统计学第二版第五章.docx
《统计学第二版第五章.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《统计学第二版第五章.docx（36页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
统计学第二版第五章
第五章时间数列
第一节时间数列的概念和种类
一、时间数列的概念
将同类指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的统计数列称为时间数列，通常又称它为时间序列或动态数列。
表5.1是我国1999～2003年若干国民经济指标的时间数列。
表5.11999～2003年我国若干国民经济指标
年份
1999
2000
2001
2002
2003
国内生产总值（亿元）
82067.5
89468.1
97314.8
105172.3
117251.9
年末人口数（万人）
125786
126743
127627
128453
129227
地方财政收入占全国的
比重（%）
48.9
47.8
47.6
45.0
45.4
职工平均工资（元/人）
8346
9371
10870
12422
14040
从表中的几个时间数列可以看出，它们均有两个基本要素构成；一是被研究现象所属的时间，二是与现象所属时间相对应的指标数值。
按时间要素所给出时间单位的长度，时间数列可以有年、季、月、日等形式，按时间数列中指标的性质和表现形式，可以划分时间数列的类型。
时间数列及其分析具有以下基本作用：
可以反映现象发展变化的过程和结果；
可以研究现象发展变化的方向、水平、速度和趋势；
通过对时间数列的分析，可以进一步对现象的发展变化进行预测；
通过对比相关联的时间数列，可以发现同一空间不同现象之间或不同空间同一现象之间在发展变化过程中的相互关系。
二、时间数列的种类
时间数列按其统计指标的性质和表现形式，分为绝对数时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列三种。
其中，绝对数时间数列是基本数列，相对数和平均数时间数列是派生数列。
1．绝对数时间数列
将同类总量指标在不同时间上按时间先后顺序排列所形成的时间数列称为绝对数时间数列。
它可以反映现象在不同时间上所表现出的总量水平。
依据时间特点总量指标分为时期指标和时点指标，因此绝对数时间数列又可以分为时期数列和时点数列。
表5.1中的国内生产总值和年末人口数时间数列就分别属于时期数列和时点数列。
由于时期指标与时点指标的不同特点，决定了时期数列与时点数列具有相互不同的特征：
（1）时期数列中各时间上的指标值可以直接相加，相加的结果反映现象在更长时间内的总量水平，如某年各月的国内生产总值相加的结果是该年的国内生产总值；而时点数列中各时间上的指标值直接相加是没有实际意义的。
（2）时期数列的指标数值大小与所属时期长短有直接关系，对于指标值非负的时期数列，其时期长度越长，指标数值越大；反之，指标数值越小。
而时点数列的指标值大小与时点间隔无直接关系，如年末人口数就不一定比季末人口数大。
（3）时期数列中各指标值表明了现象在一段时间内发展变化的总量，因此，必须将这一时间段内现象所发生的数量逐一登记并加以累计，才能得到相应的指标值，所以时期数列的指标值一般通过连续登记的方式取得。
而时点数列中各指标值表明了现象在某一时刻上的总量水平，只需在某一时点上统计即可，所以时点数列的指标值一般通过间断登记的方式取得。
2．相对数和平均数时间数列
将同类相对指标或平均指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列所形成的时间数列分别称为相对数和平均数时间数列。
如表5.1中的地方财政收入占全国比重的时间数列是相对数时间数列，职工平均工资时间数列为平均数时间数列。
相对数和平均数时间数列均为绝对数时间数列的派生数列。
如地方财政收入占全国比重时间数列是两个时期数列派生形成的，年末第一产业从业人员比重时间数列是由两个时点数列派生形成的，人均国内生产总值时间数列由一个时期数列和一个时点数列派生而形成。
应当注意：
相对数时间数列和平均数时间数列中的指标值相加无实际意义。
三、编制时间数列的原则
编制时间数列的目的之一就是要进行动态对比分析，所以可比性原则是编制时间数列时要遵循的最基本原则，具体有以下几点：
（1）时间上要可比。
在时期数列中各指标值大小直接取决于时期长度，若时期长短不一，指标值则不可比，所以同一时期数列中各指标值所属的时期长度应当一致。
在时点数列中各指标值大小虽然与时点间隔长短无直接关系，但为了更准确地反映现象发展变化的状况，同一时点数列中各指标值之间的时点间隔尽可能相等。
（2）总体范围要一致。
时间数列中指标值的大小与总体范围有着密切地联系，若现象的总体范围随时间的变化而发生了改变，则变化前后的指标值就不能直接对比，必须进行相应的调整以保证总体范围的一致性。
（3）指标经济内容要一致。
随着时间的推移，同一名称的指标，其涵盖的经济内容可能会发生改变，则不同经济内容的指标值之间不能直接对比，需要根据指标经济内容的变化调整相应的指标值。
（4）指标值的计算方法、计算价格和计量单位要一致。
如国内生产总值指标的计算方法有生产法、支出法和分配法，不同计算方法往往会导致结果的一定差异，所以同一时间数列中指标值的计算方法要前后一致。
有些统计指标的计算涉及到计算价格问题，如产值指标是根据不变价格还是现行价格计算，即使是不变价格，也存在不同时期的不变价格之分，因此在编制时间数列时，要始终保持计算价格的一致性。
同一时间数列中各指标值的计量单位要统一，这一点在实物指标时间数列中要尤加注意。
第二节时间数列的水平分析指标
由时间数列可以计算发展水平、平均发展水平、增长量和平均增长量。
一、发展水平
时间数列中各时间上对应的指标数值称为发展水平。
在绝对数时间数列中，发展水平表现为绝对数；在相对数和平均数时间数列中，发展水平表现为相对数或平均数。
发展水平通常用ai表示，则时间数列各期的发展水平分别为a1，a2，…，an－1，an，其中，数列首期水平a1为最初水平，排在最后的an为最末水平，其它各期水平为中间水平。
在动态分析中，通常将所研究和反映的那一时期的发展水平称为报告期水平，将用作比较基础的那一时期的发展水平称为基期水平。
值得注意的是：
当研究目的和内容发生改变时，基期和报告期的确定会有所变动，发展水平的名称也会相应地改变。
在对发展水平进行文字说明时，常用“增加到”“增加了”或“降低到”“降低了”来表述，例如我国国内生产总值2002年为105172.3亿元，2003年增加到117251.9亿元，增加了12079.6亿元。
这里要注意“增加到”与“增加了”、“降低到”与“降低了”的区别。
二、平均发展水平
平均发展水平是将时间数列中各期发展水平加以平均而求得的平均数，统计上又称这种平均数为序时平均数或动态平均数。
它从动态上反映了现象在一段时间内发展水平的一般情况。
序时平均数与前面介绍的一般平均数相比，既有相同之处又有不同点。
其相同之处在于都是将现象的个别数量差异抽象化，反映现象总体的一般水平。
不同点主要体现在：
序时平均数是将现象在不同时间上的个别数量差异抽象化，从动态上表明现象在一段时间内发展变化所达到的一般水平，是依据时间数列来计算的；而一般平均数是将总体各单位标志值在同一时间上的个别数量差异抽象化，从静态上表明现象在某一具体时间条件下所达到的一般水平，是依据变量数列计算的。
由于发展水平可以表现为绝对数、相对数和平均数，它们在计算序时平均数的方法上各有不同，下面分别介绍。
（一）由绝对数时间数列计算序时平均数
绝对数时间数列有时期数列和时点数列之分，其计算方法分别如下：
1.由时期数列计算序时平均数
由于时期数列中各指标值之间具有可加性，可直接采用简单算术平均法，即以各时期指标数值之和除以时间数列的项数，用公式表示为：
其中，a为序时平均数；ai为第i期的发展水平（i=1，2，…，n）；n为时期数列的项数。
【例5.1】根据表5.1中的国内生产总值时期数列计算1999～2003年间的年平均国内生产总值为：
2.由时点数列计算序时平均数
时点数列中有的指标数值是逐日登记，有的却是间隔较长一段时间登记一次，如月末、季末、年末进行登记。
统计上通常将逐日登记指标值的时点数列称为连续时点数列，而将间隔较长时间登记一次指标值的时点数列称为间断时点数列。
两种不同的时点数列有着不同的计算公式。
（1）由连续时点数列计算序时平均数。
根据连续时点数列计算序时平均数有两种情形：
①逐日登记并逐日给出资料时，可采用简单算术平均法计算，同公式（5.1），此时ai表示各时点的指标值，n表示时点指标值的个数。
如逐日给出某企业每天的出勤人数，可用每天出勤人数之和除以天数即得该段时间出勤人数的序时平均数。
又如：
已知某企业某月份每天拥有的生产用设备数，将每天的生产用设备数相加之后除以天数即得该月份生产用设备数的序时平均数。
②仅在时点指标值发生变动时进行登记，但登记资料的时间单位仍为“日”，此时可用每次变动持续的间隔长度fi为权数，采用加权算术平均数的方法计算，计算公式如下：
其中，ai为各时点指标值；fi为每次变动持续的间隔长度；n为时点数列的项数。
【例5.2】某企业2005年6月下旬某原材料库存量如表5.2所列。
表5.2原材料库存量和间隔时间
日期
21～22
23～24
25
26～28
29～30
原材料库存量（千克）
520
480
550
500
490
时间间隔（天）
2
2
1
3
2
该企业6月下旬此原材料的日平均库存量为：
（2）由间断时点数列计算序时平均数。
根据间断时点数列计算序时平均数也有两种情形：
①对于间隔相等的间断时点数列，计算序时平均数的步骤如下：
首先，假定所研究的现象在相邻两个时点之间是均匀变化的，可将相邻两个时点值相加后除以2，求出两个时点之间的平均值，该平均值与两个时点之间的时间段相对应，从而形成一个新的时期数列。
其次，对上面求出的各平均值采用简单算术平均法计算其序时平均数。
【例5.3】某企业各月初的职工人数如表5.3所列。
表5.3某企业月初职工人数
月份
1月
2月
3月
4月
月初职工人数（人）
1480
1420
1460
1500
该企业第一季度各月的平均职工人数分别为：
由此可见，间隔相等间断时点数列计算序时平均数的一般公式为：
则
式中，ai是时点数列中各指标值（i=1，2，…，n），n是时点数列的项数。
②对于间隔不等的间断时点数列，首先应将相邻两个时点值相加后除以2，得出一系列时点间的平均值。
然后以间隔时间长度fi为权数，对这些平均值进行加权算术平均求得其序时平均数。
【例5.4】某企业2004年职工人数资料如表5.4所示。
表5.4某企业职工人数资料
时间
1月初
3月初
7月初
11月初
12月末
职工人数（人）
240
230
256
250
260
则2000年该企业的月平均职工人数为：
对于间隔不等的间断时点数列，计算序时平均数的一般计算式为：
（二）由相对数时间数列计算序时平均数
相对数时间数列是派生数列，它是由两个有联系的绝对数时间数列相应项对比所形成的数列，用来对比的两个绝对数时间数列可以均为时期数列，亦可以均为时点数列，还可以一个是时期数列、另一个为时点数列。
因此计算相对数时间数列的序时平均数时，不能直接对数列中的相对数指标值进行平均，而是先分别算出分子数列和分母数列的序时平均数，再将这两个序时平均数对比得到相对数时间数列的序时平均数。
计算公式为：
式中，c为相对数时间数列的序时平均数；a为分子数列的序时平均数；b为分母数列的序时平均数。
下面根据子母项数列的性质，讨论几种情形。
（1）子母项数列均为时期数列时，计算序时平均数的公式为：
【例5.5】表5.5给出了某工业企业2005年第二季度各月工业销售产值、工业总产值、工业产品销售率的资料。
表5.5某企业2005第二季度产值和销售率
时间
四月份
五月份
六月份
a．工业销售产值（万元）
741
792
784
b．工业总产值（万元）
780
825
800
c．工业产品销售率（%）
95
96
98
则企业2005年第二季度月平均工业产品销售率为：
（2）子母项数列均为间隔相等的时点数列，计算序时平均数的公式应为：
【例5.6】表5.6给出了某企业2004年第三季度各月初管理人员数、职工总数和管理人员占职工总数比重的资料。
表5.6某企业第三季度管理人员数和职工人数
7月初
8月初
9月初
10月初
a．管理人员数（人）
192
228
207
240
b．职工总数（人）
870
910
900
920
c．管理人员占职工
总数的比重（%）
22.1
25.1
23.0
26.1
则该企业2004年第三季度月平均管理人员占职工总数比重为：
（3）子母项数列属于不同性质的时间数列时，应根据具体情况进行计算。
【例5.7】分子数列是时期数列（月增加值数列），分母数列为间隔相等的间断时点数列（月初职工人数数列），某企业2004年度有关月份的上述资料见表5.7。
表5.7某企业增加值与月初职工人数资料
7月
8月
9月
10月
a．增加值（万元）
750
830
800
b．月初职工人数（人）
870
910
900
920
则该企业2004年第三季度月平均劳动生产率为：
对于分子数列是时期数列，分母数列是间隔相等间断时点数列的相对数时间数列，其计算序时平均数的一般公式为：
（三）由平均数时间数列计算序时平均数
平均数时间数列有一般平均数时间数列和序时平均数时间数列两种。
通常，一般平均数时间数列的分子数列是标志总量数列，分母数列是总体单位总量数列，因此，由一般平均数时间数列计算序时平均数的方法，与相对数时间数列计算序时平均数的方法相同，即分别计算出分子数列和分母数列的序时平均数，然后再将这两个序时平均数对比，得到一般平均数时间数列的序时平均数。
由序时平均数时间数列计算序时平均数时，若时间数列的间隔相等，则直接采用简单算术平均法计算；若间隔期不相等，则以时期数为权数，采用加权算术平均法计算。
三、增长量和平均增长量
1．增长量
增长量是报告期发展水平与基期发展水平之差，它反映现象从基期到报告期数量变化的绝对水平。
计算公式为：
增长量=报告期水平基期水平
由于采用的基期不同，增长量可分为逐期增长量、累计增长量和年距增长量。
（1）逐期增长量：
它是报告期水平与其前一期水平之差，表明现象逐期增加或减少的数量。
可用公式表示为：
zi=aiai1（5.8）
式中，zi为第i期相对于第i1期的逐期增长量；ai为第i期的指标数值。
（2）累计增长量：
它是报告期水平与某一固定时期水平（常为时间数列的最初水平）之差，表明现象在一定时间内总的增长或减少的数量。
可用公式表示为：
Li=aia1（5.9）
式中，Li为第i期的累计增长量，a1为时间数列最初水平。
可见，累计增长量与逐期增长量的关系是：
在同一时间数列中，累计增长量等于相应时期逐期增长量之和，即：
（3）年距增长量：
为了消除季节变动的影响，实际工作中常计算年距增长量，它是本期发展水平与去年同期发展水平之差，即：
年距增长量=本期发展水平去年同期发展水平
【例5.8】我国2005年8月份工业增加值是5967.51亿元，2004年8月份工业增加值为4544.46亿元，即：
年距增长量=5967.51－4544.46=1423.05（亿元）
表明2005年工业增加值比2004年同期增加1423.05亿元。
2．平均增长量
平均增长量是时间数列中各逐期增长量的序时平均数。
对一个时间数列a1，a2，…，an，其逐期增长量有n1个，这n1个逐期增长量分别反映n1个时期现象的增减变化情况，要想表明现象在一段较长时间内平均每期增减的数量，必须对各逐期增长量计算序时平均数。
实际计算中，有两种方法可供选择：
（1）水平法：
将各逐期增长量累加后除以逐期增长量的个数，即：
由于累计增长量等于相应逐期增长量之和，上式又可写成：
式中，n为时间数列的项数。
（2）累计法：
由于水平法实质上仅利用了首末两期的指标数值，反映不出指标值在中间过程中如何变化，从而损失了大量的中间信息。
因此可从另一角度来考虑，采用累计法计算。
对于时间数列a1，a2…an，设平均增长量为
，由最初水平a1可以推算随后各期的发展水平分别为a1+
，a1+2
，…，a1+（n1）
，令推算出的各期发展水平之和与相应的实际发展水平之和相等，即：
【例5.9】表5.8中列出了我国1997年至2003年财政收入资料。
表5.8我国1997～2003年财政收入及增长量
年份
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
财政收入（亿元）
8651
9876
11444
13395
16386
18904
21715
逐期增长量（亿元）
1225
1568
1951
2991
2518
2811
累计增长量（亿元）
1225
2793
4744
7735
10253
13064
资料来源：
《中国统计年鉴2004》，原始数据作四舍五入处理。
则我国1997～2003年财政收入的平均年增长量为：
第三节时间数列的速度分析指标
由时间数列可以计算发展速度、平均发展速度、增长速度和平均增长速度。
一、发展速度和增长速度
（一）发展速度
发展速度是两个不同时期发展水平之比，表明报告期水平已发展到基期水平的百分之几或若干倍，常用百分数或倍数表示，计算式为：
（5.14）
由于选择的基期不同，发展速度有定基发展速度、环比发展速度和年距发展速度之分，下面以时间数列a1，a2，…，an为例加以说明。
1.定基发展速度
定基发展速度是时间数列中报告期水平与某一固定时期水平（通常为最初水平）的比值，即ai/a1，它是报告期相对于基期的现象总发展速度。
2.环比发展速度
环比发展速度是时间数列中报告期水平与前一期水平之比，即ai/ai－1，它表明现象在相邻两个时期的逐期发展变化情况。
定基发展速度与环比发展速度之间存在如下关系：
（1）定基发展速度等于相应时期各环比发展速度的连乘积，即：
（2）相邻时期的两个定基发展速度之比等于相应的环比发展速度：
3.年距发展速度
年距发展速度是本期发展水平与上年同期发展水平之比，它消除了季节变动的影响，表明了现象本期水平相对于上年同期水平的发展变化情况。
计算年距发展速度的公式为：
（5.17）
（二）增长速度
增长速度是报告期增长量与基期水平之比，它表明现象的报告期水平比基期增长了百分之几或若干倍。
计算式为：
=发展速度1（5.18）
由于基期选择的不同，与发展速度一样，增长速度也可区分为定基增长速度、环比增长速度和年距增长速度。
根据增长速度与发展速度的关系，当发展速度>1时，增长速度>0，表明现象的发展水平是增长的，其具体数值体现了增长的程度。
若发展速度<1，则增长速度<0，表明现象的发展水平是下降的，其具体数值体现了下降的程度。
应用速度指标时应注意以下问题：
（1）定基增长速度不等于相应时期各环比增长速度的连乘积。
（2）相邻两个时期的定基增长速度之比不等于相应时期的环比增长速度。
（3）速度指标数值的大小与基期水平的高低密切相关，通常基期水平越高，发展速度增长1%所对应的绝对值就越大。
所以往往将增长1%绝对值与速度指标结合起来进行统计分析，增长1%绝对值的计算式为：
（5.19）
（4）在绝对数时间数列中，有时可能会出现指标数值为负值的情况，例如，某企业近5年的利润总额为120万元、80万元、10万元、50万元和20万元，对于该时间数列计算其环比发展速度分别为：
66.67%，12.5%，500%，40%，此时，这些环比发展速度已不能真实地反映利润总额的发展变化方向，如利润总额从第3期亏损10万元继续发展到第4期亏损50万元，两期发展水平均为负值，体现在发展速度上即为500%，表明利润总额增长400%，这与实际情况相违背；再如，第5期改变了前期的亏损状况，盈利20万元，但由于两期发展水平一正一负，体现在发展速度上就为40%，表明利润总额下降140%，显然也是不符合实际情况的。
对于指标数值时正时负的时间数列，利用速度指标进行分析是不合适的。
此时可采用水平指标，如上述时间数列的逐期增长量分别为：
40万元、90万元、60万元、70万元，说明前4期连续出现下降的态势，最后一期才转降为增。
【例5.10】下面以1999至2003年我国国内生产总值的资料，计算有关国内生产总值时间数列的动态分析指标，见表5.9。
表5.91999～2003年我国国内生产总值及其动态分析指标
年份
1999
2000
2001
2002
2003
国内生产总值
（亿元）
82067.5
89468.1
97314.8
105172.3
117251.9
增长量（亿元）
逐期
7400.6
7846.7
7857.5
12079.6
累计
7400.6
15247.3
23104.8
35184.4
增长1%绝对值
（亿元）
820.675
894.681
973.148
1051.723
发展速度（%）
环比
109.02
108.77
108.07
111.49
定基
100.00
109.02
118.58
128.15
142.87
增长速度（%）
环比
9.02
8.77
8.07
11.49
定基
9.02
18.58
28.15
42.87
二、平均发展速度和平均增长速度
（一）平均发展速度
对于一个时间数列，可计算若干个环比发展速度，这些环比发展速度分别体现了现象在每两个相邻时间内的发展变化情况，显然这些环比发展速度在数值上是有差异的，要想反映一个较长时期内现象发展变化的一般情况，需将这些数量差异抽象化，即计算这些环比发展速度的平均数。
所以平均发展速度是对若干个环比发展速度计算序时平均数，表明现象在一段时间内发展变化的一般水平。
计算平均发展速度的方法有几何平均法（水平法）和方程式法（累计法）。
1.几何平均法（水平法）
由于定基发展速度（即总速度）等于相应各期环比发展速度的连乘积，若以x表示环比发展速度，则：
现将各环比发展速度的数量差异抽象化，用平均发展速度
代替所有的xi，上式可变形为：
即：
式中，n为时间数列的项数；a1，an分别为时间数列的最初水平和最末水平；x为平均发展速度；xi为环比发展速度。
在例5.10中，1999～2003年我国国内生产总值年平均发展速度为：
亦可表示为：
由几何平均法计算平均发展速度的公式可以看出：
从时间数列的最初水平出发，按平均发展速度一直发展到最末一期，其最末水平的理论值与实际值相符，所以几何平均法又称为水平法。
2.方程式法（累计法）
方程式法的基本思想是：
由最初水平a1和平均发展速度
，推算出各期发展水平的理论值，然后令这些理论值之和与实
升级会员 