中考专题训练中考压轴题折叠旋转问题.docx

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中考专题训练中考压轴题折叠旋转问题

中考专题训练中考压轴题（四）

------折叠旋转问题

1.（06江苏徐州卷）在平面直角坐标系中，已知矩形

ABCD中，边AB2，边AD

1，且

AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点

A落

在边DC上，设点A是点A落在边DC上的对应点．

（1）当矩形ABCD沿直线y

1

y

xb折叠时（如图1），

2

C

求点A的坐标和b的值；

D

（2）当矩形ABCD沿直线y

kxb折叠时，

①求点A的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式；

②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分

O（A）

B

x

为如图2、3、4所示的三种情形，

请你分别写出每种情形时

k的取值范围．

（图1）

（将答案直接填在每种情形下的横线上）

y

y

y

D

C

D

C

D

C

O（A）

B

x

O（A）

B

xO（A）

B

x

（图2）

（图3）

（图4）

k的取值范围是

；k的取值范围是

；k的取值范围是

；

[解]

（1）如图答5，设直线

y

1

与OD交于点E，与OB交于点F，连结AO，则

xb

2

OE=b，OF=2b，设点A的坐标为（a，1）

因为

DOA

AOF

90，

OFE

AOF

90，

所以

DOA

OFE，所以△DOA∽△OFE．

所以DA

DO

，即a

1，所以a

1．

OE

OF

b

2b

2

所以点A的坐标为（1

，1）．

2

连结AE，则AE

OE

b．

在Rt△DEA中，根据勾股定理有AE2

AD2

DE2

，

即b

2

（

1

）

2

（1

b）

2，解得b

5．

2

8

（2）如图答

6，设直线ykx

b与OD交于点E，与OB交于点F，连结AO，则

OE=b，OF

b，设点A的坐标为（a，1）．

k

因为

DOA

AOF

90，

OFE

AOF

90．

所以

DOA

OFE，所以△DOA∽△OFE．

所以DA

DO，即a

1，所以a

k．

OE

OF

b

b

k

所以A点的坐标为（

k，1）．

连结AE，在Rt△DEA中，DA

k，DE

1b，AEb．

因为AE2

AD2

DE2，

所以b2

（k）2

（1

b）2．所以b

k2

1．

2

在图答6和图答

7中求解参照给分．

（3）图13﹣2中：

2k

1；

图13﹣3中：

1≤k≤2

3；

图13﹣4中：

2

3k

0

y

y

y

G

A'

C

DA'

C

D

A'

C

D

E

E

E

F

O（A）

F

B

xO（A）

F

B

xO（A）

B

x

（图答

5）

（图答6）

（图答7）

[点评]这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿

了方程思想和数形结合的思想，请注意体会。

2.（广西玉林卷）在矩形ABCD中，AB4，BC2，以A为坐标原点，AB所在的直

线为x轴，建立直角坐标系．然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B落在y轴的E

点上，则C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上（如图）．

（1）求经过B，E，G三点的二次函数解析式；

（2）设直线EF与

（1）的二次函数图象相交于另一点H，试求四边形EGBH（3）设P为

（1）的二次函数图象上的一点，BP∥EG，求P点的坐标．

[解]

（1）解：

由题意可知，AEAB4，AGADBC2．

∴B（4，0），E（0，4），G（2，0）．

设经过B，E，G三点的二次函数解析式是ya（x2）（x4）．

把E（0，4）代入之，求得a

1

．3分

2

∴所求的二次函数解析式是：

的周长．

y

ＦＥ

ＤＣ

Ｇ

ＡＢx

y

1（x2）（x4）

1x2

x4．

2

2

（2）解：

由题意可知，四边形AEFG为矩形．

∴FH∥G，B且GB6．

∵直线y

4与二次函数图象的交点

H的坐标为H（2，4），

∴EH

2．

∵G与B，E与H关于抛物线的对称轴对称，

∴BH

EG

42

22

25．

∴四边形EGBH

的周长

2

6

2

2

5

8

4

5．

（3）解法1：

设BP交y轴于M

．

y

∵BP∥

E，G

Ｆ

Ｅ

Ｈ

∴AB:

AG

AM:

AE，

即4:

2

AM:

4．

Ｄ

∴AM

8，于是M（0，8）．

Ｇ

Ａ

设直线BM的解析式为y

kx

b．

把B（4，0），M（0，8）代入之，

4k

b

，

，

0

k2

得

8.

解得

b

8.

Ｍ

b

∴y

2x

8．

y

2x8，

联合一次，二次函数解析式组成方程组

1x2

x

4.

y

2

x

，

x

，

解得

6

4

（此组数为B点坐标）

y

或

y

0.

20

∴所求的P点坐标为P（

6，20）．

解法2：

过P作PN⊥x轴于N．由BP∥EG，得

EGB

PBN．

设所求P点的横坐标为

a（a

0），则纵坐标为

1a2

a

4（a0）．

Ｃ

Ｂx

2

∵tan

PBN

PN

，tan

EGB

AE

4

NB

AG

2，

∴PN

AE

2

2．

NB

AG

∴NB

NA

AB

4

a，

PN

1a2

a4

1a2

a4，

2

2

1a2

a4

∴2

a

2．

4

解之，得a

6或a

4．

经检验可知，

a6是原方程的根；

a4

是原方程的增根，故应舍去．

当a

6时，

1a2

a4

1（6）2

6420．

2

2

∴所求的P点坐标为

P（6，20）．

[点评]此题的综合性较强，考查的知识点较多，但是解法较多，使试题的切入点也较多，很

容易入题。

3.（06广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形

OABC

的顶点

O为原点，

E为

AB

上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在OA边上的点D处，点A，D的坐标分别

为（5，0）和（3，0）．

（1）求点C的坐标；

（2）求DE所在直线的解析式；

（3）设过点C的抛物线y

2x2

3bxc（b0）

与直线BC的另一个交点为

M，问在该

抛物线上是否存在点

G，使得△CMG为等边三角形．若存在，求出点

G的坐标；若不存

在，请说明理由．

y

M

[解]

（1）根据题意，得CD

CB

OA

5，OD

3，

C

B

∠COD90，

OC

CD2

OD2

52

32

4．

点C的坐标是（0，4）；

E

1

A

x

Ｏ

D5

（2）ABOC

4，设AE

x，

1

则DEBE4x，

AD

OA

OD

5

3

2，

在Rt△DEA中，DE

2

AD2

AE2．

（4

x）2

22

x2．

3

，

y

解之，得x

2

C

FM

B

即点E的坐标是

3

5，．

G

2

E

设DE所在直线的解析式为y

kxb，

ＯH

A

x

1

D5

1

3k

b

0，

5k

b

3，

2

k

3，

解之，得

4

9．

b

4

DE所在直线的解析式为

y

3x

9

；

4

4

（3）

点C（0，4）在抛物线y

2x2

3bxc上，c4

．

即抛物线为

y

2x2

3bx

4

．

假设在抛物线y

2x2

3bx

4上存在点G，使得△CMG为等边三角形，

根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点

G一定在该抛物线的顶点上．

设点G的坐标为（m，n），

m

2

3b

3b，n

4

2

4

（3b）2

323b2

，

2

4

4

2

8

即点G的坐标为

3b

32

3b2

．

4

，

8

设对称轴x

3b

CB交于点F，与x轴交于点H．

与直线

4

则点F的坐标为

3b，

．

4

4

b0，m0，点G在y轴的右侧，

CFm

3b

4，FG4

32

3b2

3b2

，FH

8

．

4

8

CMCG

2CF

3b

，

2

2

2

3b2

2

在Rt△CGF中，CG2

CF2

FG2，

3b

3b

．

2

4

8

解之，得b

2．（b

0）

．

3b

3

，n

32

3b2

5

m

2

8

．

4

2

点G的坐标为

3

5

2

，．

2

在抛物线y

2x

2

3bx

4（b

3

5

，使得△CMG为等边三角

0）上存在点G

，

2

2

形．

[点评]这是一道以折叠为背景的综合型压轴题，综合性较强，这类试题在各地中考题中出现

的频率不小，本题中第1、2小题只需根据折叠的基本性质结合函数知识即可得解，第3小

题是探究型问题，是一道检测学生能力的好题。

4（06湖北咸宁卷）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，

点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA5，OC3．

（1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，

E的坐标；

（2）若过点D，E的抛物线与x轴相交于点F（5，0），求抛物线的解析式和对称轴方程；

（3）若

（2）中的抛物线与

y轴交于点H，在抛物线上是否存在点

P，使△PFH的内心

在坐标轴上？

若存在，求出点

P的坐标，若不存在，请说明理由．

．．．

（4）若

（2）中的抛物线与

y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线

HQ，当点

Q移动到什么位置时，O，D两点到直线HQ的距离之和最大？

请直接写出此时点

Q的坐

标及直线HQ的解析式．

y

3C

EB

D

F

A

x

5O5

5..（07台州市）24．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，

点A在

x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的

y

3

C

B

点D处．已知折叠CE55，且tanEDA

．

4

E

（1）判断△OCD与△ADE是否相似？

请说明理由；

（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；

O

D

Ax

（3）是否存在过点

D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所

（第24题）

围成的三角形和直线

l、直线CE与y轴所围成的三角形相

似？

如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．

解：

（1）△OCD与△ADE相似．

理由如下：

由折叠知，CDEB90°，

∴1

290°，1

390，2

3.

y

又∵

COD

DAE90°，

l

N

∴△OCD∽△ADE．

C

M

B

AE

3

（2）∵tan

EDA

3t

，

G

AD

，∴设AE

则AD

4t．

4

E

P

由勾股定理得DE

5t．

O

DA

x

∴OC

AB

AE

EB

AEDE

3t

5t

8t．

由

（1）△OCD∽△ADE，得OC

CD，

AD

DE

∴8tCD，

4t5t

∴CD10t．

在△DCE中，∵CD2DE2CE2，

∴（10t）2（5t）2（55）2，解得t1．

F

∴OC8，AE3，点C的坐标为（0，8），

（第24题图2）

点E的坐标为（10，3），

设直线CE的解析式为ykxb，

10k

b

，

1

，

3

k

∴

，

解得

2

b

8

b8，

∴y

1x

8，则点P的坐标为

（16，0）．

2

（3）满足条件的直线

l有2条：

y

2x12，

y2x

12．

如图2：

准确画出两条直线．

6.（07

宁德市

）26.

已知：

矩形纸片

ABCD

中，

AB

26厘米，

BC

18.5厘米，点

E

在AD上，且AE6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：

步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图

1所示）；

步骤二，过点

P作

PT

⊥

AB，交

MN

所在的直线于点

Q，连接

QE（如图

2所示）

（1）无论点

P在

AB

边上任何位置，都有

PQ

QE

（填“

”、“

”、“

”号）；

（2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：

①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1，Q1点的坐标是（

，

）；

②当PA

6厘米时，PT与MN交于点Q2，Q2点的坐标是（

，

）；

③当PA

12厘米时，在图3中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交

点Q3的坐标；

（3）点P在运动过程，

PT与MN形成一系列的交点

Q1，Q2，Q3，⋯观察、猜想：

众多

的交点形成的图象是什么？

并直接写出该图象的函数表达式．

C

y

M

D

M

C

D

C

B

D

C

18

T

12

Q

E

Q2

（P）E

E

6

Q1

A

P

B

ANP

B

0（A）

6121824Bx

图1

图2

图3

解:

（1）PQQE．

（2）①（0，3）；②（6，6）．

③画图，如图所示．

解：

方法一：

设MN与EP交于点F．