初中数学复习总动员第33讲轴对称变换.docx
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初中数学复习总动员第33讲轴对称变换
2017年暑期初中数学复习总动员第33讲轴对称变换
【知识巩固】
1、轴对称图形:
一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称:
两个图形沿一条直线对折,其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系:
(1)区别。
轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”;轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
(2)联系。
把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称;把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质:
(1)
图1
成轴对称的两个图形全等。
(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
(3)对应点到对称轴的距离相等。
(4)对应点的连线互相平行。
5、线段的垂直平分线:
(1)定义。
经过线段的中点且与线段垂直的直线,叫做线段的垂直平分线。
如图2,
∵CA=CB,
直线m⊥AB于C,
∴直线m是线段AB的垂直平分线。
图2
(2)性质。
线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
如图3,
图3
∵CA=CB,
直线m⊥AB于C,
点P是直线m上的点。
∴PA=PB。
(3)判定。
与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
如图3,∵PA=PB,
直线m是线段AB的垂直平分线,
∴点P在直线m上。
【典例解析】
典例一、轴对称图形
(2017黑龙江鹤岗)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】R5:
中心对称图形;P3:
轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:
A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误;
C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.
故选C.
【变式训练】
(2017湖北荆州)如图,在5×5的正方形网格中有一条线段AB,点A与点B均在格点上.请在这个网格中作线段AB的垂直平分线.要求:
①仅用无刻度直尺,且不能用直尺中的直角;②保留必要的作图痕迹.
【考点】N4:
作图—应用与设计作图;KG:
线段垂直平分线的性质.
【分析】以AB为边作正方形ABCD,正方形ABEF,连接AC,BD交于O,连接AE,BF交于O′,过O,O′作直线OO′于是得到结论.
【解答】解:
如图所示,直线OO′即为所求.
典例二、轴对称的性质
(2017呼和浩特)图中序号
(1)
(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是( )
A.
(1)B.
(2)C.(3)D.(4)
【考点】P3:
轴对称图形.
【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形,据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可.
【解答】解:
∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形,
∴通过轴对称得到的是
(1).
故选:
A.
【变式训练】
(2017四川眉山)在如图的正方形网格中,每一个小正方形的边长为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A、C的坐标分别是(﹣4,6),(﹣1,4).
(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系;
(2)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(3)请在y轴上求作一点P,使△PB1C的周长最小,并写出点P的坐标.
【考点】P7:
作图﹣轴对称变换;KQ:
勾股定理;PA:
轴对称﹣最短路线问题.
【分析】
(1)根据A点坐标建立平面直角坐标系即可;
(2)分别作出各点关于x轴的对称点,再顺次连接即可;
(3)作出点B关于y轴的对称点B2,连接B2交y轴于点P,则P点即为所求.
【解答】解:
(1)如图所示;
(2)如图,即为所求;
(3)作点B关于y轴的对称点B2,连接AB2交y轴于点P,则点P即为所求.
设直线AB2的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵A(﹣4,6),B2(2,2),
∴
,解得
,
∴直线AB2的解析式为:
y=﹣
x+
,
∴当x=0时,y=
,
∴P(0,
).
典例三、线段的垂直平分线
(2017湖北荆州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为( )
A.30°B.45°C.50°D.75°
【考点】KH:
等腰三角形的性质;KG:
线段垂直平分线的性质.
【分析】根据三角形的内角和定理,求出∠C,再根据线段垂直平分线的性质,推得∠A=∠ABD=30°,由外角的性质求出∠BDC的度数,从而得出∠CBD=45°.
【解答】解:
∵AB=AC,∠A=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°,
∵AB的垂直平分线交AC于D,
∴AD=BD,
∴∠A=∠ABD=30°,
∴∠BDC=60°,
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°.
故选B.
典例四、轴对称的综合应用
(2016·四川南充)如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,点P时直线MN上的点,下列判断错误的是( )
A.AM=BMB.AP=BNC.∠MAP=∠MBPD.∠ANM=∠BNM
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴,得到点A与点B对应,根据轴对称的性质即可得到结论.
【解答】解:
∵直线MN是四边形AMBN的对称轴,
∴点A与点B对应,
∴AM=BM,AN=BN,∠ANM=∠BNM,
∵点P时直线MN上的点,
∴∠MAP=∠MBP,
∴A,C,D正确,B错误,
故选B.
【点评】本题考查了轴对称的性质,熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.
【变式训练】
如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG的大小为( )
A.30°B.45°C.60°D.75°
【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4,再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3,进而得出答案.
【解答】解:
如图所示:
由题意可得:
∠1=∠2,AN=MN,∠MGA=90°,
则NG=AM,故AN=NG,
则∠2=∠4,
∵EF∥AB,
∴∠4=∠3,
∴∠1=∠2=∠3=×90°=30°,
∴∠DAG=60°.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质,正确得出∠2=∠4是解题关键.
【能力检测】
1.(2017深圳)观察下列图形,其中既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】R5:
中心对称图形;P3:
轴对称图形.
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.
【解答】解:
A、是中心对称图形,不是轴对称图形,选项不符合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,选项不符合题意;
C、是中心对称图形,不是轴对称图形,选项不符合题意;
D、是中心对称图形,也是轴对称图形,选项符合题意.
故选D.
2.(2017内江)下列图形:
平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形,这些图形中只是轴对称图形的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【考点】P3:
轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解.
【解答】解:
平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形,
矩形既是中心对称图形,也是轴对称图形,
菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,
圆既是中心对称图形,也是轴对称图形,
等腰三角形不是中心对称图形,只是轴对称图形,
所以,只是轴对称图形的有1个.
故选A.
3.(2017日照)剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸作品既不是中心对称图形,也不是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】R5:
中心对称图形;P3:
轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:
A、既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故本选项正确;
B、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项错误;
C、既是中心对称图形,也是轴对称图形,故本选项错误;
D、既是中心对称图形,也是轴对称图形,故本选项错误.
故选A.
4.(2016·山东省菏泽市·3分)以下微信图标不是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解,看图形是不是关于直线对称.
【解答】解:
A、是轴对称图形;
B、是轴对称图形;
C、是轴对称图形;
D、不是轴对称图形.
故选D.
【点评】本题主要考查了轴对称的概念,轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合.
5.(2016·重庆市B卷·4分)下列交通指示标识中,不是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:
A、是轴对称图形,故本选项错误;
B、是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项正确;
D、是轴对称图形,故本选项错误.
故选C.
【点评】本题考查了轴对称图形,掌握中心对称图形与轴对称图形的概念:
轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.
6.(2016·山东省德州市·4分)如图,半径为1的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是
﹣
.
【考点】扇形面积的计算;翻折变换(折叠问题).
【分析】连接OM交AB于点C,连接OA、OB,根据题意OM⊥AB且OC=MC=,继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=
,然后根据S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案.
【解答】解:
如图,连接OM交AB于点C,连接OA、OB,
由题意知,OM⊥AB,且OC=MC=,
在RT△AOC中,∵OA=1,OC=,
∴cos∠AOC=
=,AC=
=
∴∠AOC=60°,AB=2AC=
,
∴∠AOB=2∠AOC=120°,
则S弓形ABM=S扇形OAB﹣S△AOB
=
﹣×
×
=
﹣
,
S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM
=π×12﹣2(
﹣
)
=
﹣
.
故答案为:
﹣
.
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用,解答时运用轴对称的性质求解是关键.
7.(2016·山东省德州市·3分)如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )
A.65°B.60°C.55°D.45°
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC,求得∠DAC=30°,根据三角形的内角和得到∠BAC=95°,即可得到结论.
【解答】解:
由题意可得:
MN是AC的垂直平分线,
则AD=DC,故∠C=∠DAC,
∵∠C=30°,
∴∠DAC=30°,
∵∠B=55°,
∴∠BAC=95°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°,
故选A.
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质,三角形的内角和,正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.
8.如图,正△ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A′BC′关于直线l对称,D为线段BC′上一动点,则AD+CD的最小值是( )
A.4B.3
C.2
D.2+
【考点】轴对称-最短路线问题;等边三角形的性质.
【分析】连接CC′,连接A′C交y轴于点D,连接AD,此时AD+CD的值最小,根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形,根据菱形的性质即可求出A′C的长度,从而得出结论.
【解答】解:
连接CC′,连接A′C交l于点D,连接AD,此时AD+CD的值最小,如图所示.
∵△ABC与△A′BC′为正三角形,且△ABC与△A′BC′关于直线l对称,
∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形,且∠BA′C′=60°,
∴A′C=2×
A′B=2
.
故选C.
9.如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次変换,如果这样连续经过2016次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为 .
【考点】翻折变换(折叠问题);等边三角形的性质;坐标与图形变化-平移.
【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方,然后求出点A纵坐标,再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标,最后写出即可.
【解答】解:
解:
∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2,
∴点C到x轴的距离为1+2×
=
+1,
横坐标为2,
∴A(2,
+1),
第2016次变换后的三角形在x轴上方,
点A的纵坐标为
+1,
横坐标为2-2016×1=-2014,
所以,点A的对应点A′的坐标是(-2014,
+1)
故答案为:
(-2014,
+1).