极坐标与参数方程知识点总结汇编.docx
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极坐标与参数方程知识点总结汇编
极坐标与参数方程知识点总结
题型一、参数方程转化为普通方程
「x=t
例:
已知圆c的圆心是直线t为参数与X轴的交点,且圆C与直线y3=0相切,则圆C的方程为
y=1+t
【分析】这是一道利用圆与直线的位置尖系求圆方程的填空题,其中一条直线的方程用参数方程给出。
—1+0+31—
半径『•一r-V2
41A1
(X=t
【解析】化直线彳(t为参数)为X—y+1=0,「.圆C的圆心是(一1,0)
ly=1+tv7
2o
圆c的方程为(x+1)+y2=2.
【点睛】将直线的参数方程化为直角坐标方程是解决本题的一个尖键点。
【变式】:
1x・・t
1、已知椭圆E的中心是坐标原点'一个焦点是直线j为参数与%轴的交点,一个顶点在直线2=。
上,
则椭圆E的方程为
x=2+tx=3cosot
2•北京9.直线丿(t为参数)与曲线丿(G为参数)的交点个数为
y=_1—tj=3sinA
22
【解析】直线的普通方程Xy"0,圆的普通方程为Xy=9,可以直线圆相交,故有2个交点。
【答案】2
I上两点M3N的极坐标
3•在平面直角坐标系中,以坐标原点O为几点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线一牛说(日为参数)。
分别为(2,0),
(1),圆C的参数方程y=f;3+2sin日
32
(I)设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程;
(n)判断直线I与圆C的位置尖系。
2J3J3
【解析】(I)由题意知M(2,0),N(0,亠),因为P是线段MN中点,贝UP(1,J)
3
3
(2,•乜),半径r=2.
2廳
(n)因为直线I上两点M(2,0),N(0,)/・丨垂直平分线方程为:
’、3x・3y・2・.3=0,圆心
3
.d
r,故直线I和圆C相交.
【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查转化化归思想。
4.在平面直角坐标系xOy中,曲线G和C2的参数方程分别为
x=tx=<2cosr
(t是参数)和C2J(日是参数)‘它们的交点坐标为
(U)
y=\ltty=V2s\nB
【解析】它们的交点坐标为
222
Ci:
y=x(y■0),C2:
xy=2解得:
交点坐标为(1,1)
5.在直角坐标系xOy中,以原点0为极点,x轴的正半轴为极轴
nfx=t+1,
建立极坐标系•已知射线・厂上与曲线2(t为参数)
4卜二住」)
相交于A,B两点'则线段AB的中点的直角坐标为
考点分析:
本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点难易度:
★
2222
般方程为y=(t・1)=(x・2)表示一条抛物线,联立上面两个方程消去
$$上’因此AB的中点PC”).
题型二、极坐标与直角坐标的互化
【分析】本题给出三条直线的极坐标方程,然后求围成的三角形的面积。
【点睛】解题的尖键处是将三条直线的极坐标方程化为直角坐标方程。
【变式】:
・:
3
2.(安徽13)在极坐标系中‘圆J=4sinr的圆心到直线(卩三R)的距离是J3
6
解:
圆t=4sin[尸x?
・(y・2)2=4的圆心C(0,2)
直线心鳥八小*、3"°;点C到直线1的距离是
3.10陕西15.C.(坐标系与参数方程)直线2cos1与圆2cos二相交的弦长为3
6•极坐标方程分别为T=4cosr和卜工・8sinn的两个圆的圆心距为25.
解析:
p=4—p2=4x/•xs-y^x/•(x・2)H-y2=4同理:
xh-(y+4)乞16
P壬
rx—2t
7•已知直线I的参数方程为:
a为参数),圆C的极坐标方程为「==2辽sinr,则直线I与圆C的位置
ly=1+4t
尖系为一相交亠
8•在极坐标系中,圆「=2上的点到直线「COST,3sinA・6的距离的最小值是_1二
0+0-6
d===3>2,最短距离为3—2=1
G+3
题型三、参数方程与极坐标方程的应用
例:
以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线的极坐标方
程为日二少(PER),它与曲线〈X」+2cos°(0为参数)相交于两点A和B,则IABI二
、y=2+2sin。
【点睛】将极坐标方程、参数方程统一化为直角坐标方程,然后在直角坐标系中解题。
【变式】:
(2)*SC*:
y+_V-=1
=3cos?
+2JTsinA=-s/21sin(A+
®工
i=sin&
i#
屈M值
3•在直接坐标系xOy中,直线I的方程为x-y+4=0‘曲线C的参数方程为更多精品文档
Xf3cos.为参数)
y=sin二
(I)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点0为极点,以X轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,二)‘判断点P与直线I的位置尖系;
2
(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线I的距离的最小值.
23.(帝小题满分10分)选4・4:
坐标系与夢数方程门
F(嘤)
解:
(I)把极坐标系下的点■化洵直角坐标•得P(山4),d
因为点P的頁角坐标(0,4)衢足直线r的方程尢一F+XO,心
所以点P在直线】上,卩
(U)因为点Q在曲线C上•故可设点Q的坐标为«5cosASinff)f唄
从而点Q到直线「册距离为.
(1二込二2心(罕自十心
72
cos(ff+-)=-1绘取得最小值,且最小11为出
由此得,当百时,+