第23讲最大公因数和最小公倍数.docx

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第23讲最大公因数和最小公倍数

第23讲最大公因数和最小公倍数

【探究必备】

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

求几个数的最大公因数通常用短除法，即用几个数公有质因数连续去除，一直除到商里没有共同的质因数为止。

几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

求最小公倍数，可以从小到大一次列举，也可以用短除法。

短除法的一般步骤：

1.找出两个数的最小公因数（除1外），列短除式，用最小公因数去除这两个数，得到两个商。

2.找出两个商的最小公因数，用最小公因数去除两个商，得到新一级的两个商。

3.以此类推，直到二商为互质数为止。

4.把所有的公因数和最后的商乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数。

【王牌例题】

例1、一根铁丝长42厘米，一根铜丝长56厘米，现在要把它们截成同样长的小段，并且没有剩余，每段最长多少厘米？

一共可以截成几段？

分析与解答：

要把它们截成同样长的小段并且没有剩余，说明每段的长度既能整除42，又能整除56，也就是说是这两个数的公因数，要使每段最长，就是公因数中最大的一个，即这两个数的最大公因数，42和56的最大公因数是14，所以每段最长是14厘米，那么铁丝可截42÷14=3（段），铜丝可截56÷14=4（段），因此一共可以截成3+4=7（段）。

例2、一个新建的教室长9.6米，宽7.8米，现在要用一种地板方砖铺地面，不用切割，刚好用整数块。

铺这个教室至少要用多少块地板方砖？

分析与解答：

先把9.6米和7.8米化成以分米做单位的数，即9.6米=96分米，7.8米=78分米。

要使铺的地板方砖最少，那么方砖的面积要最大，也就是说方砖的边长要最大，根据用一种地板方砖铺地面，不用切割，刚好用整数块，可知方砖的边长既能整除96，又能整除78，即是这两个数的公因数，要使边长最大，就是这两个数的最大公因数，因为96和78的最大公因数是6，所以这种方砖的边长是6（分米），那么方砖的面积为6×6=36（平方分米），因此铺这个教室至少要用96×78÷36=208（块）地板方砖。

例3、学期末，端木老师买了18支铅笔和25本硬皮抄作为奖品，平均奖给班级“三好学生”。

结果铅笔剩下2支，硬皮抄剩下1本，这个班“三好学生”最多有多少名？

分析与解答：

根据铅笔剩下2支，硬皮抄剩下1本，可知给这个班的“三好学生”分了铅笔18-2=16（支），硬皮抄25-1=24（本），平均奖给班级“三好学生”说明每个“三好学生”得到的铅笔数相同，得到的硬皮抄的本数也相同，即该班“三好学生”既是16的因数，又是24的因数，也就是说是这两个数的公因数，要使这个班“三好学生”最多，就是这两个数的最大公因数，因为16和24的最大公因数是8，所以这个班“三好学生”最多有8名。

例4、盘子里有一些圣女果，不论是8人平均分，还是10人平均分都刚好分完。

盘子里最小有多少个圣女果？

分析与解答：

根据“不论是8人平均分，还是10人平均分都刚好分完。

”可知，盘子里的圣女果的个数既能被8整除，又能被10整除，即是8和10的公倍数，问盘子里最小有多少个圣女果，是求8和10的最小公倍数，由于8和10的最小公倍数是40，因此盘子里最小有40个圣女果。

例5、暑假时，王米、张咪和李一三位同学每人隔不同的天数到三联书店看书，王米隔2天去一次，张咪隔3天去一次，李一隔4天去一次。

某日他们三人一起到书店，至少再隔几天，他们三人又在三联书店相遇？

分析与解答：

由王米隔2天去一次，张咪隔3天去一次，李一隔4天去一次，某日他们三人一起到书店，至少再隔几天，他们三人又在三联书店相遇，可知他们三人去的天数既能被2整除，也能被3整除，还能被4整除，也就是说他们去的天数既是2的倍数，也是3的倍数，还是4的倍数，即是2、3、4的公倍数，要至少多少天，就是求2、3、4的最小公倍数，因为2、3、4的最小公倍数是12，所以至少再隔12天他们三人又在三联书店相遇。

例6、小米的妈妈买了一箱柚子，小米3个3个数余下1个，4个4个数余下1个，5个5个数还是余下1个，这箱柚子最少有几个？

分析与解答：

根据题意可知，如果从箱子里取出1个，那么这箱柚子3个3个数，4个4个数，5个5个数都刚好数完，也就是说能同时被3、4、5整除，即是3、4、5公倍数，要使这箱柚子最少，那么就是3、4、5的最小公倍数，由于3、4、5的最小公倍数60，所以这箱柚子最少有60+1=61（个）。

【同步练习】

1.一个数既能整除45，又能整除60，这个数可能是多少？

其中最大的是多少？

2.六年级72名女生，96名男生站队做操，每队中男生与女生的人数分别相等。

最多站多少队？

3.一根铁丝长42厘米，另一根铁丝长63厘米，现在要把它们都截成同样长的小段，并且没有剩余，每段最长多少厘米？

一共可以截成几段？

4.两根木料，分别长6米和7.2米。

现在用一根木尺分别去量，恰好量完，没有剩余。

这根木尺最长有多少米？

5.手工课上，司马老师要求学生们将一张长36厘米，宽24厘米的长方形彩纸，剪成若干个小正方形，每个小正方形的边长最长是多少厘米？

这张彩纸至少可以剪多少个小正方形？

6.水果店挑选了105个火龙果、84个橙子、63个猕猴桃装配果篮，每蓝各种水果的数量分别相等，这些水果刚好装完。

最多可以装多少蓝？

每蓝中三种水果各装几个？

7.社会实践结束了，欧阳老师买了18支铅笔和25本硬面抄作为奖品，平均奖给班级“三好学生”，结果铅笔缺2支，硬面抄剩下1本，这个班“三好学生”最多有多少名？

8.寒假少年宫各种兴趣班招生，奥数班招了96人，剑桥英语班招了128人，跆拳道班招了64人。

现在少年宫要将这些学员编班，每班人数相等，奥数班比泰拳道班多几人？

9.把121朵百合、70朵康乃馨分扎成一样的花束，要求每束花的构成一样，结果百合剩下1朵，康乃馨还少2朵，这些花最多扎成多少束？

每束花里百合和康乃馨各有几朵？

10.动物园的饲养员把一些香蕉平均分给4只猴子或8只猴子，都正好分完。

这些香蕉至少有多少个？

11.一个电动机上有两个互相咬合的齿轮，大齿轮有52个齿，小齿轮有28个齿。

当其中某一对齿再次相遇时，这两个齿轮至少转了几圈？

12.一种建筑用砖长24厘米，宽15厘米，至少用多少块就能铺成一个正方形地面？

13.水果店有一些圣女果，营业员把它们分装成3千克一包，4千克一包或5千克一包，都可以正好分完。

这些圣女果至少有多少千克？

14.一根电线剪去6米长一段，8米长一段或10米长一段都没有剩余，这根电线最短是多少米？

15.王小丫问爷爷今年有多大，爷爷说：

“我的年龄是5的倍数，有因数6，加上4能被4整除，这个数比80小。

”爷爷今年多少岁？

16.兴趣A班不超过60人，8人分一组多1人，5人分一组多1人，12人分一组还是多1人。

这个兴趣班最少有多少人？

17.兴趣B班同学做操，每4人一排，6人一排，8人一排都余3人。

已知班级人数在50～60之间，这个班同学有多少人？

18.兴趣C班同学参加团体操表演，8人一队少1人，9人一队也少一人，10人一队则多9人。

至少有多少人参加团体操表演？

【综合检测】

1.42=2×3×7,63=3×3×7,42和63的最大公因数是多少？

2.某班有男生27人。

女生18人。

全班同学去划船，每条船上既有男生又有女生，且男女生平均分配至各船。

每条船最多可以坐多少人？

至少要租几条船？

3.有两根火腿肠，分别长36厘米和16厘米。

把它们截成同样长的小段，而且没有剩余，每小段最长是多少厘米？

至少共能截多少段？

4.把47块dehumidifier巧克力和39个果冻分别平均分给一个组的同学，结果德芙巧克力剩2块，果冻剩4个。

这组最多有多少名同学？

5.王老师把25本《心情日记》和39本《玩转数学》分别平均分给第一组的同学，结果《心情日记》多1本，《玩转数学》多3本。

第一组最多有多少名同学？

6.把50个果冻和34块巧克力分别平均放在几个果盘内，结果果冻剩2个，千克力还差2块。

最多有几个果盘？

每个果盘内有几个果冻，几块巧克力？

7.两个小朋友用96个红花片和72个兰花片串花环，如果每串里红花片和蓝花片的个数要分别相等，那么每串花环里至少要几个花片？

8.有一些木条，12分米长的有8根，18分米长的有9根，24分米长的有5根。

现在要把它们截成一样长的小段，且不浪费。

这些木条至少可以截多少段？

9.把一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸剪成边长是整厘米数且同样大的正方形，最多可以剪多少个？

最少呢？

10.小A家每3天需要送一桶水，小B家每5天需要一桶水。

5月3日正好两家都需要水，至少再过多少天两家都需要送水？

11.早晨5:

08时，2路车和33路车同时从中华门发车，2路车每隔8分钟发一辆，33路车每隔10分钟发一辆，至少再过多少分钟两路车又一次同时发车？

12.某兴趣班分组做实验，如果6人一组余5人，如9人一组也余5人。

该兴趣班至少有多少人？

13.在团体操比赛中要变换队形，每队要分别变换成12人、18人、20人，至少需要多少人参加才行？

14.幼儿园买来一些果冻，已知果冻的总数在130～150之间，平均分给各班。

如果4个班分，就余下2个；如果5个班分，还是余下2个。

共买来多少个果冻？

15.两个自然数的最大公因数是18，最小公倍数是270，其中一个数是90，另一个数是多少？

16.有一盒好时巧克力，7粒一数余4粒，5粒一数少3粒，3粒一数正好。

这盒巧克力至少有多少粒？

17.实验小学六年级学生在240～280人之间。

春游时，如果按每组12人分组，有一组少4人；如果按每组8人分组，有两组都是6人。

实验小学六年级共有多少名学生？

18.五毛的外公家买了三缸金鱼。

星期天，五毛到外公家，问外公家三个鱼缸里各养了多少尾金鱼。

外公说：

“大缸金鱼有20尾，正好是中缸和小缸金鱼数的最小公倍数，中缸金鱼数是小缸的2.5倍。

”五毛想了一下，把答案告诉了外公，并且还讲出了自己的理由，外公听了满意的笑了。

你知道五毛是怎样想的，又是怎样说的吗？

【搏击奥数】

1.某市要在一条路（如图）的一边等距离地安装路灯，市政部门的要求是：

①A、B、C处要各安装一盏路灯；

②在AB中点，BC中点要各安装一盏路灯；

③尽量节省开支；

你能为施工部门设计一个合理的施工方案吗？

说出你的理由。

2.实验小学新建的操场长255米，宽150米。

现在要在它的周边都栽上白桦树，四个角要各栽一棵，相邻两棵树之间的距离要大于2米且小于10米，且为整数米。

请你为学校设计一下要买多少树苗？

3.开学了，学校为迎接新生，在长120米的道路两侧插上彩旗。

开始每隔3米插一面，后来改为每隔5米插一面。

如果不全部抜起重插，至少有多少面彩旗不必移动？

4.甲、乙、丙三人在周长360米的环形跑道上赛跑。

甲每秒跑6米，乙每秒跑7.5米，丙每秒跑9米，如果三人同时从同一地点同向出发，当三人在原出发点相遇时各跑了多少圈？