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数学建模保姆问题论文
关于保姆服务公司招聘保姆问题的模型
一、摘要
本题是一个关于一家保姆公司招聘保姆的问题。
已知保姆公司春夏秋冬四个季节对保姆的需求量和每个保姆每个季度的上岗时间以及每个保姆每个月应得的报酬。
在保证保姆公司每年获利最大的情况下建立模型求解问题。
本模型的基本设计思想是以该保姆公司本年度付出的总报酬最少为目标，从四个季节中找出约束条件，再加上对变量的非负约束，然后对求解问题用LINDO软件求解，用LINGO检验。
针对第一问题，设4个季度开始时公司的新招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4人，4个季度开始时保姆总数量分别为s1,s2,s3,s4人，以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和为最小）为目标，建立模型求得到的结果为478.5107。
针对第二问题，设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4人，4个季度结束时解雇的保姆数量分别为y1,y2,y3,y4人，4个季度开始时保姆总数量分别为s1,s2,s3,s4人，以本年度付出的总报酬最小（即4个季度开始时保姆总数量最小）为目标，建立模型求得到的结果为465.1218。
关键词：
线性规划 目标函数约束条件非负约束
二、问题的提出
1、基本情况
一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。
根据统计，下年的需求是：
春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。
公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗。
每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。
保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。
春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束时，将有15%的保姆自动离职
2、需要解决的问题
（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度的增加不影响招聘计划？
可以增加多少？
（2）如果公司允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。
三、问题分析
1、 对问题一的分析。
设4个季度开始时公司的新招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4人，4个季度开始时保姆总数量分别为s1,s2,s3,s4人，以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和为最小）为目标，建立模型求解。
2、 对问题二的分析。
设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为x1,x2,x3,x4人，4个季度结束时解雇的保姆数量分别为y1,y2,y3,y4人，4个季度开始时保姆总数量分别为s1,s2,s3,s4人，以本年度付出的总报酬最小（即4个季度开始时保姆总数量最小）为目标，建立模型求解。
四、模型假设与符号约定
1、模型假设
（1） 数据是真实可靠的。
2、符号约定
：
第
季度开始时公司新招聘的保姆数量；
：
第
季度结束时公司解雇的保姆数量；
：
第
季度开始时公司保姆总数量。
其中，
可取1，2，3，4分别表示春、夏、秋、冬四个季节。
五、模型的建立
建立规划模型要确定规划目标和寻求的决策。
用
表示决策变量，
表示目标函数。
实际问题一般对决策变量
的取值范围有限制，不妨记作
，
称为可行域。
规划问题的数学模型可表示为
通常是1维或2维变量，
通常是1维或2维的非负域。
实际问题中的规划问题通常有多个决策变量，用
维向量
表示，目标函数
是多元函数，可行域
比较复杂，常用一组不等式（也可以有等式）
来界定，称为约束条件，一般地，这类模型可表述成如下形式
六、模型的求解
针对问题一：
目标函数：
以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和为最小），即MIN=S1+S2+S3+S4.
约束条件：
第一季度65*s1-5*x1
6000;
s1-x1=120;
第二季度65*s2-5*x2
7500;
s2-0.85*s1-x2=0;
第三季度65*s3-5*x3
5500;
s3-0.85*s2-x3=0;
第四季度65*s4-5*x4
9000;
s4-0.85*s3-x4=0;
非负约束：
均不能为负值，即
我们用LINDO软件求解该问题，输入：
Mins1+s2+s3+s4
st
65s1-5x1>=6000
65s2-5x2>=7500
65s3-5x3>=5500
65s4-5x4>=9000
s1-x1=120
s2-0.85s1-x2=0
s3-0.85s2-x3=0
s4-0.85s3-x4=0
将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”即可得到如下输出：
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP0
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）478.5107
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
S1120.0000000.000000
S2116.5000000.000000
S399.0250020.000000
S4142.9857330.000000
X10.0000000.873223
X214.5000000.000000
X30.0000000.929167
X458.8144800.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2）1800.0000000.000000
3）0.000000-0.029830
4）936.6250000.000000
5）0.000000-0.016667
6）0.000000-0.873223
7）0.0000000.149149
8）0.000000-0.929167
9）0.0000000.083333
10）0.0000000.000000
11）14.5000000.000000
NO.ITERATIONS=0
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
S11.000000INFINITY0.873223
S21.00000012.3278551.789792
S31.00000014.5033590.929167
S41.00000013.1176471.000000
X10.000000INFINITY0.873223
X20.0000000.9482971.789792
X30.000000INFINITY0.929167
X40.0000001.0090501.000000
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
26000.0000001800.000000INFINITY
37500.0000004508.536133869.999939
45500.000000936.625000INFINITY
59000.000000INFINITY3528.868652
6120.00000015.74660627.692308
70.00000013.384615901.707153
80.00000063.87092614.409616
90.00000054.290287INFINITY
100.0000000.000000INFINITY
110.00000014.500000INFINITY
对上述结果取整，4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为0，15，0，59人
上面的模型中没有要求x1,x2,x3,x4,s1,s2,s3,s4为整数，是因为保姆数量比较大，可以近似的看做实数处理，此外，由于非整数因子0.85的影响，如果要求x1,x2,x3,x4,s1,s2,s3,s4为整数，则可能使得新招聘的保姆数量远远不能超出实际需要的数量，从而难以找到合理结果的整数解。
由以上结果约束中的松弛的数据知道，春季和秋季需求的增加不影响招聘计划，可以分别增加1800和936人。
针对问题二：
目标函数：
以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和为最小），即MIN=S1+S2+S3+S4.
约束条件：
第一季度65*s1-5*x1
6000;
s1-x1=120;
第二季度65*s2-5*x2
7500;
s2-x2+y1-0.85*s1=0;
第三季度65*s3-5*x3
5500;
s3-x3+y2-0.85*s2=0;
第四季度65*s4-5*x4
9000;
s4-x4+y3-0.85*s3=0;
非负约束：
均不能为负值，即
我们用LINDO软件求解该问题，输入：
Mins1+s2+s3+s4
st
65s1-5x1>=6000
65s2-5x2>=7500
65s3-5x3>=5500
65s4-5x4>=9000
s1-x1=120
s2-x2+y1-0.85s1=0
s3-x3+y2-0.85s2=0
s4-x4+y3-0.85s3=0
将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”即可得到如下输出：
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP6
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1）465.1218
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
S1120.0000000.000000
S2116.5000000.000000
S384.6153870.000000
S4144.0064090.000000
X10.0000000.929167
X214.5000000.000000
X30.0000000.071474
X472.0833360.000000
Y10.0000000.083333
Y214.4096160.000000
Y30.0000000.083333
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2）1800.0000000.000000
3）0.000000-0.016667
4）0.000000-0.014295
5）0.000000-0.016667
6）0.000000-0.929167
7）0.0000000.083333
8）0.0000000.000000
9）0.0000000.083333
NO.ITERATIONS=6
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
S11.000000INFINITY0.929167
S21.00000013.1176471.000000
S31.000000INFINITY0.929167
S41.00000013.1176471.000000
X10.000000INFINITY0.929167
X20.0000001.0090500.076923
X30.000000INFINITY0.071474
X40.0000001.0090500.076923
Y10.000000INFINITY0.083333
Y20.0000000.9291670.077431
Y30.000000INFINITY0.083333
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
26000.0000001800.000000INFINITY
37500.000000INFINITY869.999939
45500.000000936.6250005500.000000
59000.000000INFINITY4325.000000
6120.00000015.74660627.692308
70.00000013.384615INFINITY
80.000000INFINITY14.409616
90.00000066.538460INFINITY
由上述结果可以知道：
第二个季度开始时公司新招聘15人，第二个季度结束时解雇15人；第四个季度开始时新招聘72人，目标函数值为465.1218比不允许解雇时的值略有减少。
七、结果检验
LINGO软件和LINDO软件经常是配合使用的，因为有时候用LINDO软件求得到的结果不一定千真万确，因此很有必要用LINGO软件进行验证。
1、对于问题一的结果，我们用LINGO软件验证，输入：
MIN=S1+S2+S3+S4;
65*s1-5*x1>6000;
65*s2-5*x2>7500;
65*s3-5*x3>5500;
65*s4-5*x4>9000;
s1-x1=120;
s2-0.85*s1-x2=0;
s3-0.85*s2-x3=0;
s4-0.85*s3-x4=0;
x1>0;
x2>0;
x3>0;
x4>0;
s1>0;
s2>0;
s3>0;
s4>0;
将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”即可得到如下输出：
Rows=11Vars=8No.integervars=0（allarelinear）
Nonzeros=30Constraintnonz=21（10are+-1）Density=0.303
Smallestandlargestelementsinabsvalue=0.8500009000.00
No.<:
0No.=:
4No.>:
6,Obj=MIN,GUBs<=5
Singlecols=0
Optimalsolutionfoundatstep:
2
Objectivevalue:
478.5107
VariableValueReducedCost
S1120.00000.0000000
S2116.50000.0000000
S399.025000.0000000
S4142.98570.0000000
X10.00000000.8732231
X214.500000.0000000
X30.00000000.9291667
X458.814480.0000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1478.51071.000000
21800.0000.0000000
30.0000000-0.2982986E-01
4936.62500.0000000
50.0000000-0.1666667E-01
60.0000000-0.8732231
70.00000000.1491493
80.0000000-0.9291667
90.00000000.8333334E-01
100.00000000.0000000
1114.500000.0000000
可以看到，结果和用LINDO软件运行得到的结果一致。
2、对于问题二的结果，我们用LINGO软件验证，输入：
MIN=S1+S2+S3+S4;
65*s1-5*x1>6000;
65*s2-5*x2>7500;
65*s3-5*x3>5500;
65*s4-5*x4>9000;
s1-x1=120;
s2-x2+y1-0.85*s1=0;
s3-x3+y2-0.85*s2=0;
s4-x4+y3-0.85*s3=0;
x1>0;
x2>0;
x3>0;
x4>0;
s1>0;
s2>0;
s3>0;
s4>0;
将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”即可得到如下输出：
Rows=17Vars=11No.integervars=0（allarelinear）
Nonzeros=39Constraintnonz=30（19are+-1）Density=0.191
Smallestandlargestelementsinabsvalue=0.8500009000.00
No.<:
0No.=:
4No.>:
12,Obj=MIN,GUBs<=8
Singlecols=3
Optimalsolutionfoundatstep:
2
Objectivevalue:
465.1218
VariableValueReducedCost
S1120.00000.0000000
S2116.50000.0000000
S384.615380.0000000
S4144.00640.0000000
X10.00000000.9291667
X214.500000.0000000
X30.00000000.7147436E-01
X472.083330.0000000
Y10.00000000.8333334E-01
Y214.409620.0000000
Y30.00000000.8333334E-01
RowSlackorSurplusDualPrice
1465.12181.000000
21800.0000.0000000
30.0000000-0.1666667E-01
40.0000000-0.1429487E-01
50.0000000-0.1666667E-01
60.0000000-0.9291667
70.00000000.8333334E-01
80.00000000.0000000
90.00000000.8333334E-01
100.00000000.0000000
1114.500000.0000000
120.00000000.0000000
1372.083330.0000000
14120.00000.0000000
15116.50000.0000000
1684.615380.0000000
17144.00640.0000000
可以看到，得到的结果和我们用LINDO软件运行得到的结果一致。
八、模型的优缺点及推广
1、模型的优点
（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。
（2）建立的数学模型都有相应的专用软件支持，容易推广。
（3）利用数学工具，严格地对模型求解，具有科学性。
2、模型的缺点
（1）对问题的求解结果作了近似处理。
3、模型的推广
本题的求解用到的模型是线性规划模型，可以推广到下料问题、汽车生产与原油采购等问题中。
九、参考文献
[1] 吴建国.数学案例精编.北京，中国水利水电出版社.2005.
[2] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计.北京，高等教育出版社.2003.
[3] 黄叫裕.初等数学建模.成都，四川大学出版社.2005.
[4] 姜启源，谢金星，叶俊.数学建模.北京，高等教育出版社.2003.
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