中考数学高频考点之平移对称旋转类型压轴题的破解策略 学案无解析.docx

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中考数学高频考点之平移对称旋转类型压轴题的破解策略学案无解析

中考数学高频考点之平移、对称、旋转类型

压轴题的破解策略

我们先把图形平移、对称和旋转的性质复习一下:

关于平移：

1.平移二要素：

（1）平移方向；

（2）平移距离。

2.将一个图形平移时，要先确定方向，再确定平移的距离，缺一不可。

3．平移的特征：

物体或图形平移后，他们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生改变。

关于对称：

1.轴对称的定义:

（1）把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.

（2）轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.

2.轴对称的性质:

　　轴对称的性质：

成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等.

关于旋转：

性质1:

图形在旋转的过程中,对应线段相等,对应角相等.这个性质好懂,就是全等三角形的对应边相等,对应角相等.

性质2:

旋转角等于对应线段所在直线的夹角.这个性质往往被忽略,用了都说好.

如图1、图2、图3中,△ABC和△CDE都是等边三角形,那么直线AD和直线BE的夹角都是60°.这是为什么呢?

图形在变,不变的是旋转的性质,△BCE绕着点C顺时针旋转60°可以与△ACD重合,所以旋转角为60°.根据性质2,旋转角等于对应线段所在直线的夹角,可知对应线段AD与BE所在直线的夹角为60°.

图1图2图3

例1.平面内,如图1,在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=15,tan∠A=

.点P为AD边上任意一点,连结PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.

（1）当∠DPQ=10°时,求∠APB的大小;

（2）当tan∠ABP∶tan∠A=3∶2时,求点Q与点B间的距离（结果保留根号）;

（3）若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积（结果保留π）.

图1备用图

思路解析：

1.第

（1）题看似很简单,其实不简单.要分类讨论,备用图已经暗示了.

2.第

（2）题:

在△PAB中,已知两角及夹边,作高设高就可以解决问题了.

3.第（3）题就是求扇形的面积,圆心角是90°.

4.第（3）题:

分三种情况讨论,其中点Q落在直线AD和BC上,示意图可以准确画出来.点Q落在直线DC上,示意图不能准确画出来.

例2.折纸的思考.

【操作体验】　用一张矩形纸片折等边三角形.

第一步,对着矩形纸片ABCD（AB>BC）（如图1）,使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平（如图2）.

第二步,如图3,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的点P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到△PBC.

图1图2图3

（1）说明△PBC是等边三角形.

【数学思考】　

（2）如图4,小明画出了图3的矩形ABCD和△PBC.他发现,在矩形ABCD中把△PBC经过变化,可以得到图5中更大的等边三角形.请描述图形变换过程.

图4图5

（3）已知矩形一边长为3cm,另一边长为acm.对于每一个确定的a值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围;

【问题解决】　

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需要正方形的边长的最小值为　　　　cm. 

思路解析：

1.如果题目太长,读不懂问题间的关系,不影响做题,可以把每个题目独立起来.

2.第

（2）题的变换方式不一,可以先旋转再放大,也可以在CD边上取点C',以BC'为边构造新的等边三角形.

3.第（3）题的分类临界点怎么找?

画水平放置的线段BC=3cm,过B、C分别画BC的垂线,在BC上方寻找临界位置的A、D两点.

第一个临界图形:

画等边三角形MBC,过点M画BC的平行线得到A、D两点.

第二个临界图形:

画等边三角形ABM,使得点M落在右侧直线上.

4.第（4）题就是一道无图几何计算题,正方形内有一个内接的直角三角形,直角边长为1和4,求正方形的边长.

例3.（2018•新疆）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（　　）

【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．

【解答】解：

如图

，

作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．

∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，

∴M′是AD的中点，

又∵N是BC边上的中点，

∴AM′∥BN，AM′=BN，

∴四边形ABNM′是平行四边形，

∴M′N=AB=1，

∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，

真题反馈：

1.如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,AD=AE,连结DC,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点.

（1）观察猜想　图1中,线段PM与PN的数量关系是　　　　,位置关系是　　　　; 

（2）探究证明　把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连结MN、BD、CE,判断△PMN的形状,并说明理由;

（3）拓展延伸　把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.

图1图2

思路解析：

1.图形在旋转的过程中,对应线段相等,对应线段所在直线的夹角等于旋转角.

2.已知三个中点,不由得要想到三角形的中位线.

3.要探求△PMN面积的最大值,首先这个三角形的形状是等腰直角三角形,只要探求斜边最大或者直角边最大就可以了.

2.我们定义:

如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连结B'C'.当α+β=180°时,我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.

特例感知　

（1）在图2、图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.

①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=　　　　BC; 

②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为　　　　. 

图1图2

图3图4

猜想论证　

（2）在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.

拓展应用　（3）如图4,在四边形ABCD中,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=2

DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?

若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.

3.如图1,已知平行四边形ABCD,AB∥x轴,AB=6,点A的坐标为（1,-4）,点D的坐标为（-3,4）,点B在第四象限,点P是平行四边形ABCD边上的一个动点.

（1）若点P在边BC上,PD=CD,求点P的坐标;

（2）若点P在边AB、AD上,点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上,求点P的坐标;

（3）若点P在边AB、AD、CD上,点G是AD与y轴的交点,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标（直接写出答案）.

图1图2

思路解析：

1.第

（2）题:

要进行两次分类.题目不难,容易搞乱,慢慢来.先设点P的坐标,再写对称点Q的坐标,然后把点Q代入直线y=x-1的解析式.重复4次.

2.第（3）题:

如果点M'落在y轴上,那么四边形GMPM'是正方形,但是这样的正方形只存在点P在AB上的情况.

3.第（3）题:

如果点M'落在x轴上,设点P的横坐标为m,设M'（n,0）,列关于m、n的方程组.

4.四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在直线上,连结CE,以CE为边,作正方形CEFG（点D、F在直线CE同侧）,连结BF.

（1）如图1,当点E与点A重合时,请直接写出BF的长;

（2）如图2,当点E在线段AD上时,且AE=1.

①求点F到AD的距离;

②求BF的长;

（3）若BF=3

请直接写出此时AE的长.

图1图2

思路解析：

1.第

（2）题:

由EC和EF的关系入手,比较容易找到解题思路.将线段EC绕着点E逆时针旋转90°可以得到EF,如果将直角三角形EDC绕点E逆时针旋转90°,点F到AD的距离就一目了然.

2.第（3）题:

容易想到分两种情况,但是点E在AD的延长线上时,线段EC需要顺时针旋转90°得到EF,这样才符合题意中点D、F在直线CE同侧.

5.将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点A（

0）,点B（0,1）,点O（0,0）.P是边AB上的一点（点P不与点A、B重合）,沿着OP折叠该纸片,得点A的对应点A'.

（1）如图1,当点A'在第一象限,且满足A'B⊥OB时,求点A'的坐标;

（2）如图2,当P是AB的中点时,求A'B的长;

（3）当∠BPA'=30°时,求点P的坐标（直接写出结果即可）.

图1图2

思路解析：

1.第（3）题主要有两大障碍,一是无图,二是存在两种情况,其中点A'落在直线AB下方的情况容易忽视.

2.第（3）题可以这样画示意图:

如图3,画∠MAN=30°,在AM上取一点P,以P为圆心、PA为半径画圆.在PM的两侧画∠MPA'=30°与圆交于点A'.这样就得到了两个点A'.

如图4、图5,画∠APA'的平分线,所在直线与x轴的交点就是原点O.然后补全图形.

图3图4图5

6.（2018•滨州）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=

，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值多少？

思路解析：

作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=

，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．

7.（2018•荆门）如图，在Rt△ABC中，（M2，N2），∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．

（1）求证：

△ADE≌△CDB；

（2）若BC=

，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．

思路解析：

（1）只要证明△DEB是等边三角形，再根据SAS即可证明；

（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．