周期性补货系统中多类顾客的库存分配策略Word文档下载推荐.docx
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由于产品的存系统中，如NAHMIAS等[6]首先研究了连续盘生产提前期比较长，因此不允许零售商在订货周点系统中两类顾客的库存分配问题;
DESH?
?
PANDE等[7]和MELCHIORS等[8]在文献[6]的基期结束之前再次订货。
由于零售商的库存持有戚本比较高（可能比一些低端顾客的缺货等待戚本础上考虑了缺货损失环境下连续盘点系统中的库更高），因此零售商不会订购大批量的货物满足存分配问题;
ARSLAN等[9]考虑了在一定服务水所有级别顾客的及时需求服务。
当库存水平降低平下多类顾客的库存分配问题。
另外，HA[lO]考到一定程度，为了保证高端顾客的服务水平，零售虑了面向库存制造（make一to-stock,MTS）生产商会拒绝某些低端顾客的需求。
在补货周期结束系统中的库存分配问题，得出最优库存分配策略时，假设剩余库存可以保留到下一周期。
因此，零由一系列单调的固定库存分配临界点组成。
售商不仅需要决定周期性补货策略，包括补货周GAYON等[ll]考虑了有限生产能力下面向库存制收稿日期:
2010-01-08.作者简介:
汪小京（1982-），男，湖北跻春人，华中科技大学管理学院博士研究生.基金项目:
国家自然科学基金资助项目（70672039）.
武汉理工大学学报·
信息与管理工程版2010年8月662造的供应商生产与库存分配问题，通过马尔科夫7Ti（Yi.It,X）=Yit（Pi-c）-（1-Yit）α链描述决策问题，并得到了最优的生产与分配策（x-Yit）h~t
（1）略。
BENJAAFAR等问]考虑了装配（assemble-to式中:
c为零售商单位订购戚本;
h为零售商-order，ATO）生产系统多类顾客需求的分配问每单位时间持有成本。
题，并得到最优的库存分配策略。
定义v（t，x）为在余留时间t内库存为z的期大多数文献中的最优库存分配策略都是库存望总利润，则可以建立以下动态方程:
临界点策略，即当库存水平在某一水平下，某些顾由（t，x）=2.（λi~t）[矶（Yi.It,X）+由（t-~t，客的需求将会被拒绝。
与这些文献不同，笔者考M虑的最优分配策略不仅与库存水平有关，而且与x-Yit）]+（l-2.λi~t）[V（t-~t，X）-xh~t]余留时间相关，且该策略与收益管理中的顾客服
（2）务策略比较相似。
但与收益管理不同，笔者还考其中，式
（2）的右边第一项表示在t时刻~t虑了一个周期性补货库存系统，补货周期与期初内有一个顾客达到的期望余留利润，第二项表示库存水平均为决策变量。
没有顾客到达的期望余留利润。
1模型在零售商最优库存分配策略下，零售商的最大期望利润V（t，x）=m皿问（t,x）1，即:
1.1模型描述与符号含义M零售商采取周期性库存补货策略，在订货周V（以）=三（λi~t）{吧?
[勿在（YitI以）+V（t-~t，期T开始时将库存水平补充到某一水平Xo在补M货周期间，有M类顾客需求到达，零售商针对每Z-yu）]}+（1-Eλi~t）[V（卜血，对-xMt]一类顾客分别做出库存分配决策。
到销售期末，（3）没有销售完的产品将保留到下一个补货周期T。
且边界条件为:
V（O，x）=x（c-c）=0。
在销售时刻t，第i类顾客到达，如果零售商因此，V（T，X）为整个补货周期T内期初库存水满足其需求，则顾客向零售商支付价格pi，l副运平为X情况下的期望总利润。
定义φ（T，X，Y）为零M;
如果零售商拒绝其需求，顾客会离开，选择其售商的平均利润，则零售商的决策问题为:
①制定周他零售商。
每个顾客仅购买单个产品，不考虑顾期性补货策略（T，X）;
②喧订货周期T内对每个顾客团购情况，且每类顾客i的需求到达率λ暴呈泊客制定库存分配Y=lYit:
iε[O，M],te[0,T]1，以松分布。
零售商根据顾客愿意为产品支付价格的最大化补货周期内的平均利润，如式（4）。
高低、对缺货的态度以及对折扣量的敏感性进行分类，并假设顾客类别按照其愿意支付的价格从φ（T\X\Y;
）=max{r（T,?
-!
}（4）高到低分类Pl~…~PM&
#039;
而且顾客的损失戚本与式中，K为零售商单位订购成本。
其价格顺序一致，即从高到低排列，α1~…~aMO1.2模型构建2模型求解将补货周期T分成N个足够小的时间单位2.1最优库存分配策略血，在每个单位~t内至多只有一位顾客到达，有根据式（3）右边第一项，可以得到零售商的两位顾客到达的概率非常小以至于可以忽略不最优库存分配策略。
计。
在~t时间内，顾客i到达的概率为λi~t，而定理1给定某一补货周期T，在状态（t，x）没有顾客到达的概率为1-2.λi~t。
为表述方时，零售商的最优库存分配策略为:
r1Pi-C+叫+h~t二~~%V（t-~t，x）便，重新定义t为至下一次补货的余留时间，teYit=t。
其他[O，T]。
定义Yit=1为顾客i在s时刻需求得到（5）及时满足，定义Yit=0为该顾客t时刻需求没有def得到及时满足。
定义状态（t，x）为在t时刻库存其中，定义~%V（t-~t，x）=V（t-~t，x）-水平为z。
在状态（t，x）下，假设顾客i在te[t，tV（t-~t，x-l）。
+~t]到达时，在某种库存分配策略下，从顾客i证明当Yit=1，寇义飞（t，xIYi.=l）=Pi?
中获得的期望利润为:
c-（x-1）Mt+V（t-~t，x-1）;
第32卷第4期汪小京，等:
周期性补货系统中多类服客的库存分配策略663当Yit=0，定义只（t,xIy;
=0）=-αvo，1）]-Eλ，a，-h（9）xMt+V（t-..1t，x）。
由边界条件V（t!
1）=V（t!
1），可以得到式如果飞（t,xIy;
=1）注飞（t，xIYit=O），则k（9）中V（t,1）的解为:
几=1;
否则几=0。
定理1得到证明。
从定理1中可以得出:
零售商的最优库存分民（s，1）=i{》ih--c+川）J-配策略取决于边际库存收益..1V（t-..1t，功，该值sMM越大，零售商的最优策略为满足高端顾客的需求，Eλ，a，-h}叫-Zλ，（t-s）]ds+拒绝低端顾客需求。
显然在期末t=血，边际库存收益为零，因而零售商会将剩余库存满足所有顾V（t!
，1）叫-Z川-t!
）]υ0）k客的需求。
（3）tε（t~,t:
），最优的库存分配策略为Y1:
=引理1在（t，x）状态下，给定最优的价格折1;
y;
=0，2延民M。
同上，可得余留利润式为:
扣策略，零售商的最优库存分配策略为层级包含结构，即当p，&
gt;
Pj&
吗〉句，则一定有必;
BU。
飞（t，1）=L{川-c+川）J-证明明显p，-c+α，&
Pj-c+吨，结合定理MM主1λ，a，-h}叫-Zλ，（t-s）]ds+1，可以得到对;
注y;
。
引理1中的层级包含结构与现实情况相符，飞（t~，1）叫-Z儿。
-t~）]（11）在任意库存状态下，须优先考虑高端顾客的需求是否得到满足。
综上，可得V（t，1）在se（4，才）内的表达式:
2.2余留利润画数V（t,x）rVM（t,1）tE[0,t~]定义可=inflt~O:
V（t,x）-V（t,x-1）:
!
f:
.p,?
V（t,1）=~几_1（t，1）tε（t!
，t!
_IJ（12）c+饵，2运i:
.MI。
因此，可以得到M个时刻点的lV（t,1）tε（t~,t:
）1集合.a=1巧，…，ti，;
.，t~lUlt~=∞10通过引s2.2.2计算余留函数V（t，x）理1中得到的层级包含结构，可以得到每个时间
（1）tE[0,t~]，最优的库存分配策略为对=区域（t!
t!
_1）的最优库存分配策略，并计算得到0，1运民Mo化简式（3），可得:
余留利润函数V（t，叫。
吗LLi[Pi-c+V叭ω（2.2.1计算余留利润V（t，1）
（1）tε[0，t~]，结合对功的定义，可得最优（13）的库存分配策略为对=1，1:
.i:
.Mo通过化简式由边界条件V（仰0，z功卢）=0，可得式（ο1盯3）的解为:
（3），可以得到:
VM（SJ）=isZMPz-c+V（s,z-1）-zh]?
θV（t.1）主，巴FL=圣人[p，-c+V（川）-V（t,1）]-h叫-Eλi（t-s）]ds（叫（6）由边界条件V（0，1）=0，可以得到式（6）中
（2）tE悦，t~_1]，2运k运M，最优库存分配策V（略为:
t,1）的解为:
={1i=1，2，…，k一1（15）h（t，1）=JL[川+川）-hJLO=k,k+1,,M化简式（3），可得:
叫-Eλ，（t-s）]ds（7）与豆=Lite+阳
（2）tE（t~，t!
_1]，2运k运M，同理，可以得到M最优的库存分配策略为:
（16）V（t,x）]-三λ，a，-xhr1=1,2,,k-1（8）Yit=LO=由边界条件V（t~，x）=Vk悦，x），可得式（16）k,k+1,,M的解为:
化简式（匀，可得:
aV（L1）k-1巴FL=pi[pz-c+V（s，0）-几（t，x）才{》[川+川-1）]-
信息与管理工程版2010年8月664吗t，x）tzszλ-iaixh}λ-s）i（t]ds+L/呈阳。
叫-三主M因此，可以得到..1V（tx）s，是s的增函数。
z（17）飞（ω《ιω，叫卢）推论1说明在补货周期的期初，边际库存收（仔3）讪sε（ωs;
η）吕;
t，巧们，同上可得:
益较大，这是因为零售商有较多的销售机会从高（t端顾客中获取更多的利润。
而随着销售期末的临x）（t-C几V（sx-l）J?
飞λ,=，I[P1+,l）=J~{近，零售商为清理存货，会满足所有顾客的需求。
;
:
t~-1xh}-ZM-s）lds+推论22:
s;
k:
Mμ-t~二x~2，，。
叫主M证明假设乓〈汇根据推论1，可得:
（18）民（t~，i（t-t~）]1）叫-ZλaV（tx-1），些主坠兰=亚也主主注O综上可得V（tx），在tE（巧，可）内的表达式:
（21）V（tx）t[0Et;
JrM,化简式（16），可得:
V（tx）9）（1,=~Vk_1（tX）tE，（t~，t~_IJlV（tx）tE（t;
VOJ）-V（SJ-1）=IZMPz-c）?
1,，可）2.2.3余留利润V（t功的函数性质，（22）为了得到余留利润V（tx）的性质，以下笔者，轩-功-与42λi1[叫。
借鉴KARLIN的命题1.3.40;
-1同样当x-1=x，因为，则有对=1,命题1如果f（s）是s的凸函数，对λ&
0，可i12k-1,。
根据式（3）可得:
=,,得函数s）exp[-λ（t-s）J崎t&
.r（的凸函数。
LV（tx-1）-V（tx-2）注,,IZWz-c）-性质1余留利润V（t，对是s的凸函数。
-1QL证明给定库存水平为人余留利润V（tx），--?
ia1）-（xhi飞]/三儿豆是劣的凸函数。
UMT（23）定义it、、，，，、、FMλv’i++eoPACedzaJ飞中凶结合式（21）（23）-式，可以得到:
V（tx）-V（tx-1）运V（tx-1）-V（tx-2）,,，,-xhiai化简式（1，俐得:
Eλ（24）M又结合40;
-1，可得:
V~（υtzx飞ω，功乒）（υ叫仆ω）s=λ以川J.;
注川V（t~，x）-V（吨，x-1）运V（t~，元一1）一MV（t~，x-2）&
lt;
V（t~-1,x-1）-V（t~-I，必-2）飞（t~x）-（t，t~）（20）]叫-Zλi（25）结合命题1（20），在式中，假设V（sx-，1）为式（25）明显与矿1和吨的定义相矛盾，因而s的凸函数，即（s）J:
是s的凸函数，则V（ts，对为原假设不成立，推论2得到证明。
的凸函数。
首先考察V（tl）（s），，儿儿[Pi-=推论2说明，当零售商库存水平较高，则应该LM更早地向更多顾客提供服务;
当库存水平比较低，c+V（sO）+λ-h是s的凸函数，因此,JiaiL则推迟向低端顾客提供服务。
性质2余留利润V（t，x）是z的凸函数。
V（t1）为s的凸函数。
利用数学归纳法，可以得,到V（证明
（1）当tE[0，可1J，可得:
tx），为s的凸函数。
M推论1边际库存收益..1V（tx）是s的增函数。
s，V（t,x）-V（t，x一1）=[ZW磊-c）-xh-证明一般地，当tE悦，t~_1，改写式（16）JM可得:
髦λzI圣人（Pi-c）-xh-吗豆]/主AzV（SJ）=VOJ）-V（SJ-1）=IZλz-1。
飞1）2）L]/=ω--ω-主儿-c）λ-xh（Piiai乌兰]/公[sz1-豆-当比sL]，，结合推论1，可得:
周期性补货系统中多类服客的库存分配策略665MV（t,x）-V（t,x-1）~VM（t~，必）-子步骤1t=血，初始值V（t,O）=主λiL1tV（t~,x-1）=PM-C+αMM（-a）+V（t-L1t,0）,V（t,x）=主（λiL1t）iV（t,x-1）-V（t,x-2）注VM（t~-l,x-1）-V（t~-l,x-2）={气?
[町（YitIt,x）+V（t-L1t,x-Yit）]}+（1-PM-C+aMM、王λiL1tI[V（t-L1t,x）-xhL1t]，若V（t，x）-V（t,则可得到V（t，x）-V（t，x-1）运V（t，x-1）-V（t，x一2）。
x-1）~O，则Ix=x+1;
否则，停止，X（t）=x-1。
因此，V（t，x）在te[O，t~]内为凸函数。
子步骤2如果t&
T，则t=t+血，返回子步
（2）一般地，假设V（t，对在比[O，t~+l]内为骤1;
杏则，停止，X&
（T）=x-10凸函数，即:
步骤2确定最优订货周期T&
如果φ（T，V（t,x）-V（t,x-1）运V（t，元一1）-V（t，第一2）X,Y）&
L1V[T，X]1.血，则T=T+血，返回步骤1;
当SE[sLIA-1]，可得:
否则，停止，T&
=T,X’=X（T）。
定理4算法1可以得到零售商唯一最优库V（t,x）-V（t,x-1υ）=斗[6札协（Pi-小‘三圣川存补货策略（T*，X&
）。
证明（矛盾法）假设存在最优补货策略为功-吗丑纠叮]/主λ?
i~[哗主辛λ儿辛i灿（T,X），且假设T&
T&
，X&
X&
，则:
1111MTlHMVTX、VJf飞，JtFZA;
X-J、A;
、、，谷，;
&
aw￡1「zfd-θ飞-1L]/主λz-?
A飞J飞JV（t,x-1）-V（t,x-2）[Pi-c+V（T-L1t,X-1）-V（T-L1t,X）+1111当te[汇剖，结合推论1，可得:
hL1t]-XhL1t1V（t,x）-V（t,x-1）~几（~，x）-（T,X）-K11φ（T，X）-φ（T-L1t,X）=且且-1111V（t~，x-1）=Pk-l-C+a_k1V（t,x-1）-V（t,x-2）~V（T-L1t,X）-KL1t在、「11（T-L1t）L全TniLPz-+飞（t~-l,x-1）-V_（t~-l,x-2）=1k1V（T-L1t,X-1）-V（T-L1t,X）+hL1t]-Xh-11111Pk-l-C+αk-lV（T,X）-K1L1trζ、「则可得到V（t，x）-V（t，x-1）运V（t，x-1）-11引J&
百二五川全THZLPi-+V（t，x-2），因此，V（t，对在te[O，t~]内为凸函数。
OV（T*-L1tλ-1）-V（T-L1t,X）+hL1t]-Xh-综上所述，通过数学归纳法，可得余留利润11V（TX）-K1L1trL1V（T*,X）V（t，对为z的凸函数。
lI11TJ-（T-L1t）lL1t112.3最优库存补货策略V（T,X）-K1定理2给定某一订货周期T，在最优库存分11、-T1配策略下，存在唯一最优的期初库存水平X&
即根据上式可得φ（T，X）-φ（T-L1t,X）&
1111X’（T）=m皿jX&
0:
V（T,X）-V（T,X-1）注010，这与（T，X）为最优补货策略的假设矛盾。
因11（26）此，最优补货周期不可能大于凡。
同样，可以证证明根据性质2容易得到定理20明最优订货周期不可能小于T。
综上所述，算法定理3给定最优库存分配策略，存在一个o1得到的最优解（凡，X）为唯一最优解，因而定理最优的补货周期T&
满足等式（27）:
oφ（T，X，Y）4得到证明。
=aV[T,X’（T）]/aT（27）证明根据边际分析法容易得到寇理3。
3FCFS服务策略根据以上分析，通过设计动态规划算法1，可以求解零售商的最优库存分配Y，以及库存补货3.1FCFS策略下最优补货策略策略（T，X），且可以得到定理4。
在FCFS策略中，当任意级别顾客到达时，如算法1初始值V（O，x）=0;
果库存水平大于零，则满足顾客需求。
用上标f步骤1T=血，确定最优期初库存水平;
标示FCFS策略下相应的变量和方程。
信息与管理工程版2010年8月666r1x&
0为c=10元/每件，固定订货成本为K=50元/次。
定义δ（x）斗，在状态（t，x）下，可以10x=03类顾客的需求到达率为λ=（4，2，的方每周，采用式（28）中表示的动态规划得到零售商的最顾客愿意支付的价格为p=（50,25,15）5GI每件，大期望利润:
顾客损失戚本为α=（1O，5，1）5GI每件。
M图1为零售商的期初库存水平随补货周期长VOhE（λ?
.?
t）jS（x）[P.-c一（卜1）Mt]-度的变化情况，当零售商采取FCFS策略时，需要[1-δ（x）]向+V[t-.t,（x-1）+]1+设置较高的期初库存水平以满足所有顾客的需M求。
当补货周期比较长时，零售商的期初库存水（1-圣地）[V（t-.t,x）-xh.t]（28）平保持不变，这是因为库存成本太高，高于顾客损定理5在FCFS策略下，存在唯一的最优补失的机会成本P.-c+衔。
货策略（T，X）。
图2为零售商总利润水平随补货周期长度变证明从定理4中容易得到。
化情况，库存分配策略明显可以大幅提高总利润在元库存分配策略下，零售商的最优补货策水平，当补货周期较长时，零售商的总利润会逐渐略可以通过算法2得到。
下降，这是因为期初库存不能满足整个补货周期算法2初始值V（O，x）=0;
的需求，大量顾客会损失。
步骤1T=血，确定最优期初库存水平;
图3为零售商的平均利润随补货周期长度的子步骤1t=血，通过式（28）计算V（t，对，变化情况，库存分配策略对零售商的利润有显著如果V（t，对-V（t，x-1）~0，则/x=x+1;
否则，提升作用，这是因为库存分配策略可以提高高端停止，Xf（t）=x-1o顾客服务水平。
当补货周期较短时，平均利润会子步骤2如果t&
T，则t=t+血，返回子步f急剧上升，因为零售商从更多顾客中获取利润，且骤1;
否则，停止，X（T）=x-1。
能够节约固定订货成本;
当补货周期较长时，虽然步骤2确定最优订货周期T，如果φf（T,可以节约固定订货成本，但是平均利润会逐渐降X,Y）&
.V（T，X）/.血，则T=T+血，返回步骤1;
低，因为有大量顾客的需求没有得到满足。
否则，停止，T=T,X=Xf（T）。
表1为两种不同策略下零售商的最优补货策3.2算例分析略，与FCFS策略相比较，库存分配策略可以提高考虑高、中、低3种顾客级别。
零售商单位库零售商的平均利润至23%。
存持有成本为h=10万每件每周，单位订货成本100303008025200L飞3苍’;
llit60生20言I1/\、一一序存分配策略Ig100恃军40世15q胁咱在拭s’0目国20重10FCFS策略峭100。
;
AU200们3aay5r0I坷707AU-U，;
o。
o4691024910明T!
周T凋图1最优期初库存水平图2V（T，X）随T的变化情况图3零售商平均利润随T的随T的变化情况变化情况表1两种策精下零售商最优订货策略图4为最优补货周期随固定订货戚本的变化情况，在库存分配策略下，零售商的补货周期大于补货周期期初库存平均利润策略/周/件水平/元FCFS策略下的补货周期，这说明库存分配策略可以帮助
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