初中数学复习总动员第24讲与圆相关的角.docx
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初中数学复习总动员第24讲与圆相关的角
2017年暑期初中数学复习总动员第24讲与圆相关的角
【知识巩固】
一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
3、圆周角定理及推论
（1）定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于⑧这条弧所对的圆心角的一半. 2. 推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
4、弧、弦、圆周角、弦切角之间的关系
（1）定理：
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对弦的弦心距也相等.
（2）推论
（1） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中⑨有一组量相等，那么其他各组量也分别对应相等.
（2）弧的度数等于它所对的圆心角的度数.
【典例解析】
典例一、圆心角
（2016·山东省济宁市·3分）如图，在⊙O中，
=
，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：
∵在⊙O中，
=
，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=40°，
∴∠ADC=∠AOC=20°，
故选C．
【变式训练】
（2016·山东省滨州市·3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）
A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤
【考点】圆的综合题．
【分析】①由直径所对圆周角是直角，
②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，
③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；
④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；
⑤用三角形的中位线得到结论；
⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．
【解答】解：
①、∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
②、∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，
∴∠AOC≠∠AEC，
③、∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠DBC，
∴CB平分∠ABD，
④、∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，
∴∠AFO=90°，
∵点O为圆心，
∴AF=DF，
⑤、由④有，AF=DF，
∵点O为AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD=2OF，
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，
故选D
【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．
典例二、圆周角
（2017江苏徐州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ）
A．28°B．54°C．18°D．36°
【考点】M5：
圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理：
同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．
【解答】解：
根据圆周角定理可知，
∠AOB=2∠ACB=72°，
即∠ACB=36°，
故选D．
【变式训练】
（2017江苏盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在
上，点D在
上，若∠ACB=70°，则∠ADB= 110 °．
【考点】M5：
圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：
∵点C在
上，点D在
上，若∠ACB=70°，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ADB=110°，
故答案为：
110．
典例三、圆周角与切线之间的关系
（2017贵州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2B．﹣1C．
D．4
【考点】M5：
圆周角定理；KQ：
勾股定理；M2：
垂径定理．
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=
OC=1，最后由垂径定理得出结论．
【解答】解：
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE=
OC=1，
∴CD=2OE=2，
故选A．
【变式训练】
（2017贵州）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2B．﹣1C．
D．4
【考点】M5：
圆周角定理；KQ：
勾股定理；M2：
垂径定理．
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=
OC=1，最后由垂径定理得出结论．
【解答】解：
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE=
OC=1，
∴CD=2OE=2，
故选A．
典例四、与圆周角有关的证明
（2017哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（ ）
A．43°B．35°C．34°D．44°
【考点】M5：
圆周角定理．
【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A=∠D=42°，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：
∵∠D=∠A=42°，
∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，
故选B．
【变式训练】
（2017湖北荆州）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是 60°或120° ．
【考点】M6：
圆内接四边形的性质；L8：
菱形的性质；M5：
圆周角定理．
【分析】连接OB，则AB=OA=OB故可得出△AOB是等边三角形，所以∠ADC=60°，∠AD′C=120°，据此可得出结论．
【解答】解：
连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=OB=BC，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．
故答案为：
60°或120°．
典例五、角的综合应用
（2017贵州安顺）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】T7：
解直角三角形；JA：
平行线的性质；M5：
圆周角定理．
【分析】首先由切线的性质得出OB⊥BC，根据锐角三角函数的定义求出cos∠BOC的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出∠ADB=90°，又由平行线的性质知∠A=∠BOC，则cos∠A=cos∠BOC，在直角△ABD中，由余弦的定义求出AD的长．
【解答】解：
连接BD．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°．
∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．
∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，
∴cos∠BOC=
=
，
∴cos∠A=cos∠BOC=
．
又∵cos∠A=
，AB=4，
∴AD=
．
故选B．
【变式训练】
（2016海南4分）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧
上，AB=8，BC=3，则DP= 5.5 ．
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】解：
由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：
∵AB和DE是⊙O的直径，
∴OA=OB=OD=4，∠C=90°，
又∵DE⊥AC，
∴OP∥BC，
∴△AOP∽△ABC，
∴
，
即
，
∴OP=1.5．
∴DP=OP+OP=5.5，
故答案为：
5.5．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
【能力检测】
1.（2017宜昌模拟）如图，CD是圆O的直径，AC，BD是弦，C是弧AB的中点，且∠BDC=25°，则∠AOC的度数是（ ）
A．25°B．45°C．50°D．60°
【考点】M5：
圆周角定理．
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOC=2∠CDB，进而可得答案．
【解答】解：
∵C是弧AB的中点，
∴
=
，
∴∠AOC=2∠CDB，
∵∠BDC=25°，
∴∠AOC=50°，
故选：
C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2.（2017湖北宜昌）如图，四边形ABCD内接⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=ADB．BC=CDC．
D．∠BCA=∠DCA
【考点】M4：
圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：
A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴
与
不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选B．
3.（2017毕节）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）
A．30°B．50°C．60°D．70°
【考点】M5：
圆周角定理．
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．
【解答】解：
连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．
故选C．
4.（2016·山东省济宁市·3分）如图，在⊙O中，
=
，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：
∵在⊙O中，
=
，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=40°，
∴∠AOC=40°，
∴∠ADC=∠AOC=20°，
故选C．
5.（2017山东枣庄）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则
的长为 π ．
【考点】MC：
切线的性质；L5：
平行四边形的性质；MN：
弧长的计算．
【分析】先连接OE、OF，再求出圆心角∠EOF的度数，然后根据弧长公式即可求出
的长．
【解答】解：
如图连接OE、OF，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∴∠OED=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，
∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA=60°，
∴∠DFO=120°，
∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°，
的长=
=π．
故答案为：
π．
6.（2016·青海西宁·2分）⊙O的半径为1，弦AB=
，弦AC=
，则∠BAC度数为 75°或15° ．
【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．
【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可．
【解答】解：
有两种情况：
①如图1所示：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：
AE=BE=
，AF=CF=
，
cos∠OAE=
=
，cos∠OAF=
=
，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=30°+45°=75°；
②如图2所示：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
由垂径定理得：
AE=BE=
，AF=CF=
，
cos∠OAE═
=
，cos∠OAF=
=
，
∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，
∴∠BAC=45°﹣30°=15°；
故答案为：
75°或15°．
7.（2017湖北宜昌）已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D．B点在⊙O上，连接OB．
（1）求证：
DE=OE；
（2）若CD∥AB，求证：
四边形ABCD是菱形．
【考点】MC：
切线的性质；L9：
菱形的判定．
【分析】
（1）先判断出∠2+∠3=90°，再判断出∠1=∠2即可得出结论；
（2）先判断出△ABO≌△CDE得出AB=CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD=AD即可．
【解答】解：
（1）如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，
∵DE=EC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠COD，
∴DE=OE；
（2）∵OD=OE，
∴OD=DE=OE，
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，
∴∠2=∠1=30°，
∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，
∴OA=OB=DE=EC，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠1，
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，
∴△ABO≌△CDE，
∴AB=CD，
∴四边形A∴D是平行四边形，
∴∠DAE=
∠DOE=30°，
∴∠1=∠DAE，
∴CD=AD，
∴▱ABCD是菱形．
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