数学建模保姆问题论文.docx
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数学建模保姆问题论文
数学建模作业
一、问题的提出
二、问题分析
三、模型假设与符号约定
四、模型的建立
五、模型的求解
六、结果检验
七、模型的优缺点
八、参考文献
一、问题的提出
1、基本情况一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。
根据统计，下年的需求是：
春季6000人日，夏季
7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。
公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗。
每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。
保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月
工资800元。
春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束时，将有15%的保姆自动离职2、需要解决的问题
（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度的增加不影响招聘计划？
可以增加多少？
（2）如果公司允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。
二、问题分析
1、对问题一的分析。
设4个季度开始时公司的新招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4人，4
个季度开始时保姆总数量分别为s1,s2,s3,s4人，以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和为最小）为目标，建立模型求解。
2、对问题二的分析。
设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4人，4个季度结束时解雇的保姆数量分别为y1,y2,y3,y4人，4个季度开始时保姆总数量分别为s1,s2,s3,s4人，以本年度付出的总报酬最小（即4个季度开始时保姆总数量最小）为目标，建立模型求解。
三、模型假设与符号约定
1、模型假设
（1）数据是真实可靠的。
2、符号约定
xi：
第i季度开始时公司新招聘的保姆数量；
yi：
第i季度结束时公司解雇的保姆数量；
si：
第i季度开始时公司保姆总数量。
其中，i可取1，2，3，4分别表示春、夏、秋、冬四个季节。
四、模型的建立
建立规划模型要确定规划目标和寻求的决策。
用x表示决策变量，f（x）表示目标函数。
实际问题一般对决策变量x的取值范围有限制，不妨记作x，称为可行域。
规划问题的数学模型可表示为
Min（或Max）f（x）,x
x通常是1维或2维变量，通常是1维或2维的非负域。
实际问题中的规划问题通常有多个决策变量，用n维向量x（x1,x2,,xn）T表示，目标函数
f（x）是多元函数，可行域比较复杂，常用一组不等式（也可以有等式）gi（x）0（i1,2,,m）
来界定，称为约束条件，一般地，这类模型可表述成如下形式
Minzf（x）
s.t.gi（x）0,i1,2,,m
五、模型的求解
针对问题一：
X214.5000000.000000
X30.0000000.929167
X458.8144800.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2）
1800.000000
0.000000
3）
0.000000
-0.029830
4）
936.625000
0.000000
5）
0.000000
-0.016667
6）
0.000000
-0.873223
7）
0.000000
0.149149
8）
0.000000
-0.929167
9）
0.000000
0.083333
10）
0.000000
0.000000
11）
14.500000
0.000000
NO.ITERATIONS=0RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEF
INCREASE
DECREASE
S1
1.000000
INFINITY
0.873223
S2
1.000000
12.327855
1.789792
S3
1.000000
14.503359
0.929167
S4
1.000000
13.117647
1.000000
X1
0.000000
INFINITY
0.873223
X2
0.000000
0.948297
1.789792
X3
0.000000
INFINITY
0.929167
X4
0.000000
1.009050
1.000000
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
2
6000.000000
1800.000000
INFINITY
3
7500.000000
4508.536133
869.999939
4
5500.000000
936.625000
INFINITY
5
9000.000000
INFINITY
3528.868652
6
120.000000
15.746606
27.692308
7
0.000000
13.384615
901.707153
8
0.000000
63.870926
14.409616
9
0.000000
54.290287
INFINITY
100.0000000.000000INFINITY
110.00000014.500000INFINITY
对上述结果取整，4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为0，15，0，59人
上面的模型中没有要求x1,x2,x3,x4,s1,s2,s3,s4为整数，是因为保姆数量比较大，可以近似的看做实数处理，此外，由于非整数因子0.85的影响，如果要求x1,x2,x3,x4,s1,s2,s3,s4为整数，则可能使得新招聘的保姆数量远远不能超出实际需要的数量，从而难以找到合理结果的整数解。
由以上结果约束中的松弛的数据知道，春季和秋季需求的增加不影响招聘计划，可以分别增加1800和936人。
针对问题二：
目标函数：
以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和为最小），即MIN=S1+S2
+S3+S4.
约束条件：
第一季度65*s1-5*x16000;
s1-x1=120;
第二季度65*s2-5*x27500;
s2-x2+y1-0.85*s1=0;
第三季度65*s3-5*x35500;
s3-x3+y2-0.85*s2=0;
第四季度65*s4-5*x49000;
s4-x4+y3-0.85*s3=0;
非负约束：
xi,si均不能为负值，即xi0,si0.
我们用LINDO软件求解该问题，输入：
Mins1+s2+s3+s4
st
65s1-5x1>=6000
65s2-5x2>=7500
65s3-5x3>=5500
65s4-5x4>=9000
s1-x1=120
s2-x2+y1-0.85s1=0
s3-x3+y2-0.85s2=0
s4-x4+y3-0.85s3=0
将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”即可得到如下输出：
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP6
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）465.1218
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
S1
120.000000
0.000000
S2
116.500000
0.000000
S3
84.615387
0.000000
S4
144.006409
0.000000
X1
0.000000
0.929167
X2
14.500000
0.000000
X3
0.000000
0.071474
X4
72.083336
0.000000
Y1
0.000000
0.083333
Y2
14.409616
0.000000
Y3
0.000000
0.083333
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2）1800.0000000.000000
3）0.000000-0.016667
4）0.000000-0.014295
5）0.000000-0.016667
6）0.000000-0.929167
7）0.0000000.083333
8）0.0000000.000000
9）0.0000000.083333
NO.ITERATIONS=6
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEF
INCREASE
DECREASE
S1
1.000000
INFINITY
0.929167
S2
1.000000
13.117647
1.000000
S3
1.000000
INFINITY
0.929167
S4
1.000000
13.117647
1.000000
X1
0.000000
INFINITY
0.929167
X2
0.000000
1.009050
0.076923
X3
0.000000
INFINITY
0.071474
X4
0.000000
1.009050
0.076923
Y1
0.000000
INFINITY
0.083333
Y2
0.000000
0.929167
0.077431
Y3
0.000000
INFINITY
0.083333
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
2
6000.000000
1800.000000
INFINITY
3
7500.000000
INFINITY
869.999939
4
5500.000000
936.625000
5500.000000
5
9000.000000
INFINITY
4325.000000
6
120.000000
15.746606
27.692308
7
0.000000
13.384615
INFINITY
8
0.000000
INFINITY
14.409616
90.00000066.538460INFINITY
15人；第四
定千真万
由上述结果可以知道：
第二个季度开始时公司新招聘15人，第二个季度结束时解雇
个季度开始时新招聘72人，目标函数值为465.1218比不允许解雇时的值略有减少。
六、结果检验
LINGO软件和LINDO软件经常是配合使用的，因为有时候用LINDO软件求得到的结果不确，因此很有必要用LINGO软件进行验证。
1、对于问题一的结果，我们用LINGO软件验证，输入：
MIN=S1+S2+S3+S4;
65*s1-5*x1>6000;
65*s2-5*x2>7500;
65*s3-5*x3>5500;
65*s4-5*x4>9000;
s1-x1=120;
s2-0.85*s1-x2=0;
s3-0.85*s2-x3=0;
s4-0.85*s3-x4=0;
x1>0;
x2>0;
x3>0;
x4>0;
s1>0;
s2>0;
s3>0;
s4>0;
将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”即可得到如下输出：
Rows=11Vars=8No.integervars=0（allarelinear）
Nonzeros=30Constraintnonz=21（10are+-1）Density=0.303
Smallestandlargestelementsinabsvalue=0.8500009000.00
No.<:
0No.=:
4No.>:
6,Obj=MIN,GUBs<=5
Singlecols=0
Optimalsolutionfoundatstep:
2
Objectivevalue:
478.5107
Variable
Value
ReducedCost
S1
120.0000
0.0000000
S2
116.5000
0.0000000
S3
99.02500
0.0000000
S4
142.9857
0.0000000
X1
0.0000000
0.8732231
X2
14.50000
0.0000000
X3
0.0000000
0.9291667
X4
58.81448
0.0000000
Row
SlackorSurplusDualPrice
1
478.5107
1.000000
2
1800.000
0.0000000
3
0.0000000
-0.2982986E-01
4
936.6250
0.0000000
5
0.0000000
-0.1666667E-01
6
0.0000000
-0.8732231
7
0.0000000
0.1491493
8
0.0000000
-0.9291667
9
0.0000000
0.8333334E-01
10
0.0000000
0.0000000
11
14.50000
0.0000000
可以看到，结果和用LINDO软件运行得到的结果一致。
2、对于问题二的结果，我们用LINGO软件验证，输入：
MIN=S1+S2+S3+S4;
65*s1-5*x1>6000;
65*s2-5*x2>7500;
65*s3-5*x3>5500;
65*s4-5*x4>9000;
s1-x1=120;
s2-x2+y1-0.85*s1=0;
s3-x3+y2-0.85*s2=0;
s4-x4+y3-0.85*s3=0;
x1>0;
x2>0;
x3>0;
x4>0;
s1>0;
s2>0;
s3>0;
s4>0;
将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”即可得到如下输出：
Rows=17Vars=11No.integervars=0（allarelinear）
Nonzeros=39Constraintnonz=30（19are+-1）Density=0.191Smallestandlargestelementsinabsvalue=0.8500009000.00
No.<:
0No.=:
4No.>:
12,Obj=MIN,GUBs<=8
Singlecols=3
Optimalsolutionfoundatstep:
2
Objectivevalue:
465.1218
VariableValueReducedCost
S1
120.0000
0.0000000
S2
116.5000
0.0000000
S3
84.61538
0.0000000
S4
144.0064
0.0000000
X1
0.0000000
0.9291667
X2
14.50000
0.0000000
X3
0.0000000
0.7147436E-01
X4
72.08333
0.0000000
Y1
0.0000000
0.8333334E-01
Y2
14.40962
0.0000000
Y3
0.0000000
0.8333334E-01
Row
SlackorSurplus
DualPrice
1
465.1218
1.000000
2
1800.000
0.0000000
3
0.0000000
-0.1666667E-01
4
0.0000000
-0.1429487E-01
5
0.0000000
-0.1666667E-01
6
0.0000000
-0.9291667
7
0.0000000
0.8333334E-01
8
0.0000000
0.0000000
9
0.0000000
0.8333334E-01
10
0.0000000
0.0000000
11
14.50000
0.0000000
12
0.0000000
0.0000000
13
72.08333
0.0000000
14
120.0000
0.0000000
15
116.5000
0.0000000
16
84.61538
0.0000000
17
144.0064
0.0000000
可以看到，得到的结果和我们用LINDO软件运行得到的结果一致。
七、模型的优缺点
1、模型的优点
（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。
（2）建立的数学模型都有相应的专用软件支持，容易推广。
（3）利用数学工具，严格地对模型求解，具有科学性。
2、模型的缺点
（1）对问题的求解结果作了近似处理。
八、参考文献
1.李继玲《数学实验基础》清华大学出版社2004年2月
2.廖敏《运筹学基础与运用》南京大学出版社2009年6月
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