1几何初步知识金华外国语学校学习资料.docx

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1几何初步知识金华外国语学校学习资料

暑期专题辅导材料一

【教学内容】

几何初步知识

【教学目的】

1、掌握直线、射线、线段三者之间的联系和区别；能熟练地辨别垂线与平行线以及常见的几种角；会画已知直线的平行线与垂线。

2、掌握长方形、正方形、平行四边行、三角形、梯形、圆、长方体、正方体、圆柱、圆锥的主要特征；会画长方形、正方形、圆；进一步认识轴对称图形与对称轴。

3、加深对平面图形的周长、面积、体积意义的理解；通过公式的推导，加深对辩证唯物主义事物都是联系的观点，使学生能熟练掌握已学过平面图形的周长、面积、立体图形的表面积体积公式计算，并能应用公式来解答一些实际问题。

【知识讲解】

1、平面图形的认识

（1）点——直线——线段——射线

用直尺把两点连接起来，就得到一条线段，把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。

（2）直线、射线和线段有什么联系和区别？

名称

图形

特征

备注

直线

没有端点，可以无限延长

不可以度量

射线

有一个端点，可以向一端无限延长

不可以度量

线段

有两个端点，长度是有限的

可以度量

（3）同一平面里两条直线的位置关系。

平行——平行线

锐角（小于90°）

两直角（等于90°）——互相垂直——垂线

直相交——角钝角（大于90°小于180°）

线平角（等于180°）

周角（等于360°）

重合

（4）①角的大小要看两条边叉开的大小，叉开得越大，角越大。

角的大小与角的两边画的长短没有关系。

②两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。

③在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说是互相平行。

锐角三角形

按角分直角三角形

①三角形钝角三角形

（内角和是180°）不等边三角形

平按边分等腰三角形

等边三角形

面不规则四边形

四个边都相等

四个角是直角

图平行四边形长方形正方形

②四边形

形（内角和是360°）

等腰梯形

梯形一般梯形

直角梯形

③圆、扇形……

（6）在同圆、等圆里，所有的直径都相等，所有的半径也相等，直径等于半径的2倍，直径所在的直线是对称轴。

周长和直径的比，（比值一定）叫做圆周率，用字母

表示。

圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

（7）①如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

②学过的轴对称图形有：

长方形（2条对称轴）、正方形（4条对称轴）、等边三角形（3条对称轴）、等腰三角形（1条对称轴）、等腰直角三角形（1条对称轴）、等腰梯形（1条对称轴）、圆（无数条对称轴）、扇形（1条对称轴）。

2、平面图形的周长和面积

（1）围成一个图形的所有边长的总和叫做这个图形的周长。

（2）物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。

（3）计算公式：

（4）这些公式的推导过程：

以梯形面积公式为例，把两个完全一样的梯形（如前页右下图所示）拼成一个平行四边形；可以看出这个平行四边形的底等于梯形上底加下底的和，高等于原来梯形的高；每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以梯形面积=（上底+下底）×高÷2=

。

3、立体图形的表面积和体积

（1）一个立体图形所有的面的面积总和，叫做它的表面积。

（2）一个立体图形所占空间的大小叫做它的体积。

（3）长方体和正方体的特征：

形

体

相同点

不同点

关系

面

棱

点

面的形状

面积

棱长

长

方

体

6

个

12

条

8

个

6个面都是长方形（也可

能有两个相对的面的正方

形）

相对的面的面积相等

每一组互相平行的四条棱的长度相等。

正方体是特殊的长方体

正

方

体

6

个

12

条

8

个

6个面都是相等的正方形

6个面的面积都相等

12条棱的长度都相等。

（4）圆柱和圆锥的特征：

名称

基本特征

直圆柱

1、上、下两个底面是面积相等的圆。

2、两个底面之间的距离叫高，高垂直于上、下两个底面。

3、圆柱的侧面展形是个长方形。

（长=底面周长，宽=高）

直圆锥

1、底面是一个圆。

2、从顶点到底面圆心的距离叫高，高垂直于底面圆。

3、圆锥的体积等于和它等底、等高的圆柱体积的三分之一。

（5）计算公式：

【典型例题】

例1、下面几个图形中，哪些是直线？

哪些是线段？

哪些是射线？

分析：

直线、线段、射线首先必须是“直”的，不能有弯折。

而判定一条“直”的线属于哪一种类型，依据就是端点的个数，如果没有端点，那么它就是直线；有一个端点，就是射线；有两个端点，它就是线段。

答：

（3）是直线，

（2）是射线，（5）是线段。

例2、求下图中角的度数。

∠1=度

∠2=度

∠3=度

解：

先求出∠1的度数。

（180°-150°=30°）

再求出∠2的度数。

（180°-30°-32°=118°）

最后求出∠3的度数。

（180°-118°=62°）

例3、判断下列各题，正确的打“√”错的“×”。

（1）直线AB长3厘米。

………………………………………（）

（2）角越大，角的边越大。

……………………………………（）

（3）不相交的两条直线叫平行线。

……………………………（）

（4）平行线间距离处处相等。

…………………………………（）

（5）黑板的边是垂线。

…………………………………………（）

分析与解：

（1）因为直线是向两端无限延伸着的，它没有端点，所以无法度量。

所以，原题是错的。

（2）因为角的大小与边的长短无关，与角两边叉开大小有关。

所以原题是错的。

（3）因为原题没有强调“在同一平面内”这个前提，所以原题是错的。

（4）此题是正确的。

（5）因为垂直是指两条直线的相互位置关系，不能孤立地说某一条线是垂线。

应该说“黑板的长边是短边的垂线”。

所以原题是错的。

例4、求右图的周长。

（单位：

分米）

解：

下图的周长包括长方形的两条长，一条宽与半圆弧长的总和。

例5、已知梯形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。

解法一：

阴影部分是一个三角形，它的底是3厘米，要求它的面积，还需知道高，根据梯形面积的计算公式不难求出高。

解法二：

因为阴影部分与空白部分是两个等高的三角形，所以它们面积的比就是它们底边长的比，即3：

5。

由此可知，阴影部分的面积相当于梯形面积的

，阴影部分的面积可以直接求出。

（平方厘米）

例6、有一块长方形土地，长100米，宽是长的

，把这块地划出一个最大的正方形地种小麦，每公顷平均产小麦6吨。

把全部小麦的

磨成面粉，小麦的出粉率是81%，可磨出面粉多少千克？

（得数保留整千克。

）

分析：

先求出长方形地的宽，即正方形小麦地的边长；进而求出正方形小麦地的面积，然后可以求出全部小麦的重量；再求出全部小麦的

是多少千克，最后求出这些小麦可以磨出面粉多少千克。

解：

（1）正方形小麦地的边长：

（米）

（2）正方形小麦地的面积：

（平方米）

3600平方米=0.36公顷

（3）全部小麦的重量：

（4）磨面粉的小麦重是：

（千克）

（5）磨出面粉的重量：

（千克）

答：

约可磨出面粉350千克。

例7、有一个近似于圆锥的稻谷堆，底面周长是18.84米，高1.5米，把它装入一个底面积是7.8平方米的圆柱形粮囤正好装满，这个粮囤的高多少米？

（保留一位小数）

分析：

把一个圆锥形的稻谷堆装入一个圆柱形的粮囤里正好装满，说明圆锥的体积正好等于圆柱的容积。

解：

答：

这个粮囤高约1.8米。

【同步练习】

一、判断题：

（正确的打“√”，错的打“×”）

1、不相交的两条直线叫平行线。

（）

2、两个长方形周长相等，它们的面积必定相等。

（）

3、有一个角是锐角的三角形叫做锐角三角形。

（）

4、正方形的边长扩大3倍，它的面积就扩大6倍。

（）

5、半径是直径的一半，直径是半径的2倍。

（）

6、一个圆的周长与半径成正比例关系。

（）

7、扇形是轴对称图形，有无数条对称轴。

（）

8、决定圆锥体积大小的条件是底面半径和圆锥的高。

（）

9、一个棱长6分米的正方体，它的表面积与体积相等。

（）

10、等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积比圆锥大2倍。

（）

二、填空题

11、等腰三角形的顶角与一个底角的和是135°，它的顶角是（）度。

12、一个正方形周长是0.4米，面积是（）平方米。

13、一块平行四边形的面积是264平方米，它的高是12米，底是（）。

14、一个圆的周长是6.28厘米，它的面积是（）。

15、一个正方体的棱长是2厘米，它的表面积是（），体积是（）。

16、两个棱长1分米的正方体木块，拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（）。

17、一个圆柱的底面直径和高都是10厘米，它的侧面积是（），表面积是（），体积是（）。

18、一个圆锥和一个圆柱的底面积、体积都相等，如果圆锥的高是54厘米，圆柱的高是（）。

19、如右图，∠1=（）°

∠2=（）°

∠3=（）°

20、一个正方形，一边截去6厘米，另一边截去2厘米，剩下的长方形面积比原正方形面积少68平方厘米。

原正方形的边长是（）。

三、求下面各图形的阴影部分的周长和面积。

（单位：

厘米）

21、22、23、

四、求下面几何图形的体积。

（单位：

厘米）

24、25、

五、应用题：

26、一个长方形地，周长是50米，长是宽的1.5倍，这块地的面积是多少平方米？

27、要制作一对圆柱形无盖铁皮水桶，底面周长是12.56分米，高是6分米，至少要用铁皮多少平方分米？

（得数保留整数）

28、有一个圆形鱼池，直径13米，紧沿着池边修一条宽2米的小道，小道面积是多少？

29、一个圆锥形的碎石堆，底面半径1.8米，高1.5米。

如果每立方米碎石重2.2吨，这堆碎石大约重多少吨？

（得数保留整吨数）

30、一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差3.6立方分米，这个圆柱的体积是多少立方分米？

31、用3个相同的正方体，粘接成一个长方体，长方体的棱长总和是40分米，这个长方体的表面积与体积各是多少？

32、水结成冰时，冰的体积比水增加

。

把一块长8分米，宽5分米，厚1.2分米的冰溶化在一只底面为8平方分米的圆柱形储水桶里，桶里水高与桶高的比为4：

5，求圆柱形储水桶的高。

参考答案与提示

一、判断题：

1、×2、×3、×4、×5、×

6、√7、×8、√9、×10、√

二、填空题：

11、4512、0.01

13、22米14、3.14平方厘米

15、24平方厘米、8立方厘米

16、10平方分米

17、314平方厘米、471平方厘米、785立方厘米

18、18厘米

19、90°、50°、180°20、10厘米

三、21、C=6.28厘米，S=0.86平方厘米

22、C=18.84厘米，S=6.28平方厘米

23、C=28.56厘米，S=19.44平方厘米

四、24、94.2立方厘米

25、3.6立方厘米

五、应用题：

26、

（米）……宽

（米）………………长

（平方米）…………面积

27、

（分米）……底面半径

28、

（米）………………………内圆半径

6.5+2=8.5（米）……………………外圆半径

（平方米）…………环形面积

29、

（立方米）………圆锥形石堆的体积

吨

（吨）

30、

（立方分米）

31、

（分米）……………………正方体的棱长

（平方分米）…………………………表面积

（立方分米）……………………………体积

32、

（立方分米）…………………………冰的体积

（立方分米）………………………水的体积

（分米）……………………………………水的高

（分米）……………………………桶的高