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应力状态分析

第二章应力状态分析

一.内容介绍

弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。

   应力状态是本章讨论的首要问题。

由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。

因此，一点各个截面的应力是不同的。

确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。

首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。

   应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。

本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。

   本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。

二.重点

   1.应力状态的定义：

应力矢量；正应力与切应力；应力分量；

   2.平衡微分方程与切应力互等定理；

   3.面力边界条件；

   4.应力分量的转轴公式；   

5.应力状态特征方程和应力不变量；

§2.5面力边界条件

学习思路:

   在弹性体内部，应力分量必须与体力满足平衡微分方程；在弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，以维持弹性体表面的平衡。

   面力边界条件的推导时，参考了应力矢量与应力分量关系表达式。

只要注意到物体边界任意一点的微分四面体单元表面作用应力分量和面力之间的关系就可以得到。

   面力边界条件描述弹性体表面的平衡，而平衡微分方程描述物体内部的平衡。

当然，对于弹性体，这仅是静力学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。

   面力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。

学习要点：

   1.面力边界条件。

物体在外力作用下处于平衡状态，不仅整体，而且任意部分都是平衡的。

在弹性体内部，应力分量必须与体力满足平衡微分方程；在弹性体的表面，应力分量须与表面力满足面力边界条件，以满足弹性体表面的平衡。

   考虑物体表面任一微分四面体的平衡，如图所示。

   由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用，设单位面积上的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz，物体外表面法线n的方向余弦为l，m，n。

参考应力矢量与应力分量的关系，可得    

用张量符号可以表示为

   上述公式是弹性体表面微分单元体保持平衡的必要条件，公式左边表示物体表面的外力，右边是弹性体内部趋近于边界的应力分量。

公式给出了应力分量与面力之间的关系，称为静力边界条件或面力边界条件。

    平衡微分方程和面力边界条件都是平衡条件的表达形式，前者表示物体内部的平衡，后者表示物体边界部分的平衡。

   显然，若已知应力分量满足平衡微分方程和面力边界条件，则物体平衡；反之，如物体平衡，则应力分量必须满足平衡微分方程和面力边界条件。

§2.6坐标变换的应力分量和应力张量

学习思路:

   一点的应力不仅随着点的位置改变而变化，而且由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。

因此必须探讨一点任意截面应力之间的变化关系。

应力分量能够描述一点的应力状态，因此确定不同截面应力分量的变化规律，就可以确定应力状态。

   本节分析坐标系改变时应力分量的变化规律。

为了简化分析，首先假设斜截面的法线与新坐标轴方向相同，建立斜截面应力矢量表达式。

然后利用斜截面应力矢量与应力分量的关系，将应力矢量投影于各个坐标轴得到应力分量表达式。

   应力分量的转轴公式说明：

应力分量满足张量变换条件。

   根据切应力互等定理，应力张量是二阶对称张量。

   转轴公式说明了一点的应力状态，尽管截面方位的变化导致应力分量改变，但是一点的应力状态是不变的。

学习要点：

   1.坐标系的变换；   2.坐标平面的应力矢量;   3.应力分量的投影;

   4.应力分量转轴公式;   5.平面问题的转轴公式。

1

一点的应力不仅是坐标的函数，随着弹性体中点的位置改变而变化，而且即使同一点，由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不相同。

一点的应力随着截面的法线方向的改变而变化称为应力状态。

   应力状态分析就是讨论一点不同截面的应力变化规律。

由于应力分量可以描述应力状态，因此讨论坐标系改变时，一点的各个应力分量的变化就可以确定应力状态。

   当坐标系改变时，同一点的各个应力分量将作如何的改变。

   容易证明，坐标系仅作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的，因此只须考虑坐标系旋转的情况。

   假设在已知坐标系Oxyz中，弹性体中某点的应力分量为

   如果让坐标系转过一个角度，得到一个新的坐标系Ox'y'z'。

设新坐标系与原坐标系之间有如下关系:

其中，li，mi，ni表示新坐标轴Ox'y'z'与原坐标轴Oxyz之间的夹角方向余弦。

如果用

表示同一点在新坐标系下的应力分量

。

   作斜截面ABC与x'轴垂直，其应力矢量为pn，则

   根据应力矢量与应力分量的表达式

设i'，j'，k'为新坐标系Ox'y'z'的三个坐标轴方向的单位矢量，

。

   将pn，即px'向x'轴投影就得到σx'；向y'轴投影就得到τx'y'；向z'轴投影就得到τx'z'；

所以

将应力矢量分量表达式代入上述各式，并分别考虑y，z方向，则可以得到转轴公式

注意到,  τx'y'=τy'x',   τy'z'=τz'y',   τx'z'=τz'x'。

   用张量形式描述，则上述公式可以写作

   应力变换公式表明：

当坐标轴作转轴变换时，应力分量遵循张量的变换规律。

坐标轴旋转后，应力分量的九个分量均有改变，但是作为一个整体所描述的应力状态是不会发生变化的。

   应力张量为二阶对称张量，仅有六个独立分量。

新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。

因此，应力张量的六个应力分量就确定了一点的应力状态。

对于平面问题，如Ox轴与Ox'成ϕ角。

则新旧坐标系有如下关系：

根据转轴公式，可得

   上述公式即材料力学中常用的应力变换公式。

   应该注意的问题是：

材料力学是根据变形效应定义应力分量的，而弹性力学是根据坐标轴定义应力分量的符号的。

因此对于正应力二者符号定义结果没有差别，但是对于切应力符号定义是不同的。

例如对于两个相互垂直的微分面上的切应力，根据弹性力学定义，符号是相同的，而根据材料力学定义，符号是相反的。

§2.7主应力和应力不变量

学习思路:

   应力状态的确定，不仅需要描述一点各个截面的应力变化规律，而且需要确定最大正应力和切应力，以及作用平面方位。

   本节讨论应力状态的的重要概念－主平面和主应力。

主平面是指切应力为零的平面；主平面法线方向称为应力主轴；主平面的正应力称为主应力。

主平面和主应力是描述一点应力状态的重要参数，关系弹性体的强度。

   根据主应力和应力主轴的定义，可以建立其求解方程－应力状态特征方程。

   对于应力主轴，在主应力求解后，再次应用齐次方程组和方向余弦特性可以得到。

   主应力特征方程的系数具有不变性、实数性和正交性。

因此称为应力不变量。

学习要点：

   1.主平面与主应力；   2.l，m，n的齐次线性方程组；

   3.应力状态特征方程；   4.主应力性质；   5.正交性证明。

应力状态的确定，不仅需要描述一点各个截面的应力变化规律，而且需要确定最大正应力和切应力，以及作用平面方位。

   物体内一点的应力分量是随坐标系的旋转而改变的，那么，对于这个确定点，是否可以找到这样一个坐标系，在这个坐标系下，该点只有正应力分量，而切应力分量为零。

也就是说：

对于物体内某点，是否能找到三个相互垂直的微分面，面上只有正应力而没有切应力。

答案是肯定的，对于任何应力状态，至少有三个相互垂直平面的切应力为零。

   切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。

   主平面的法线称为应力主轴或者称为应力主方向。

   主平面上的正应力称为主应力。

   根据主应力和应力主轴的定义，可以建立其求解方程。

设过点O与坐标轴倾斜的微分面ABC为主微分面，如图所示，

其法线方向n，既应力主轴的三个方向余弦分别为l，m，n，微分面上的应力矢量pn，即主应力的三个分量为px,py,  pz。

   根据主平面的定义，应力矢量pn的方向应与法线方向n一致，设σ为主应力，则应力矢量的三个分量与主应力的关系为

 px=σl,  py=σm, pz=σn。

同时，根据应力矢量与应力分量表达式，有

将上述公式联立求解，可以得到

上述公式是一个关于主平面方向余弦l，m，n的齐次线性方程组。

求解关于l，m，n的齐次线性方程组。

这个方程组具有非零解的条件为系数行列式等于零。

即

展开上述行列式,可得

   以上方程称为应力状态特征方程，是确定弹性体中任意一点主应力的方程。

其中，  

，为应力张量元素构成的行列式

主对角线元素之和。

，是

行列式按主对角线展开的三个代数主子式之和。

是行列式

的值。

   由于一点的主应力和应力主轴方向取决于物体所受载荷和约束条件等，而与坐标轴的选取无关。

因此特征方程的根是确定的，即I1,I2,I3 的值是不随坐标轴的改变而变化的。

因此I1,I2,I3分别称为应力张量的第一，第二和第三不变量。

   应当指出，所谓不变量是指同一点的应力张量而言的，它们与坐标轴的选取无关。

对于不同点，应力状态不同，这些量当然是要变化的

可以证明，特征方程有三个实数根，如用σ1，σ2，σ3 分别表示这三个根，则它们代表某点的三个主应力。

   对于应力主轴方向的确定，可以将计算所得的σ1，σ2，σ3分别代入齐次方程组的任意两式，并且利用关系式

联立求解，则可以求得应力主方向。

应力不变量具有以下性质：

1.不变性：

由于一点的正应力和应力主轴方向取决于弹性体所受的外力和约束条件，而与坐标系的选取无关。

因此对于任意一个确定点，特征方程的三个根是确定的，因此I1，I2，I3的值均与坐标轴的选取无关。

坐标系的改变导致应力张量的各个分量变化，但该点的应力状态不变。

应力不变量正是对应力状态性质的描述。

2.实数性：

特征方程的三个根，就是一点的三个主应力，根据三次方程根的性质，容易证明三个根均为实根，所以一点的三个主应力均为实数。

3.正交性：

任一点的应力主方向，即三个应力主轴是正交的。

下面证明主应力的正交性：

a.若σ1≠σ2≠σ3，则特征方程无重根，因此，应力主轴必然相互垂直；

b.若σ1＝σ2≠σ3，则特征方程有两重根，σ1和σ2的方向必然垂直于σ3的方向。

而σ1和σ2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；

c.若σ1＝σ2＝σ3，则特征方程有三重根，三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直。

这就是说，任何方向都是应力主轴。

证明应力不变量的正交性。

   假设主应力σ1，σ2和σ3的方向余弦分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），由于满足齐次方程组，有

   将上述公式的前三式分别乘以l2，m2和n2，中间三式分别乘以-l1，-m1，-n1，然后将六式相加，可得

同理                            

   根据上述关系式，如果σ1≠σ2≠σ3，有

l1l2+m1m2+n1n2＝0，l2l3+m2m3+n2n3＝0， l1l3+m1m3+n1n3＝0

   上式说明如果三个主应力均不相等，则三个应力主方向是相互垂直的。

   如果σ1＝σ2≠σ3，有

l2l3+m2m3+n2n3＝0，  l1l3+m1m3+n1n3＝0

   而l1l2+m1m2+n1n2可以等于零，也可以不等于零。

   这说明σ3的方向同时与σ1和σ2的方向垂直，而的σ1和σ2的方向可以垂直，也可以不垂直。

因此所有与σ3垂直的方向都是σ1和σ2的应力主方向。

   如果σ1＝σ2＝σ3，则l1l2+m1m2+n1n2，l2l3+m2m3+n2n3和l1l3+m1m3+n1n3均可以等于零，也可以不等于零。

也就是说任何方向都是应力主方向。

   由此证明应力不变量的正交性。