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参考文献1

参考文献

注：

1、该参考文献有些部分已被删减

2、参考文献数值分析教材由于无法下载所以没被打印。

构造法与构造主义

直觉数学阶段

　　直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性。

　　他认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。

”他曾计划要把数学算术化并在数学领域中清除一切非构造性的成分及其根源。

第二个强有力的倡导者是彭加勒，他主张自然数是最基本的直观，无需再作进一步的分析就可以认为是可信的，“与克隆尼克一样，他坚持所有的定义和证明都必须是构造性的。

”近代构造法的系统创立者是布劳威，他完整而彻底地从哲学和数学两方面贯彻和发展了“存在必须被构造”的观点。

这一学派中的主要人物还有海丁和魏尔。

　　他们在数学工作中的基本立场是：

第一，认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论。

这就是海丁所说的：

“数学开始于自然数及自然数相等概念形成之后。

”所以他们不允许一般集合论概念进入数学，而将全部数学都归约为自然数算术和一种利用“展形”建造起来的构造性连续统概念的假定。

第二，否认传统逻辑的普遍有效性而重建直觉派逻辑。

第三，批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”。

这就开始了构造法的第一阶段——直觉数学时期。

算法数学阶段

　　“发现集合论悖论以后，有些数学家认定了解决这些悖论引起的问题的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都从数学中排除掉，只限于研究那些可以能行地定义或构造的对象”这就是布劳威创立直觉数学的想法。

为此，他抛弃了许多通常的数学术语，引进了各种超数学原理，从而使得直觉数学难以为人读懂。

同时直觉数学绝对排斥非构造性数学和传统逻辑的错误做法，无法解释后者在一定范围内的应用上的有效性。

在这一点上，遭到了绝大多数数学家的反对。

所以“对数学家来说，布劳威理论一直是稀奇的古董，而主要为逻辑家们感兴趣”。

因而产生了另外几种构造性倾向，不象直觉数学那么走极端，它们的方案是把可容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类，而不象直觉数学那样去向传统的证明规则挑战。

其中以马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”，尤为引人注目。

算法数学是一种把数学的一切概念都归约为一个基本概念——算法的构造性方法。

它以递归函数理论为基础，因此，它的概念有非常严格的定义：

每个函数都用它的哥德尔数的办法来处理，每个实数是一个特定的递归函数等等。

它所用的方法是标准构造性的，所采纳的逻辑是直觉派逻辑。

可见，马尔科夫的理论是一种不仅限制对象的类，而且限制可容许证明方法的类的“严格有穷主义”的理论，沙宁继续了马尔科夫的工作，研究了各种古典理论在马尔科夫算法数学中的模拟物。

他甚至能够展述分析中象希尔伯特空间和勒贝格积分的构造性理论。

由于马尔科夫的工作，使构造性方法进入了“算法数学”阶段。

但是，因为这种构造法依赖于递归函数理论的术语，所以使这种算法数学外行人读起来十分困难，加之马尔科夫的后继者们似乎对于复杂理论及其在计算机科学上的应用比对于算法数学实践本身更有兴趣，使之算法数学由于缺乏合适的框架来进行数学实践，而处于一种冬眠的状态。

现代构造数学阶段

1967年，比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段。

比肖泊通过重建现代分析的一个重要部分，重新激发了构造法的活力。

他研究的课题广及测度论、对偶理论、泛函微积。

尤其是他和钦基于丹尼尔积分所创立的新的构造性的测度理论，轻易地消除了对于在实直线上构造可数可加测度的可能性的种种忧虑，并且还证明了构造的连续统在一种强的意义下是不可数的。

虽然比肖泊的工作植根于布劳威的工作，但是他能从直觉数学的自我禁锢的概念中解脱出来，他避免使用直觉派的超数学原理，摆脱了算法数学对递归函数——理论方法的不必要的依赖，超脱了对于形式体系的任何束缚，从而保留了进一步创新的余地。

同时比肖泊采用数学上大家熟悉的习惯术语和符号，所以为一般数学家容易看懂。

数学构造性方法的应用

　　大致说来，数学构造法有两类用途：

1．用于对经典数学的概念、定理寻找构造性解释。

在大多数情况下，猜测经典定理所对应的构造性内容，即使构造性内容确实存在的话也绝非易事。

还是让我们举例来说明。

例1如何在可构造性意义下来定义实数概念？

直觉数学者的具体做法是：

首先引进所谓“属种”的概念以取代康托尔意义下的集合概念。

进而布劳威又引进了“选择序列”的概念，并以“有理数选择序列”取代古典分析中的有理数柯西序列概念，称之为“实数生成子”。

相应于古典分析中把实数定义为有理数柯西序列等价类，可构造意义下的单个实数被定义为实数生成子的一个等价属种。

如上所见，建立可构造性实数概念没有实质性困难，其原因就在于柯西—魏尔斯特拉斯的整个极限论建基于潜无限观念。

因而在实质上，直觉数学者在此不过是在能行性的要求下重新陈述柯西序列而已。

现代构造数学者的作法是：

为了构造一个实数，我们必须给出一个有限的方法，将每一个正整数n转化为一个有理数xn′，并且使得x1′，x2′，…是一个柯西序列，它收敛于所要构造的实数。

我们还必须对这一序列收敛速度给出明确估计。

可见，现代构造数学已经从那些似乎把直觉数学者扼杀的概念（诸如选择序列、属种概念）中超脱出来。

例2关于代数基本定理的构造性证明。

代数基本定理的经典说法为：

任何复系数的非常数多项式f至少有一个复根。

（1）　　对于

（1）最著名的传统证明是，假定f不取零值，把刘维尔定理用于f的倒数，得出结论1/f是常数，因此f是常数，这一矛盾便完成了证明。

但是构造数学者会争议说，这样做所证明的并不是基本定理，而是如下较弱的论断：

不取零值的复数上多项式是常数。

（2）同时上述证明，也没有提示替多项式找根的方法。

代数基本定理的构造性说法是布劳威给出的：

有一个适用于任何复系数的非常数多项式f的有限方法，我们能够用以计算f的根。

（3）现在给出布劳威对于首项系数为1的多项式的代数基本定理的证明：

他首先证明了f可以假定为高斯数域Q〔i〕上的正数阶多项式，然后，再选择半径R足够大，使得f（x）被它的首项所支配，接着利用f围着以O为心，R为半径的圆周所绕的圈数等于f的阶数这一事实，他构造了一个高斯数z，使f（z）极小，而f′（z）相对地大。

最后利用牛顿—拉夫森迭代，构造出f的复根。

比较构造性证明与传统证明，可以看出，虽然布劳威的证明确实是比使用刘维尔定理的证明更长，但构造性证明比传统证明给出的“信息量”要多得多。

比如布劳威的方法能求出复数上任何给定的正次数的首项系数为1的多项式的根。

特别地，用他的证明办法，你可以为100阶多项式找到根，而传统证明根本没有涉及找根的方法。

比肖泊在书中写道：

每个经典的定理都提出了一个挑战：

找出一个构造性的说法，并给它以一个构造性的证明。

但事实上，许多经典的定理，看来不象会有任何构造性的说法与证明，例如波尔查诺—魏尔斯特拉斯定理，zorn引理等就是这样。

2.用于开发构造性数学的新领域，组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都是构造性数学的新领域，尤其是图论更是构造数学发展的典型领域之一。

因为图的定义就是构造性的，同时图的许多应用问题，如计算机网络，程序的框图，分式的表达式等，也都是构造性很强的问题。

　　例3给出树、最小树、树形图的构造性定义。

树，就是一个无向图，它的任何两个顶点间，可以由唯一的（即没有圈）的连结方法，通过一串两两有公共顶点的边的序列（即链）连结起来。

图中每一条边有一个长度，使总长度最小的树，称为最小树。

树形图，就是定向图上的这样一个构造：

如果不考虑线段的方向，则它是一棵树；如果考虑线段的方向，则有一个顶点v0没有任何有向线段指向它，而其余各点vi有唯一的一个有向线段指向它。

我们称有向线段为弧，顶点v0为树形图的根。

可见它们的定义具有直观性与能行性，所以是构造性定义。

例41965年国内发表了朱永津、刘振宏“关于求定向图上的最小树形图”的文章。

他们提出关于最小树形图的算法简述如下：

（1）除v0外，对每一点vi，在指向vi的弧中选取一个最短的ai，若选取的这些弧恰好构成一个树形图，则它就是最短的树形图。

否则，被选取的弧构成某些互不相交的回路ci。

（2）设c是一条回路，v为c上的一个点，则c上有唯一一条弧指向v，记它为a（v），它的长度记为l〔a（v）〕，设w为c处之顶点，且l（w，v）是图的一条弧，其长度为l（w，v）。

现在把l（w，v）的长度进行修改，定义为l（w，v）=l（w，v）-l〔a（v）〕。

对c上每一点v进行完这一步，将c收缩之后，这样就得到一个新的图。

重复

（1）、

（2）两步，最后就得到收缩图上的树形图。

（3）把这个树形图中的收缩点依次重新撑开为回路，这时撑开的图上，有些点有两个弧指向它，那么去掉回路上的那一条弧后，就成为树形图。

重复这个步骤，直到没有收缩点为止。

这时得到的树形图，就是最小树形图。

可见这个算法是按固定方式经有限个步骤能够实现的方法，所以是构造性方法。

　　应用构造性方法获益匪浅的另一个数学分支是数值分析。

例5给数值逼近理论中居核心地位的定理：

令X是实赋范空间E中的有穷维线性空间，那么，对E中每一点a，对应X中的一点b，使得a与b的距离等于a到X的距离。

（4）找一个适当的构造性的替代命题。

为此，引入如下概念：

定义1令E为距离空间，X为E的非空子集，a是E中的元素。

如果对X中每一对不同的元素x，y，在X中有z，使得max{d（a，x），d（a，y）}>d（a，z），则称a在X中至多有一个最优逼近。

定义2如果对X中所有的x，d（a，x）≥d（a，b）成立，则称X中的一个元素b是a的在X中的最优逼近。

于是，我们就找到一个适当的构造性替代命题：

　　令X是实赋范空间E中的一个有穷维线性子空间，a为E中的元素，它在X中至多有一个最优逼近。

那么，我们可以计算出a在X中的最优逼近。

（5）按照经典数学的看法（4）与（5）是等价的。

但是（5）的构造性证明包含了一个应用性极为广泛的算法。

①此外，拓扑学，特别是维数理论，也是可以为构造法的洞察力提供实例的数学分支，所以也是构造数学有待开发的新领域。

构造性数学与非构造性数学的差别与联系

　　为了充分认识构造性数学与非构造性数学之间的差别，我们有两条工作原理为准。

第一条是在非构造性数学中成立而构造性数学中不能接受的原理——排中律；第二条是比肖泊称之为全能的极限原理（简称LPO）；如果（an）是{0，1}上的序列，那么，或者对所有的n，an=0，或者存在N，使得，aN=1。

LPO的构造性解释是：

我们有一个有限的方法，它适用于任何一个{0，1}上的序列（an），或者证明对每一个n，an是零，或者构造一个N，使之满足aN=1。

如果真是这样一种方法，那么，我们就有了统一的办法来解决（诸如：

费尔马最后定理，黎曼猜想以及哥德巴赫猜想）一大批悬而未决的问题，可以断言应用如此广泛的统一解决的方法是绝对不会找到的，所以LPO不是构造数学的工作原理。

故凡是经典定理在被构造性证明时需要用到LPO，或者虽不需要用到LPO，但需要用到另一些与LPO构造方式相似的原理，则它们实质上是非构造性的。

构造数学与非构造数学之间的联系表现在“共生性”与“分岔性”上。

至今，数学的构造性方法的进展始终是直接因袭标准的非构造数学想法而得到的。

因此人们往往产生一种错觉，以为构造数学“寄生”于非构造数学而发展。

其实不然，往往构造数学比非构造数学能为某些定理提供更加自然、更加简单的证明，甚至可能得出一些新的非构造数学的定理。

所以，这两种类型的数学之间的关系是相辅相成的共生性关系。

另一方面，一个经典定理在承认排中律的前提下，会有几个经典等价的说法，其中有些可以构造性地加以证明，这样就经常发生一个经典的定理有好几种极为不同的构造性解释。

比如复分析中皮卡德大定理就是如此。

这就是解释的“分岔性”。

这种分岔性是构造数学的最有趣、最有成效的方面。

美籍中国数学家王浩认为“构造性数学是做的数学，非构造性数学是在的数学”。

数学的在是信息模式和结构的在，数学的做是信息加工。

我国数学家胡世华先生认为构造性数学的倾向是用数学取得结果把结果构造出来，侧重于思维的构造实践，有限制地使用排中律；非构造性数学的倾向是数学地理解问题和规律，建立数学模型形成数学理论体系。

追求科学理想，可以自由地使用排中律。

构造性与非构造性数学既有上述的区别，又有一定的联系，它们是相辅相成的。

数学的构造性方法的进展自觉不自觉地直接因袭非构造性数学想法而得到的；非构造性数学中又总包含有构造性数学的因素，纯粹的非构造性数学是不存在的。

常见的插值法及其应用

姜琴,周天宏

（郧阳师范高等专科学校计算机科学系,湖北丹江口442700）

[摘要]插值方法在数值分析中起着非常重要的作用,介绍了一些常见的插值方法及其应用范例.

[关键词]数值分析;插值法;差商

[中图分类号]O241.3[文献标识码]A[文章编号]1008－--6072（2006）03---0006---03

函数插值法,简称插值法.在许多实际问题中,有的函数f（x）虽然有解析表达式,但其计算复杂,使用不便.甚至有些函数f（x）只是给出了某些点上的函数值.因此我们希望根据给定的信息,构造一个既能反映函数特性又便于计算的简单函数.用p（x）近似,我们可采用插值法来达到这个目的.

1插值法的定义

插值方法是根据一组数据,如表1所示

表1插值数据表

…

…

求函数f（x）的近似表达式p（x）的方法.插值方法的必要条件是误差函数或余项R（x）=f（x）-p（x）满足关系式R（xi）=0（i=0,2,…n）当插值函数p（x）是多项式时,称为代数插值方法.代数插值方法有Lagrange插值方法,逐次线性插值法Newton插值方法,Hermite插值方法,分插值方法和样条插值方法等.其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插函数p（x）的近似表达式.

2常见的代数插值公式及其构造

2.1Lagrange插值法

表

（1）的n次Lagrange插值多项式Ln（x）的数学公式:

其中

是插值基函数,且

Lagrange插值多项式的余项为

其中􀀁

Lagrange插值多项式便于理论推导和形式地描述算法,但不便于计算函数值,因为用Lagrange插值多项式Ln（x）计算函数近似值,如果精度不满足,需增加节点时,原来计算出的数据均不能利用.为了克服该缺点,通常采用逐次线性插值方法或Newton插值多项式方法.这两种方法是在Lagrange插值的基础上组合已知的计算值,提高计算效率,可达到加速计算.

由表

（1）构造的Newton插值多项式为

2.2Newton插值法

由表

（1）构造的Newton插值多项式为

用它插值时,首先要计算各阶差商,而各阶差商的计算可归结为一阶差商的逐次计算.一般地

其余项为

该插值方法能节

省计算量,且便于程序设计.

2.4Hermite插值

Hermite插值不仅要求函数值相等,而且其导数值也相等.由插值节点上的函数值和导数值,如表2所示:

表2Hermite插值数据表

…

…

…

可构造一个不高于2n+1次的插值多项式,该多项式称为Hermite插值多项式:

其中

都是2n+1次的插值基函数,其余项为

浅论插值法及其应用

瞿威

（无锡广播电视大学，江苏无锡214011）

摘要：

本文通过讨论插值法的地位和作用，比较各种插值法的优缺点，以及简单说明相互间的联系。

关键词：

插值法插值多项式应用

1.问题的提出

在科学研究和生产实践中遇到的函数y=f（x），虽然从原则上说它在某个区间［a，b］上存在，但是通过实验通常只知道在区间［a，b］上的一系列点的函数值，也就是说我们只知道函数的一张表。

这对于研究物质的运动规律很不方便，更不能计算出未给出点的函数值。

这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法。

例如，某集团公司试图分析该公司的产量与生成费用之间的关系,从所属企业中随机抽选了5个样本，得到了如下数据：

如果希望由这些数据合理的估计出它在其他产量时的生成费用，这就是一个典型的插值问题。

2.数学表达

根据函数的已知数据表1求函数f（x）的近似解析表达式φ（x）的方法。

插值法的必要条件是误差函数或余项R（x）=f（x）-φ（x）满足关系式R（xI）=0，I=1，2，3，…，n，由于代数多项式是简单而又便于计算的函数，因此经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值。

多项式插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段插值法和样条插值法等，其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数f（x）的近似解析表达式。

微积分思想源自古希腊人的穷竭法。

古希腊最接近积分的是阿基米德于公元前225年求抛物线弓形面积的工作，他在抛物线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新的三角形，这三角形与剩余空间同底同高，这样无限进行下去，最后的三角形就非常小了，他的方法实际上也是无穷级数求和最早的例子。

到了16世纪以后，欧洲处于资本主义的萌芽时期，生产力得到极大发展。

生产和科学技术中发生了大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题等，初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，给出了数列极限的描述性定义：

“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限。

”之后，维尔斯特拉斯为了排除极限概念中的直观痕迹，建立的ε-N语言，给微积分提供了严格的理论基础。

所谓an以A为极限，就是指：

“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an-A<ε|恒成立。

”这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。

因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。

例谈三角问题中隐性问题的显性转化

周永春

（南通市冠今中学，江苏海门226100）

常用多项式插值公式构造

（1）拉格朗日插值多项式

由数表1构造的n次拉格朗日插值多项式

其中

为插值基函数，拉格朗日插值多项式在理论分析中非常方便，因为它的结构紧凑，利用基函数很容易推导和形象的描述算法。

但是它也有一些缺点：

当插值节点增加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变，这就不利于实际计算，增加了算法复杂度。

此时我们通常采用牛顿插值多项式算法。

（2）牛顿插值多项式

由数表1构造的牛顿插值多项式为：

用它插值时，首先要计算各阶差商，而各高阶差商可归结为一阶差商的逐次计算。

一般情况讨论的插值多项式的节点都是任意分布的，但是在实际应用中出现了很多等距节点的情形，这时的插值公式可以进一步简化，在牛顿均差插值多项式中各阶均差用相应的差分代替，就得到了各种形式的等距节点插值公式，常用的是牛顿前插与后插公式。

（3）Hermite插值

分段线性插值的算法简单、计算量小，然而从整体上看，逼近函数不够光滑，在节点处，逼近函数的左右导数不相等，若要求逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同的函数值，而且要求逼近函数与被逼近函数在插值节点上取相同的若干阶导数值，这类问题称为Hermite插值。

4.应用

插值法除用于求函数值外，还有多种用法。

（1）数值微分方法

数值微分法就是利用等距节点上的插值多项式求函数的导数值的方法。

常用的两点公式和三点公式就是用分段线性插值和分段抛物插值法导出的。

值得注意的是这两种公式只适合节点处的导数值。

在区间内的其他点处求导数最好用样

条插值函数。

（2）数值积分法

对于积分

若被积函数不清楚或其原函数不易求，通常根据f（x）在积分区间［a，b］上的数据表，构造插值多项P（x）代替f（x），再导出积分值。

（3）数据拟合

这仍然是通过给定的一组测定的离散数据求自变量与因变量的近似表达式。

鉴于插值法其近似标准是在插值点处的误差为零，考虑到在实际应用中，有时不要求具体某些点的误差为零，从而考虑整体的误差限制，因此不要求所求函数通过所有的节点，而是要求所求近似函数反映原函数整体的变化趋势，为达到此目的，我们可用数据拟合的方法。

插值法由于其计算的难度不高，容易通过计算机实现，现在其在工程计算、算法理论等方面有非常重要的应用。

三种插值方法的应用与比较

张丽娟

（呼伦贝尔学院数学科学学院，内蒙古呼伦贝尔021008）

摘要：

早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算.17世纪之后，牛顿，拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式.在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的.本文详述了拉格朗日插值、分段线性插值与三次样条插值三种插值法在处理问题时的应用比较及分析策.

关键词：

拉格朗日插值；分段线性插值；三次样条插值

中图分类号：

O15文献标识码：

A文章编号：

1673-260X（2010）03-0001-03

插值问题的提法是：

已知f（x）（可能未知或非常复杂函数）在彼此不同的n+1个实点x0,x1,…,xn处的函数值是f（x0），f（x1），…,f（xn），这时我们简单的说f（x）有n+1个离散数据对{（xi,yi）}ni=0.要估算f（x）在其它点x处的函数值，最常见的一种办法就是插值，即寻找一个相对简单的函数y（x），使其满足下列插值条件：

y（xi）=f（xi），i=0,1,…,n.并以y（x）作为f（x）的近似值.其中y（x）称为插值函数，f（x）称为被插函数.[1,2,3]

选用不同类型的插值函数，逼近的效果不同，下面给出拉格朗日多项式插值、分段线性插值及三次样条插值在处理问题时的应用比较分析.

多项式插值是最常见的一种函数插值.在一般插值问题中，由插值条件可以唯一确定一个次数不超过n的插值多项式满足上述条件.从几何上看可以理解为：

已知平面上n+1个不同点，要寻找一条次数不超过n的多项式曲线通过这些点.插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日（Lagrange）插值多项式，另一个是牛顿（Newton）插值多项式.且Lagrange插值公式恒等于Newton插值公式.

1拉格朗日（Lagrange）插值

已知f（x）的n+1个离散数据对{（xi,yi）}ni=0.求作次数不超过n的多项式y（x），使满足条件y（xi）=f（xi），i=0,1,…,n.这就是多项式插值问题.点x0,x1,…xn称为插值基点.[min{xi},max{xi}]叫做插值区间.[1,2]用几何语言来表述这类插值，就是通过曲线上给定的n+1个点，求作一条次数不超过n的代数曲线y（x），作为f（x）的近似.

插值法在数值分析中的教学实践

吕晓亚，张莉

（内江师范学院数学与信息科学学院，四川内江641112）

摘要：

插值方法是数值分析中的最基本方法之一。