极坐标与参数方程知识点+典型例题与详解.docx
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极坐标与参数方程知识点+典型例题与详解
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极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解
知识点回顾
（一）曲线的参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即
xf（t）
yf（t）
并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程
组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
（二）常见曲线的参数方程如下：
1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：
x
x0
tcos
为参数）
y
y0
（t
tsin
其中参数t是以定点P（x，y）为起点，对应于
t点M（x，y）为终点的有向线段PM
0
0
的数量，又称为点
P与点M间的有向距离．
根据t的几何意义，有以下结论．
○1．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为
tA和tB，则AB＝tBtA＝
（tBtA）2
4tAtB．
○
tAtB．
2．线段AB的中点所对应的参数值等于
2
2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：
x
x0
rcos
为参数）
y
y0
（
rsin
3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：
x
acos
（为参数）
（或
x
bcos
y
bsin
y
）
asin
中心在点（x0,y0
）焦点在平行于x
轴的直线上的椭圆的参数方程
x
x0
acos,（
为参数）
y
y0
bsin.
4．中心在原点，焦点在
x轴（或y轴）上的双曲线：
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x
asec
为参数）
（或
x
btg
y
（
y
）
btg
asec
5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：
x2pt2
（t为参数，p＞0）
y2pt
直线的参数方程和参数的几何意义
过定点（
x
0，0），倾斜角为
的直线的参数方程是
x
x0
tcos
（
t
为参数）．
P
y
y
y0
tsin
（三）极坐标系
1、定义：
在平面内取一个定点
O，叫做极点，引一条射线
Ox，叫做极轴，再选一个长
度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内的任意一点
M，用ρ表示线段OM
的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ,θ）就叫做点M的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
M
Ox
图1
2、极坐标有四个要素：
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与
直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数
、
对应
惟一点P（，），但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些
坐标又有规律可循的，P（
，）（极点除外）的全部坐标为（
＋2k
）或（
，
＋
（2k1）），（kZ）．极点的极径为0，而极角任意取．若对
、
的取值范围加以限制．
则
除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定
>0，0≤＜2
或
<0，
＜
≤
等．
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：
⑴
a
0
⑵
cos
⑷
a
a
sin
⑸
sin
a
⑶
cos
a
⑹
cos（）
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M（，）M
0
Ox
Oa
图1
图2
0a
cos
M
aO
图3
a
cos
M（，）
M
a
O
a
a
N（a,）
O
M
图4
图5
a
a
sin
sin
4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为
Op
图6
a
cos（）
（a0）：
⑴
a
⑵2acos
⑶
2acos
⑷
2asin
⑸
2asin
⑹
2acos（）
M
M
M
a
a
O
x
O
xO
a
x
图2
图3
图1
2acos
a
2acos
M
Ox
M
a
M
a
（a,）
a
O
范文范例
参考指导
O
x
x
图5
图4
图6
2asin
2asin
2acos（
）
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5、极坐标与直角坐标互化公式：
y
（,）
NxM
y
x
cos
O
H
x2y2
2
y
sin
tan
y
（x0）
x
（直极互化图）
[基础训练A组]
一、选择题
1．若直线的参数方程为
x
1
2t
（t为参数），则直线的斜率为（
）
y
2
3t
A．2
B．
2
C
．3
D
．
3
3
3
2
2
2．下列在曲线
x
sin2
（
为参数）上的点是（
）
y
cos
sin
A．（1,
2）
B
．（
3,1）C
．（2,
3）
D
．（1,
3）
2
4
2
3．将参数方程
x
2
sin2
）
y
sin2
（为参数）化为普通方程为（
A．yx
2
B
．y
x
2
C．y
x2（2
x
3）D
．y
x2（0y1）
4．化极坐标方程
2cos
0为直角坐标方程为（
）
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A．x2
y2
0或y
1
B．x1
C．x2
y2
0或x
1
D．y1
5．点M的直角坐标是（
1,
3），则点M的极坐标为（
）
A．（2,
）
B
．（2,
3
）
C．（2,2
）D．
（2,2k
）,（k
Z）
3
3
3
6．极坐标方程
cos
2sin2
表示的曲线为（
）
A．一条射线和一个圆
B．两条直线
C．一条直线和一个圆
D．一个圆
二、填空题
1．直线
x
3
4t
（t为参数）的斜率为______________________。
y
4
5t
2．参数方程
x
et
et
（t为参数）的普通方程为__________________。
y
2（et
et）
3．已知直线l1:
x
1
3t
4y
5相交于点B，又点A（1,2），
y
2
（t为参数）与直线l2:
2x
4t
则AB_______________。
x
1
t
2
4．直线
2
（t为参数）被圆x
2
y
2
4截得的弦长为______________。
y
1
1
t
2
5．直线xcosysin
0的极坐标方程为____________________。
三、解答题
1．已知点P（x,y）是圆x2
y2
2y上的动点，
（1）求2xy的取值范围；
（2）若xya0恒成立，求实数a的取值范围。
x1t
2．求直线l1:
（t为参数）和直线l2:
xy230的交点P的坐标，及点P
y53t
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与Q（1,5）的距离。
3．在椭圆x2y21上找一点，使这一点到直线x2y120的距离的最小值。
1612
一、选择题
1．直线l的参数方程为
x
a
t（t为参数），l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P（a,b）
y
b
t
之间的距离是（
）
A．t1
B．2t1
C．2t1
D．
2t1
2
x
t
1
2．参数方程为
t
（t为参数）表示的曲线是（
）
y
2
A．一条直线
B
．两条直线C．一条射线
D．两条射线
x
1
1t
3．直线
2
（t为参数）和圆x2
y2
16交于A,B两点，则AB的中点坐标
y
3
3
3
2
t
为（
）
A．（3,
3）
B
．（
3,3）
C．（3,3）D
．（3,
3）
4．圆
5cos
5
3sin
的圆心坐标是（
）
A．（
5,4
）
B．（
5,
）
C．（5,
）
D．（
5,5
）
3
3
3
3
．与参数方程为
x
t
（
t
为参数
）
等价的普通方程为（
）
5
y
2
1
t
A．x2
y2
1
B
．x2
y2
1（0
x
1）
4
4
C．x2
y2
1（0
y
2）
D．x2
y2
1（0
x
1,0
y2）
4
4
6．直线
x
2
t
）
被圆
2
2
为参数
（x3）
（y
1）
25
所截得的弦长为（
）
y
1
t
（t
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A．98B．401C．82D．
9343
4
二、填空题
x
1
1
0），则它的普通方程为
__________________。
1．曲线的参数方程是
t（t为参数,t
y
1
t2
x
3
at
2．直线
1
（t为参数）过定点_____________。
y
4t
3．点P（x,y）
是椭圆2x2
3y2
12上的一个动点，则x2y的最大值为___________。
4．曲线的极坐标方程为
tan
1
________________。
，则曲线的直角坐标方程为
cos
5．设ytx（t为参数）则圆x2
y2
4y0的参数方程为__________________________。
三、解答题
1．参数方程
x
cos（sin
cos
）
y
sin（sin
cos
（为参数）表示什么曲线？
）
2．点P在椭圆x2
y2
1上，求点P到直线
3x4y
24的最大距离和最小距离。
16
9
3．已知直线l经过点P（1,1）
倾斜角
6
，
（1）写出直线l
的参数方程。
（2）设l与圆x2
y2
4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。
一、选择题
1．把方程xy
1化为以t参数的参数方程是（
）
1
x
sint
x
cost
x
tant
x
t2
A．
1
B．
1
C．
y
1
D．
1
y
t
2
y
sint
cost
y
tant
2．曲线
x
2
5t
（t为参数）与坐标轴的交点是（
）
y
1
2t
A．
2
、1
0）
B．
1
、1
0）
C．
（0,
4）、（8,0）
D．
5
、
（0,
）（
2
（0,
）（
（0,
）（8,0）
5
5
2
9
3．直线
x
1
2t
（t为参数）被圆x2
y2
9截得的弦长为（
）
y
2
t
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A．12
B．125C
．9
5D．9
10
5
5
5
5
4．若点P（3,m）在以点F为焦点的抛物线
x
4t2
（t为参数）上，则PF等于（
）
y
4t
A．2
B．3C．4
D．5
5．极坐标方程cos20表示的曲线为（）
A．极点B．极轴C．一条直线D．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆
4sin
相切的一条直线的方程为（
）
A．cos
2
B
．sin2
C．
4sin（
）D．4sin（
）
3
3
二、填空题
1．已知曲线
x
2pt2
为参数,
为正常数
上的两点
M,N
对应的参数分别为
和
，
y
2pt
（t
p
）
t1
t2,
且t1
t2
0，那么MN=_______________。
2．直线
x
2
2t
（t为参数）上与点A（
2,3）的距离等于
2的点的坐标是_______。
y
3
2t
3．圆的参数方程为
x
3sin
4cos
为参数），则此圆的半径为_______________。
y
4sin
（
3cos
4．极坐标方程分别为
cos
与
sin
的两个圆的圆心距为
_____________。
5．直线
x
tcos
x
4
2cos
_______________。
y
与圆
y
相切，则
tsin
2sin
三、解答题
x
1（et
et）cos
1．分别在下列两种情况下，把参数方程
2
化为普通方程：
1（et
y
et）sin
2
（1）
为参数，t为常数；
（2）t为参数，
为常数；
2．过点P（
10,0）作倾斜角为
的直线与曲线x2
12y2
1交于点M,N，
2
求PM
PN的值及相应的
的值。
新课程高中数学训练题组参考答案
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数学选修4-4
坐标系与参数方程
[
基础训练A组]
一、选择题
1．D
y
2
3t
3
k
2t
2
x1
2．B
转化为普通方程：
y2
1
x，当x
3时，y
1
4
2
3．C
转化为普通方程：
y
x2，但是x
[2,3],
y
[0,1]
4．C
（
cos
1）
0,
x2
y2
0,或cos
x
1
5．C
（2,2k
2）,（kZ）都是极坐标
3
6．C
cos
4sin
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