

题型一　含有逻辑联结词命题的真假判断

例1　

（1）命题p：

将函数y＝sin2x的图象向右平移

个单位得到函数y＝sin

的图象；命题q：

函数y＝sin

cos

的最小正周期为π，则命题“p∨q”“p∧q”“非p”中真命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．0

（2）已知命题p：

若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：

在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件（m，n，p，q∈N*）．则下面选项中真命题是（　　）

A．（非p）∧（非q）B．（非p）∨（非q）

C．p∨（非q）D．p∧q

答案　

（1）B　

（2）B

【详细分析】

（1）函数y＝sin2x的图象向右平移

个单位后，

所得函数为y＝sin

＝sin

，

∴命题p是假命题．

又y＝sin

cos

＝sin

cos

＝sin2

＝

－

cos

，

∴其最小正周期为T＝

＝π，

∴命题q真．

由此，可判断命题“p∨q”真，“p∧q”假，“非p”为真．

所以真命题的个数是2.

（2）当a＝1.1，x＝2时，

ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，

此时，ax

命题q，由等差数列的性质，

当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，

当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．

故非p是真命题，非q是假命题，

所以p∧q为假命题，p∨（非q）为假命题，（非p）∧（非q）为假命题，（非p）∨（非q）为真命题．

思维升华　“p∨q”“p∧q”“非p”等形式命题真假的判断步骤：

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p、q的真假；

（3）确定“p∧q”“p∨q”“非p”等形式命题的真假．

（1）（2014·湖南）已知命题p：

若x>y，则－x<－y；命题q：

若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（非q）；④（非p）∨q中，真命题是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

（2）“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件．

答案　

（1）C　

（2）必要不充分

【详细分析】

（1）当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而非p为假命题．

当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而非q为真命题．

由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（非q）为真命题；④（非p）∨q为假命题．故选C.

（2）若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题．

若命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题，

因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．

题型二　含有一个量词的命题的真假判断与否定

例2　

（1）下列命题中的假命题是（　　）

A．∃x∈R，lnx＝0B．∃x∈R，tanx＝

C．∀x∈R，x2>0D．∀x∈R,3x>0

（2）（2013·四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：

∀x∈A,2x∈B，则（　　）

A．非p：

∀x∈A,2x∉B

B．非p：

∀x∉A,2x∉B

C．非p：

∃x∉A,2x∈B

D．非p：

∃x∈A,2x∉B

思维点拨　含一个量词的命题的否定要改变量词，并对结论进行否定．

答案　

（1）C　

（2）D

【详细分析】

（1）当x＝1时，lnx＝0，所以排除A；因为y＝tanx∈R，所以命题“∃x∈R，tanx＝

”为真命题，所以排除B；命题“∀x∈R,3x>0”为真命题，所以排除D.应选C.

（2）命题p：

∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定非p应为∃x∈A,2x∉B，选D.

思维升华　

（1）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p（x0）成立．

（2）对全（特）称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．

②对原命题的结论进行否定．

（1）下列命题中的真命题是（　　）

A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝

B．∀x∈（0，＋∞），ex>x＋1

C．∃x∈（－∞，0），2x<3x

D．∀x∈（0，π），sinx>cosx

（2）命题“存在实数x，使x>1”的否定是（　　）

A．对任意实数x，都有x>1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

答案　

（1）B　

（2）C

【详细分析】

（1）因为sinx＋cosx＝

sin（x＋

）≤

<

，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈（0，

）时有sinx

（2）利用特称命题的否定是全称命题求解．

“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.

题型三　逻辑联结词与命题真假的应用

例3　

（1）设p：

关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：

函数y＝

的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是________________．

（2）已知命题p：

“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：

“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．

答案　

（1）

∪[1，＋∞）　

（2）[e,4]

【详细分析】

（1）根据指数函数的单调性，可知命题p为真命题时，实数a的取值集合为P＝{a|0

对于命题q：

函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．

当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；

当a≠0时，不等式恒成立的条件是

，解得a≥

.

所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝{a|a≥

}．

由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”，可知命题p，q一真一假，

当p真q假时，a的取值范围是P∩（∁RQ）＝{a|0

}＝{a|0

}；

当p假q真时，a的取值范围是（∁RP）∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥

}＝{a|a≥1}．

综上，a的取值范围是

∪[1，＋∞）．

（2）若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex,得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.

思维升华　以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∧q”“p∨q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可．

（1）已知命题p：

“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：

“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．{a|a≤－2或a＝1}

B．{a|a≥1}

C．{a|a≤－2或1≤a≤2}

D．{a|－2≤a≤1}

（2）命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

答案　

（1）A　

（2）[－2

，2

]

【详细分析】

（1）由题意知，p：

a≤1，q：

a≤－2或a≥1，

∵“p且q”为真命题，

∴p、q均为真命题，

∴a≤－2或a＝1.

（2）因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2

≤a≤2

.

常用逻辑用语与一元二次不等式

一、命题的真假判断

典例：

已知命题p：

∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：

若mx2－mx－1<0恒成立，则－4

A．“非p”是假命题

B．q是真命题

C．“p或q”为假命题

D．“p且q”为真命题

答案　C

【详细分析】由于x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，

即x2＋1≥2x，所以p为假命题；

对于命题q，当m＝0时，有－1<0，恒成立，

所以命题q为假命题．

综上可知：

非p为真命题，

p且q为假命题，p或q为假命题，故选C.

温馨提醒　判断和一元二次不等式有关的命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立（有解、无解），然后再利用逻辑用语进行判断．

二、确定参数的取值范围

典例：

（1）若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为________．

（2）已知p：

∃x∈R，mx2＋1≤0，q：

∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（　　）

A．m≥2B．m≤－2

C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2

答案　

（1）[－2,2]　

（2）A

【详细分析】

（1）方法一　由题意，命题“对任意实数x，使x2＋ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝a2－4×1×1≤0，

解得－2≤a≤2.

方法二　若命题“存在实数x，使∀x∈R，x2＋ax＋1<0”是真命题，则Δ＝a2－4×1×1>0，解得a>2或a<－2.故原命题实数a的取值范围是取其补集，即[－2,2]．

（2）依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得

，即m≥2.

温馨提醒　在与全称命题、特称命题有关的问题中，如果从原来的命题出发解决问题不方便，则可以先否定原来的命题，再依据补集思想解决原问题.

方法与技巧

1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解．

2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．

失误与防范

1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．

2．p或q的否定：

非p且非q；p且q的否定：

非p或非q.

3．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.

A组　专项基础训练

（时间：

30分钟）

1．设命题p：

函数y＝sin2x的最小正周期为

；命题q：

函数y＝cosx的图象关于直线x＝

对称．则下列判断正确的是（　　）

A．p为真B．非q为假

C．p∧q为假D．p∨q为真

答案　C

【详细分析】p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．

2．已知命题p：

所有有理数都是实数；命题q：

正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．非p∨qB．p∧q

C．非p∧非qD．非p∨非q

答案　D

【详细分析】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有非p∨非q为真命题．

3．下列命题中的假命题是（　　）

A．∃x∈R，sinx＝

B．∃x∈R，log2x＝1

C．∀x∈R，（

）x>0D．∀x∈R，x2≥0

答案　A

【详细分析】因为∀x∈R，sinx≤1<

，所以A是假命题；对于B，∃x＝2，log2x＝1；对于C，根据指数函数图象可知，∀x∈R，（

）x>0；对于D，根据二次函数图象可知，∀x∈R，x2≥0.

4．已知命题p：

所有指数函数都是单调函数，则非p为（　　）

A．所有的指数函数都不是单调函数

B．所有的单调函数都不是指数函数

C．存在一个指数函数，它不是单调函数

D．存在一个单调函数，它不是指数函数

答案　C

【详细分析】命题p：

所有指数函数都是单调函数，则非p为：

存在一个指数函数，它不是单调函数，故选C.

5．已知集合M＝{x|0

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

【详细分析】因为MN，所以a∈M⇒a∈N，反之，则不成立，故“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件．故选B.

6．下列结论正确的个数是（　　）

①已知复数z＝i（1－i），z在复平面内对应的点位于第四象限；

②若x，y是实数，则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y或x≠－y”；

③命题p：

“∃x0∈R，x

－x0－1>0”的否定非p：

“∀x∈R，x2－x－1≤0”；

A．3B．2C．1D．0

答案　C

【详细分析】①已知复数z＝i（1－i），z在复平面内对应的点位于第四象限是错误的，因为z＝1＋i，对应点在第一象限；②若x，y是实数，则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y或x≠－y”是错误的，因为“x2≠y2”的充要条件是“x≠y且x≠－y”；③命题p：

“∃x0∈R，x

－x0－1>0”的否定非p：

“∀x∈R，x2－x－1≤0”是正确的，特称命题的否定是全称命题．

7．若命题p：

对于任意x∈[－1,1]，有f（x）≥0，则对命题p的否定是________．

答案　存在x0∈[－1,1]，使f（x0）<0

8．已知命题p：

x2＋2x－3>0；命题q：

>1，若“非q且p”为真，则x的取值范围是____________________．

答案　（－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）

【详细分析】因为“非q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，

<0，得20，解得x>1或x<－3，

由

解得x<－3或1

所以x的取值范围是x<－3或1

9．下列结论：

①若命题p：

∃x∈R，tanx＝1；命题q：

∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧（非q）”是假命题；

②已知直线l1：

ax＋3y－1＝0，l2：

x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是

＝－3；

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：

“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．

答案　①③

【详细分析】①中命题p为真命题，命题q为真命题，

所以p∧（非q）为假命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；

③正确．所以正确结论的序号为①③.

10．已知c>0，且c≠1，设p：

函数y＝cx在R上单调递减；q：

函数f（x）＝x2－2cx＋1在

上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．

解　∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0

即p：

00且c≠1，∴非p：

c>1.

又∵f（x）＝x2－2cx＋1在

上为增函数，∴c≤

.

即q：

0

，∵c>0且c≠1，

∴非q：

c>

且c≠1.

又∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p真q假或p假q真．

①当p真，q假时，

{c|0

＝

.

②当p假，q真时，{c|c>1}∩

＝∅.

综上所述，实数c的取值范围是

.

B组　专项能力提升

（时间：

20分钟）

11．已知命题p：

∃x∈R，x－2>lgx，命题q：

∀x∈R，x2>0，则（　　）

A．p∨q是假命题B．p∧q是真命题

C．p∧（非q）是真命题D．p∨（非q）是假命题

答案　C

【详细分析】∵x＝10时，x－2＝8，lg10＝1，x－2>lgx成立，∴命题p为真命题，又x2≥0，命题q为假命题，

所以p∧（非q）是真命题．

12．下列结论正确的是（　　）

A．若p：

∃x∈R，x2＋x＋1<0，则非p：

∀x∈R，x2＋x＋1<0

B．若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题

C．“函数f（x）为奇函数”是“f（0）＝0”的充分不必要条件

D．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题

答案　D

【详细分析】∵x2＋x＋1<0的否定是x2＋x＋1≥0，∴A错；若p∨q为真命题，则p、q中至少有一个为真，∴B错；f（x）为奇函数，但f（0）不一定有意义，∴C错；命题“若x2－3x＋2＝0则x＝1”的否命题为“若x2－3x－2≠0，则x≠1”是真命题，D对．

13．下列结论正确的个数是（　　）

（1）命题“∃x0∈R，x

＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；

（2）函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π是“a＝1”的必要不充分条件；

（3）x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔（x2＋2x）min≥（ax）max在x∈[1,2]上恒成立；

（4）“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<0”．

A．1B．2C．3D．4

答案　B

【详细分析】

（1）中命题“∃x0∈R，x

＋1>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”为真命题；

（2）中如果函数f（x）＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax的最小正周期为π，那么由

＝π得a＝±1；

由a＝1得f（x）＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax＝cos2x，其最小正周期为π，所以

（2）是真命题；

（3）是假命题，由x∈[1,2]，可将x2＋2x≥ax化为a≤x＋2，所以原命题等价于a≤（x＋2）min；

（4）是假命题，因为a·b<0，有可能a与b的夹角是π.故选B.

14．给定两个命题，命题p：

对任意实数x都有ax2>－ax－1恒成立，命题q：

关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，0）∪（

，4）

【详细分析】若p为真命题，则a＝0或

即0≤a<4；若q为真命题，则（－1）2－4a≥0，即a≤

.

因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，

所以p，q中有且仅有一个为真命题．

若p真q假，则

综上，实数a的取值范围为（－∞，0）∪（

，4）．

15．设命题p：

实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：

实数x满足

（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解　

（1）由x2－4ax＋3a2<0，得（x－3a）（x－a）<0.

又a>0，所以a

当a＝1时，1

实数x的取值范围是1

由

解得

即2

所以q为真时实数x的取值范围是2

若p∧q为真，则

⇔2

所以实数x的取值范围是（2,3）．

（2）非p是非q的充分不必要条件，

即非p⇒非q且非q

非p.

设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，

则AB.∴03，

∴1

∴实数a的取值范围是（1,2].