7．已知点 A（3，－2）在抛物线 C：
x2＝2py （p>0）的准线上，过点 A 的直线与抛物线在第一象限
相切于点 B，记抛物线的焦点为 F，则|BF|＝（）
A、6B、8C、10D、12
·1·
8．盒中有形状、大小都相同的 2 个红色球和 3 个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并
往盒中加入同色球 4 个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（）
7731
B、C、D、
591545
9．2019 年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，
发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率
为 57.8%．下图为 2019 年居民消费价格月度涨跌幅度：
下列结论中不正确的是（）
A、2019 年第三季度的居民消费价格一直都在增长
B、2018 年 7 月份的居民消费价格比同年 8 月份要低一些
C、2019 年全年居民消费价格比 2018 年涨了 2.5%以上
D、2019 年 3 月份的居民消费价格全年最低
10．已知 P 为双曲线 C：
x2 y 2
-
a 2 b2
= 1（a > 0，b > 0） 上一点，O 为坐标原点，F1，F2 为曲线 C
左右焦点．若｜OP｜＝｜OF2｜，且满足 tan∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为（）
10
B、2C、D、3
22
11．已知 A，B，C 是球 O 的球面上的三点，∠AOB＝∠AOC＝60º，若三棱锥 O-ABC 体积的
最大值为 1，则球 O 的表面积为（）
A、4πB、9πC、16πD、20π
12．双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布· 伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐
标系 xOy 中，把到定点 F1（-a，0），F2（a，0）距离之积等于 a2（a>0）的点的轨迹称为双纽线 C．已
知点 P （x0，y 0）是双纽线 C 上一点，下列说法中正确的有（）
①双纽线 C 关于原点 O 中心对称；②
；
·2·
③双纽线 C 上满足|PF1|＝|PF2|的点 P 有两个；④|PO|的最大值为2 a．
A、①②B、①②④C、②③④D、①③
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23
为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：
本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
13．设命题
14．已知函数
，则⌝p 为 ．
，若 f （a）＝-3，则 f（-a）＝ ．
π
6
点 P 是直线 AD 上的动点，则的最小值为________．
16．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并
自制了测量工具：
将一个量角器放在复印机上放大 4 倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测
量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为 1.753 米）．
该小组在操场上选定 A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为 37º；推动自行
车直线后退，轮子滚动了 10 圈达到 B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为
53ο．测量者站立时的“眼高”为 1.55m，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为
米．（精确到 0.1）
参考数据：
三、解答题：
本大题共 7 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn（Sn≠0），满足 S1，S2，-S3 成等差数列，且 a1a2＝a3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
·3·
18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 PABCD-中，底面 ABCD 是矩形，PA＝PD＝ 3 ，PB＝PC＝ 6 ，
∠APB＝∠CPD＝90ο，点 M，N 分别是棱 BC，PD 的中点．
（1）求证：
MN//平面 PAB；
（2）若平面 PAB⊥平面 PCD，求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值．
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C：
x2 y 2 2
+
a b2 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过坐标原点的直线与椭圆交于 MN，两点，过点 M 作圆 x2＋y2＝2 的一条切线，交椭圆于
另一点 P，连接 PN，证明：
|PM||＝PN|．
20．（本小题满分 12 分）
2020 年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿
元新起点上开启发展新征程的重要历史节点．作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造
业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心，走“世界
科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某
工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量
x（5≤≤x20）（件）与相应的生产总成本 y（万元）的四组对照数据．
x
y
5 7 9 11
200 298 431 609
工厂研究人员建立了 y 与 x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：
·4·
模型①：
；
模型②：
．
其中模型①的残差（实际值-预报值）图如图所示：
（1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为 y 关于 x 的回归方程？
并说明理由；
（2）市场前景风云变幻，研究人员统计历年的销售数据得到每件
产品的销售价格 q（万元）是一个与产量 x 相关的随机变量，分布列为：
结合你对
（1）的判断，当产量 x 为何值时，月利润的预报期望值最大？
最大值是多少（精确到
0.1）？
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f （ x） =x - a -sinx （x≥a）．
（1）若 f （ x） ≥ 0 恒成立，求 a 的取值范围；
（2）若 a<－
且
1 π
4 2
．
请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题
号．
22．（本小题满分 10 分）[选修 44-：
坐标系与参数方程选讲]
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为为参数），以坐标原点 O 为极
·5·
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（1）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；
（2）设点 M 的极坐标为（4，0），射线θ＝α（0<α<
π
2
）与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2
的异于极点的交点为 B，若∠AMB＝
π
4
，求 tanα的值．
23．（本小题满分 10 分）[选修 45-：
不等式选讲]
已知函数，a∈R．
（1）若 f（0）＞8，求实数 a 的取值范围；
（2）证明：
对∀x∈R，恒成立．
·6·
·7·
·8·
·9·
·10·
·11·
·12·
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·14·
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