2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题07 解析几何Word格式文档下载.doc

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7、（2004一试2）已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N¹

Æ

，则b的取值范围是（）

A．[－，]B．（－，）C．（－，]D．[－，]

【解析】点（0，b）在椭圆内或椭圆上，Þ

2b2≤3，Þ

b∈[－，]．选A．

[来源:

学科网]

8、（2005一试5）方程表示的曲线是（　　　）

A．焦点在轴上的椭圆　　　　　　B．焦点在轴上的双曲线

C．焦点在轴上的椭圆　　　　　　D．焦点在轴上的双曲线

【答案】C

9、（2007一试5）设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（）

【解析】设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

当r1=r2且r1+r2<

2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；

当0<

2c<

|r1−r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；

当r1≠r2且r1+r2<

2c时，圆P的圆心轨迹如选项D。

由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。

11、（2001一试7）椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．

【答案】

12、（2003一试8）设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于．

【答案】4

【解析】F1（－，0），F2（，0）；

|F1F2|=2．

|PF1|+|PF2|=6，Þ

|PF1|=4，|PF2|=2．由于42+22=

（2）2．故DPF1F2是直角三角形．∴S=4．

13、（2004一试12）在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为

【答案】1

【解析】当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P（否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P¢

使∠MP¢

N更大）．于是，延长NM交x轴于K（－3，0），有KM·

KN=KP2，Þ

KP=4．P（1，0），（－7，0），但（1，0）处⊙MNP的半径小，从而点P的横坐标=1．

14、（2005一试11）若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为　　　　.

15、（2006一试9）已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：

上.当取最大值时，比的值为.

【解析】由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于P点。

设直线l交x轴于A，则，即，即

（1），又由圆幂定理，

（2），而，，A，从而有，。

代入

（1），

（2）得。

17、（2009一试2）已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为．[来源:

学§

科§

网]

【解析】设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得．

18、（2009一试5）椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为．

19、（2010一试3）双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.

【答案】9800

【解析】由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为

.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.

20、（2011一试7）直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为．

【答案】或

21、（2012一试4）抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，则的最大值是.

【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得

在中,由余弦定理得

当且仅当时等号成立.故的最大值为1.

22、（2000一试15）已知C0:

x2+y2=1和C1:

（a＞b＞0）。

试问：

当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？

并证明你的结论。

是,+==（）+[+]=+=1.

又在Rt△POQ中，设点O到PQ的距离为h，则=+=1,故得h=1

同理，点O到QR，RS，SP的距离也为1，故菱形PQRS与C0外切.充分性得证.

[注]对于给出，=1等条件者，应同样给分.

23、（2001一试14）设曲线C1:

（a为正常数）与C2:

y2=2（x+m）在x轴上方公有一个公共点P。

（1）求实数m的取值范围（用a表示）；

（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0<

a<

时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。

（2）△OAP的面积

∵0＜a＜，故－a＜m≤a时，0＜＜a，

由唯一性得

24、（2002一试13）已知点A（0,2）和抛物线y=x2+4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。

【解析】设B点坐标为B（y12-4,y1），C点坐标为C（y2-4,y）[来源:

Z#xx#k.Com]

25、（2003一试15）一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A¢

刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A¢

取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．

26、（2004一试14）在平面直角坐标系xOy中，给定三点A（0，），B（－1，0），C（1，0），点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．

⑴求点P的轨迹方程；

⑵若直线L经过DABC的内心（设为D），且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．

【解析】：

⑴设点P的坐标为（x，y），

AB方程：

+=1，Þ

4x－3y+4=0，①

BC方程：

y=0，②

AC方程：

4x+3y－4=0，③

∴25|y|2=|（4x－3y+4）（4x+3y－4）|，

Þ

25y2+16x2－（3y－4）2=0，Þ

16x2+16y2+24y－16=0，

2x2+2y2+3y－2=0．

或25y2－16x2+（3y－4）2=0，Þ

16x2－34y2+24y－16=0，

8x2－17y2+12y－8=0．

∴所求轨迹为圆：

2x2+2y2+3y－2=0，④

或双曲线：

8x2－17y2+12y－8=0．⑤

但应去掉点（－1，0）与（1，0）．

27、（2005一试15）过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;

点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.

【解析】解一：

过抛物线上点A的切线斜率为：

切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点.

设、、、，则由知，

得

∴EF所在直线方程为：

化简得①

解二：

由解一知，AB的方程为故D是AB的中点.

令则因为CD为的中线，

而

28、（2006一试13）给定整数，设是抛物线与直线的一个交点.试证明对于任意正整数，必存在整数，使为抛物线与直线的一个交点.

【解析】因为与的交点为.显然有。

29、（2007一试14）已知过点（0，1）的直线l与曲线C：

交于两个不同点M和N。

求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。

（6）式得xp=2。

（4）+（5）得…（7），其中，，代入（7）式得2yp=（3−2k）xp+2，而xp=2，得yp=4−2k。

又由得，即点P的轨迹为（2，2），（2，2.5）两点间的线段（不含端点）。

30、（2008一试15）如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．

31、（2009一试9）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？

若不存在，请说明理由．

【解析】由消去化简整理得

设，，则

①………4分

由消去化简整理得

②…………8分

因为，所以，此时．

由得．[来源:

Zxxk.Com]

所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．

32、（2010一试10）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.

由

（1）知直线的方程为，即.

（2）

（2）代入得，即.（3）

依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,

.

.

解法二：

同解法一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为.

设，则的绝对值,

所以,当且仅当且，即,或

时等号成立.所以，面积的最大值是.

33、（2011一试11）作斜率为的直线与椭圆：

交于两点（如图所示），且在直线的左上方．

（1）证明：

△的内切圆的圆心在一条定直线上；

（2）若，求△的面积．

又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以△的内切圆的圆心在直线上．

（2）若时，结合

（1）的结论可知．

直线的方程为：

，代入中，消去得．

它的两根分别是和，所以，即．所以

．

34、（2012一试11）如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．

（１）求证：

为定值；

（２）当点A在半圆（）上运动时，求

点的轨迹．