初中数学方程及方程的解知识点总结资料.docx
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初中数学方程及方程的解知识点总结资料
初中数学方程及方程的解知识点总结
知识点1:
一元一次方程
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的整式方程,叫做一元一次方程.
一元一次方程的标准形式是:
ax+b=0(其中x是未知数,a、b是已知数,并且a≠0).
一元一次方程的最简形式是:
ax=b(a≠0).
不定方程:
一个代数方程,含有两个或两个以上未知数时,叫做不定方程,不定方程一般有无穷多解。
代数方程:
代数方程通常指整式方程。
有时也泛指方程两边都是代数式的情形,因而也包括分式方程和无理方程。
等式:
用符号“=”来表示相等关系的式子,叫做等式.在等式中,等号左、右两边的式子,分别叫做这个等式的左边、右边.性质:
两边同加同减一个数或等式仍为等式;两边同乘同除一个数或等式(除数不能是0)仍为等式。
方程的根:
只含有一个未知数的方程的解,也叫做方程的根。
解一元一次方程的一般步骤:
1.去分母:
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数;
2.去括号:
先去小括号,再去中括号,最后去大括号;
3.移项:
把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边;
4.合并同类项:
把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
5.系数化成1:
在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解。
矛盾方程:
一个方程,如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值,这样的方程叫矛盾方程.
知识点2:
二元一次方程
有两个未知数并且未知项的次数是1,这样的方程,叫做二元一次方程.
二元一次方程组:
含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组,叫做二元一次方程组.
解:
使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.
二元一次方程组的两种解法:
(1)代入消元法,简称代入法.
①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示.
②把这个代数式代入另一个方程里,消去一个未知数,得到一个一元一次方程.
③解这个一元一次方程,求得一个未知数的值,然后再求另一个未知数的值.
④把求得两个未知数的值写在一起,就是原方程组的解.
2)加减消元法,简称加减法.
①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数,使同一个未知数的系数的绝对值相等.
②把所得的两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程.
③解这个一元一次方程,求得一个未知数的值,然后再求另一个未知数的值.
④把求得的两个未知数的值写在一起,就是原方程组的解.
二元一次方程组解的情况:
知识点3:
一元一次不等式(组):
不等号有>、≥、<、≤或≠等等.用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式.
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的不等式,叫做一元一次不等式.如
axb(a≠0)
几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组
不等式基本性质:
(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.
(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
一元一次不等式的解法步骤:
(1)去分母
(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)系数化成1
(如果乘数和除数是负数,要把不等号改变方向)
一元一次不等式组的解法步骤:
(1)分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集.
(2)在数轴上表示各个不等式的解集.(3)写出不等式组的解集.
一元一次不等式组的四种情况:
知识点4
一元二次方程
基本概念:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2(任意).一次项系数为5(任意),二次项是3(任意不为0).
一元二次方程的求根公式:
一元二次方程的解法:
1.解一元二次方程的直接开平方法
如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,另一边是一个非负数,则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解.
2.解一元二次方程的配方法
先把方程的常数项移到方程的右边,再把左边配成一个完全平方式,如果右边是非负数,可通过直接开平方法来求方程的解,也就是先配方再求解.
3.解一元二次方程的公式法
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
4.解一元二次方程的因式分解法
在一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式时,可先将一边分解成两个一次因式的积,再分别令每个因式为零,通过解一元一次方程,可求得原方程的解.
一元二次方程的解
1.方程
的根为.
A.x=2B.x=-2C.x1=2,x2=-2D.x=4
2.方程x2-1=0的两根为.
A.x=1B.x=-1C.x1=1,x2=-1D.x=2
3.方程(x-3)(x+4)=0的两根为.
A.x1=-3,x2=4B.x1=-3,x2=-4C.x1=3,x2=4D.x1=3,x2=-4
4.方程x(x-2)=0的两根为.
A.x1=0,x2=2B.x1=1,x2=2C.x1=0,x2=-2D.x1=1,x2=-2
5.方程x2-9=0的两根为.
A.x=3B.x=-3C.x1=3,x2=-3D.x1=+
x2=-
方程解的情况及换元法
1.一元二次方程
的根的情况是.
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
2.不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是.
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
3.不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是.
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
4.不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是.
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
5.不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是.
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
6.不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是.
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
7.不解方程,判别方程x2+4x+2=0的根的情况是.
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
8.不解方程,判断方程5y
+1=2
y的根的情况是
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
9.用换元法解方程
时,令
=y,于是原方程变为.
A.y
-5y+4=0B.y
-5y-4=0C.y
-4y-5=0D.y
+4y-5=0
10.用换元法解方程
时,令
=y,于是原方程变为.
A.5y
-4y+1=0B.5y
-4y-1=0C.-5y
-4y-1=0D.-5y
-4y-1=0
11.用换元法解方程(
)2-5(
)+6=0时,设
=y,则原方程化为关于y的方程是.
A.y2+5y+6=0B.y2-5y+6=0C.y2+5y-6=0D.y2-5y-6=0
知识点5:
直角坐标系与点的位置
1.直角坐标系中,点A(3,0)在y轴上。
2.直角坐标系中,x轴上的任意点的横坐标为0.
3.直角坐标系中,点A(1,1)在第一象限.
4.直角坐标系中,点A(-2,3)在第四象限.
5.直角坐标系中,点A(-2,1)在第二象限.
知识点6:
基本函数的概念及性质
1.函数y=-8x是一次函数.
2.函数y=4x+1是正比例函数.
3.函数
是反比例函数.
4.抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下.
5.抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.
6.抛物线
的顶点坐标是(1,2).
7.反比例函数
的图象在第一、三象限
练习
.1.下列函数中,正比例函数是.
A.y=-8xB.y=-8x+1C.y=8x2+1D.y=
2.下列函数中,反比例函数是.
A.y=8x2B.y=8x+1C.y=-8xD.y=-
3.下列函数:
①y=8x2;②y=8x+1;③y=-8x;④y=-
.其中,一次函数有个.
A.1个B.2个C.3个D.4个
知识点7:
自变量的取值范围
1.函数
中,自变量x的取值范围是.
A.x≠2B.x≤-2C.x≥-2D.x≠-2
2.函数y=
的自变量的取值范围是.
A.x>3B.x≥3C.x≠3D.x为任意实数
3.函数y=
的自变量的取值范围是.
A.x≥-1B.x>-1C.x≠1D.x≠-1
4.函数y=
的自变量的取值范围是.
A.x≥1B.x≤1C.x≠1D.x为任意实数
5.函数y=
的自变量的取值范围是.
A.x>5B.x≥5C.x≠5D.x为任意实数
知识点8:
函数图像问题
1.已知:
关于x的一元二次方程
的一个根为
,且二次函数
的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标是.
A.(2,-3)B.(2,1)C.(2,3)D.(3,2)
2.若抛物线的解析式为y=2(x-3)2+2,则它的顶点坐标是.
A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(3,-2)
3.一次函数y=x+1的图象在.
A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限
C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限
4.函数y=2x+1的图象不经过.
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5.反比例函数y=
的图象在.
A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限
6.反比例函数y=-
的图象不经过.
A第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限
7.若抛物线的解析式为y=2(x-3)2+2,则它的顶点坐标是.
A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(3,-2)
8.一次函数y=-x+1的图象在.
A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限
C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限
9.一次函数y=-2x+1的图象经过.
A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限
C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限
10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0且a、b、c为常数)的对称轴为x=1,且函数图象上有三点A(-1,y1)、B(
y2)、C(2,y3),则y1、y2、y3的大小关系是.
A.y3知识点9:
基本函数图像与性质
1.若点A(-1,y1)、B(-
y2)、C(
y3)在反比例函数y=
(k<0)的图象上,则下列各式中不正确的是.
A.y32.在反比例函数y=
的图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2),若x2<0A.m>2B.m<2C.m<0D.m>0
3.已知:
如图,过原点O的直线交反比例函数y=
的图象于A、B两点,AC⊥x轴,AD⊥y轴,△ABC的面积为S,则.
A.S=2B.24
4.已知点(x1,y1)、(x2,y2)在反比例函数y=-
的图象上,下列的说法中:
①图象在第二、四象限;②y随x的增大而增大;③当0A.1个B.2个C.3个D.4个
5.若反比例函数
的图象与直线y=-x+2有两个不同的交点A、B,且∠AOB<90º,则k的取值范围必是.
A.k>1B.k<1C.06.若点(
,
)是反比例函数
的图象上一点,则此函数图象与直线y=-x+b(|b|<2)的交点的个数为.
A.0B.1C.2D.4
7.已知直线
与双曲线
交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1·x2的值.
A.与k有关,与b无关B.与k无关,与b有关
C.与k、b都有关D.与k、b都无关
知识点10:
因式分解
1.分解因式:
x2-x-4y2+2y=.
2.分解因式:
x3-xy2+2xy-x=.
3.分解因式:
x2-bx-a2+ab=.
4.分解因式:
x2-4y2-3x+6y=.
5.分解因式:
-x3-2x2-x+4xy2=.
6.分解因式:
9a2-4b2-6a+1=.
7.分解因式:
x2-ax-y2+ay=.
8.分解因式:
x3-y3-x2y+xy2=.
9.分解因式:
4a2-b2-4a+1=