26基础实际问题与一元一次方程一基础课程讲义例题练习含答案.docx
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26基础实际问题与一元一次方程一基础课程讲义例题练习含答案
实际问题与一元一次方程
（一）（基础）知识讲解
【学习目标】
1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．
【要点梳理】
知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：
问题
方程
解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：
审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）
1．和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：
增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：
抓住关键词列方程，常见的关键词有：
多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
2．行程问题
（1）三个基本量间的关系：
路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：
Ⅰ．基本量及关系：
相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：
甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：
Ⅰ．基本量及关系：
追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：
前者走的路程＝追者走的路程；
第二，第二，同时不同地出发：
前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：
Ⅰ．基本量及关系：
顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：
抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
寻找相等关系的方法：
抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1．（•黄冈）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
【思路点拨】设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇．结合七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【答案与解析】解：
设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有（118﹣x）篇，
依题意得：
（x+2）×2=118﹣x，
解得：
x=38．
答：
七年级收到的征文有38篇．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+2）×2=118﹣x．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
举一反三：
【变式】（•南充）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（ ）
A．25台B．50台C．75台D．100台
【答案】C．
解：
设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100﹣x）台，
根据题意可得：
x=3（100﹣x），
解得：
x=75．
类型二、行程问题
1.一般问题
2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?
【答案与解析】
解：
设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：
4x+0.5＝5（x-0.5），解得x＝3．
所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5（千米）．
答：
学校到县城的距离是12.5千米．
【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．
举一反三：
【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．
【答案】
解：
设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为
小时，下坡行驶的时间为
小时．依题意，得：
，
化简得：
．
显然a≠0，解得
．
答：
汽车的平均速度为
千米/时．
2.相遇问题（相向问题）
【高清课堂：
实际问题与一元一次方程
（一）388410相遇问题】
3．A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？
【答案与解析】
解:
设甲经过x小时与乙相遇.
由题意得：
．
解得，x=2.75．
答：
甲经过2.75小时与乙相遇．
【总结升华】等量关系：
甲走的路程+乙走的路程=100km
举一反三：
【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?
【答案】
解：
设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶（x+2.5）千米，根据题意，得：
．
解得：
．
（千米）
答：
甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米
3.追及问题（同向问题）
4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?
【答案与解析】
解：
设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意，
得
．
得：
，
小时=10分钟．
答：
通讯员用10分钟可以追上学生队伍．
【总结升华】追及问题：
路程差=速度差×时间，此外注意：
方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．
4.航行问题（顺逆流问题）
5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．
【答案与解析】
解法1：
设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为（x+4）千米/时，逆水航行的速度为（x-4）千米/时，由两码头的距离不变得方程：
3（x+4）＝5（x-4），解得：
x=16，
（16+4）×3=60（千米）．
答：
两码头之间的距离为60千米．
解法2：
设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为
千米/时，逆水航行时速度为
千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：
，解得：
．
答：
两码头之间的距离为60千米．
【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．
类型三、工程问题
6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?
【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的
，甲管单独注水每小时注水池的
，合注7小时注水池的
，乙管每小时注水池的
．
【答案与解析】
解：
设乙管还需x小时才能注满水池．
由题意得方程：
．
解此方程得：
x＝9．
答：
单独开乙管，还需9小时可以注满水池．
【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1”．
举一反三：
【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?
【答案】
解：
设乙中途离开x天，由题意得：
．
解得：
．
答：
乙中途离开了3天．
类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）
7．（春•衡阳校级月考）某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？
设抽调x人，则可列方程（ ）
A．22+x=2×26B．22+x=2（26﹣x）C．2（22+x）=26﹣xD．22=2（26﹣x）
【思路点拨】设抽调x人，则调后一组有（22+x）人，第二组有（26﹣x）人，根据关键语句：
使第一组的人数是第二组的2倍列出方程即可．
【答案】B．
【解析】
解：
设抽调x人，由题意得：
（22+x）=2（26﹣x），
【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，表示出调后两个组的人数．
举一反三：
【高清课堂：
实际问题与一元一次方程
（一）388410调配问题】
【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的
.
解：
设从甲队调出x人到乙队.由题意得，
．
解得，x=12.
答：
需要从甲队调出12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的
.
【巩固练习】
一、选择题
1．一个长方形的周长为26cm,这个长方形的长减少1cm,宽增加2cm,就可成为一个正方形,设长方形的长为xcm,则可列方程（）．
A.
B.
C.
D.
2．飞机逆风时速度为x千米/小时，风速为y千米/小时，则飞机顺风时速度为（）．
A．
千米／小时B．
千米／小时
C．
千米／小时D．
千米／小时
3．（•聊城）在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）
A．27B．51C．69D．72
4.甲能在11天内独立完成某项工作,乙的工作效率比甲高10%,那么乙独立完成这项工作的天数为（）．
A．10天B．12.1天C．9.9天D．9天．
5.甲列车从A地以50千米/时的速度开往B地，1小时后，乙列车从B地以70千米/时的速度开往A地，如果A，B两地相距200千米，则两车相遇点距A地（ ）千米．
A.100B.112C.112.5 D.114.5
6．（春•宁波期中）某班同学去划船，若每船坐7人，则余下5人没有座位；若每船坐8人，则又空出2个座位．这个班参加划船的同学人数和船数分别是（ ）
A．47，6B．46，6C．54，7D．61，8
二、填空题
7.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个湘莲，付50元，找回38元，设每个湘莲的价格为
元，根据题意，列出方程为______________.
8．某校用56m长的篱笆围成一个长方形的生物园，要使长为16m，则宽为________m．
9．小明和他父亲的年龄之和为54，又知父亲年龄是小明年龄的3倍少2岁，则他父亲的年龄为____岁．
10.甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9米，乙每秒钟跑7米．
（1）当两人同时同地背向而行时，经过________秒钟两人首次相遇；
（2）两人同时同地同向而行时，经过________秒钟两人首次相遇．
11．（春•原阳县校级月考）某水池有甲进水管和乙出水管，已知单开甲注满水池需6h，单开乙管放完全池水需要9h，当同时开放甲、乙两管时需要 h水池水量达全池的
．
12．王会计在结账时发现现金少了153.9元，查账时得知是一笔支出款的小数点看错了一位．王会计查出这笔看错了的支出款实际是________元．
三、解答题
13.A、B两地相距216千米，甲、乙分别在A、B两地，若甲骑车的速度为15千米/时，乙骑车的速度为12千米/时。
（1）甲、乙同时出发，背向而行，问几小时后他们相距351千米？
（2）甲、乙相向而行，甲出发三小时后乙才出发，问乙出发几小时后两人相遇？
（3）甲、乙相向而行，要使他们相遇于AB的中点，乙要比甲先出发几小时？
（4）甲、乙同时出发，相向而行，甲到达B处，乙到达A处都分别立即返回，几小时后相遇？
相遇地点距离A有多远？
14.甲乙两车间共120人，其中甲车间人数比乙车间人数的4倍少5人.
（1）求甲、乙两车间各有多少人？
（2）若从甲、乙两车间分别抽调工人，组成丙车间研制新产品，并使甲、乙、丙三个车间的人数比为13∶4∶7，那么甲、乙两车间要分别抽调多少工人？
15．（•平南县一模）抗震救灾重建家园，为了修建在地震中受损的一条公路，若由甲工程队单独修需3个月完成，每月耗资12万元；若由乙工程队单独修建需6个月完成，每月耗资5万元．
（1）请问甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？
共耗资多少万元？
（2）若要求最迟4个月完成修建任务，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．（时间按整月计算）
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B.
【解析】等量关系：
正方形的边长相等．
2．【答案】C.
【解析】逆风速度+2风速=顺风速度．
3．【答案】D.
【解析】解：
设第一个数为x，则第二个数为x+7，第三个数为x+14
故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21
当x=16时，3x+21=69；
当x=10时，3x+21=51；
当x=2时，3x+21=27．
故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是72．
故选：
D．
4．【答案】A.
【解析】乙的日工作效率：
，乙独做需要的时间：
（天）．
5．【答案】C.
【解析】
．
6.【答案】C．
【解析】设船数为x只，根据题意得出：
7x+5=8x﹣2，解得：
x=7，故7x+5=7×7+5=54．
故这个班参加划船的同学人数和船数分别是：
54，7．
二、填空题
7．【答案】50-8x=38.
【解析】答案不唯一．
8．【答案】12.
【解析】设宽为xm，依题意得2（16+x）＝56．
9．【答案】40.
【解析】设小明的年龄为x岁，依题意得x+3x-2＝54，则x＝14．故父亲的年龄为3×14-2＝40岁．
10.【答案】25；200.
【解析】
（1）相遇问题：
（秒）；
（2）追及问题：
（秒）.
11.【答案】6；
【解析】解：
设水池容积为1，同时开放甲、乙两管时需要xh水池水量达全池的
，
依题意得：
（
﹣
）x=
，解得x=6，
∴同时开放甲、乙两管时需要6h水池水量达全池的
．
12.【答案】171.
【解析】设支出款为x元，则错看成
元，列方程得
.
三、解答题
13．【解析】
（1）解：
设x小时后，甲、乙相距351千米，
依题意，得15x+12x=351-216．
解这个方程，得x=5．
答：
5小时后，甲、乙相距351千米.
（2）解：
设乙出发x小时后两人相遇．
依题意，得15（3+x）+12x=216．
解这个方程，得x=
.
答：
乙出发
小时后，甲、乙两人相遇.
（3）解：
设当乙比甲早出发x小时，使甲、乙二人相遇于AB的中点.
依题意，得
，解这个方程，得x=
.
答：
只要乙比甲先出发
小时，两人就能相遇于AB的中点.
（4）解：
设x小时后甲乙相遇，
依题意，得15x+12x=216×3．
解这个方程，得x=24.
当x=24时，12x-216=72（千米）.
答：
24小时后两人相遇，相遇地点距离A地72千米.
14.【解析】
解：
（1）设乙车间有x人，那么甲车间有（4x-5）人，根据题意，得：
x+（4x-5）=120，
解这个方程，得x=25.
4x-5=4×25-5=95（人）.
（2）设甲、乙、丙三个车间人数比的一份为x人，则这三个车间的人数依次为13x人、4x人、7x人.依题意得：
13x+4x+7x=120.
解得：
x=5.
当x=5时，95-13x=95-13×5=30（人）,
25-4x=25-4×5=5（人）.
答：
原甲、乙车间各有95人和25人.需分别从甲、乙两车间分别抽调30人和5人组成丙车间.
15.【解析】
解：
（1）设甲、乙两工程队合作需x个月完成，
（
+
）x=1，
解得x=2．
（12+5）×2=34万元．
答：
甲、乙两工程队合作修建需要两个月完成，共耗资34万元；
（2）设甲乙合做y个月，剩下的由乙来完成．
（
+
）y+
=1，
解得y=1．
故甲乙合作1个月，剩下的由乙来做3个月就可以．
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