高考数学代数和几何知识点归纳.docx

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高考数学代数和几何知识点归纳

高考数学代数和几何知识点归纳

1.正整数n有奇数个因子,则n为完全平方数

2.因子个数求解公式:

将整数n分解为质因子乘积形式,然后将每个质因子的幂分别加一相乘.n=a*a*a*b*b*c则因子个数=（3+1）（2+1）（1+1）

eg.200=2*2*2*5*5因子个数=（3+1）（2+1）=12个

3.能被8整除的数后三位的和能被8整除;能被9整除的数各位数的和能被9整除.能被3整除的数,各位的和能被3整除.

4.多边形内角和=（n-2）x180

5.菱形面积=1/2x对角线乘积

6.欧拉公式：

 边数=面数+顶点数-2

8.三角形余玄定理

C2=A2+B2-2ABCOSβ,β为AB两条线间的夹角

9.正弦定理:

A/SinA=B/SinB=C/SinC=2R（A,B,C是各边及所对应的角,R是三角形外接圆的半径）

10.Y=k1X+B1,Y=k2X+B2，两线垂直的条件为K1K2=-1

11.N的阶乘公式:

N!

=1*2*3*....（N-2）*（N-1）*N且规定0!

=11!

=1

Eg:

8!

=1*2*3*4*5*6*7*8

12.熟悉一下根号2、3、5的值

sqrt

（2）=1.414sqrt（3）=1.732sqrt（5）=2.236

13....2/3asmanyAasB:

A=2/3*B

...twiceasmany...AasB:

A=2*B

14.华氏温度与摄氏温度的换算

换算公式:

（F-32）*5/9=C

PS.常用计量单位的换算:

（自己查查牛津大字典的附录吧）

练习题:

1：

还有数列题：

a1=2，a2=6，an=an-1/an-2，求a150.

解答:

an=an-1/an-2,所以an-1=an-2/an-3,带入前式得an=1/an-3,然后再拆一遍得到an=an-6,也就是说,这个数列是以6为周期的,则a150=a144=...=a6,利用a1,a2可以计算出a6=1/3.

如果实在想不到这个方法,可以写几项看看很快就会发现a150=a144,大胆推测该数列是以6为周期得,然后写出a1-a13（也就是写到你能看出来规律）,不难发现a6=a12,a7=a13,然后那,稍微数数,就可以知道a150=a6了,同样计算得1/3.

2：

问摄氏升高30度华氏升高的度数与62比大小.

key:

F=30*9/5=54<62

3：

那道费波拉契数列的题:

已知,a1=1a2=1an=an-1+an-2，问a1,a2,a3,a6四项的平均数和a1,a3,a4,a5四项的平均数大小比较。

解答:

费波契那数列就是第三项是前两项的和,依此类推得到a1-a6为:

1123581321a1+a2+a3+a6=12,a1+a3+a4+a5=11,所以为大于.

4：

满足x^2+y^2<=100的整数对（x,y）有多少？

key:

按照X的可能情况顺序写出:

X=Y=

11-9

21-9

31-9

41-9

51-8

61-8

71-7

81-6

91-4＝>Myanswer:

加起来=69

5：

24，36，90，100四个数中,该数除以它的所有的质因子，最后的结果是质数的是那个：

Key:

90

6:

0.123456789101112….，这个小数无限不循环地把所有整数都列出来.请问小数点后第100位的数字是多少？

Key:

位数

112345678910

101112………………………1920

2021……………………………2920

30………………………………3920

40………………………………4920

50515253545556――――――第101位＝5？

？

7：

2904x=y2（y的平方），x、y都是正整数，求x的最小值。

因为：

X^2×Y^2×Z^2=（X×Y×Z）^2

所以把2904除呀除＝2×2×2×3×11×11＝2^2×11^2×6再乘一个6就OK了

2^2×11^2×6×6＝（2×11×6）^2=132^2

Key：

最小的x＝6

8:

序列An=1/n-1/（n+1）,n>=1,问前100项和.

解答：

An＝1/n-1/（n+1）

An-1=1/（n-1）-1/n

An-2=1/（n-2）-/（n-1）

………………………

………………………

A1＝1－1/2

把左边加起来就是An+An-1+……+A1=1-1/（n+1）...消掉了好多好多项之后的结果

Key:

把n＝100带入得前100项之和为100/101

9:

等腰三角形，腰为6.底边上的高为x,底边为y,问4x2+y2和144谁大

解答:

勾股定理得（y/2）2+x2=62,所以4x2+y2=144

10:

-1

r+r*t*t与-1的关系

Key:

我想的办法只能是尝试:

原式=r（1+t*t）恒小于零

1）r－1，t0则原式－1

2）r－1，t－1则原式－2

3）r0，t0则原式0

例如：

r＝-0.9t=-1/3时,原式=-1,若此时-0.9-1.

11:

有长方形4feet*8feet,长宽各截去x inch,长宽比2：

5， 

解答:

列出方程:

（4*12-x）/（8*12-x）=2/5

=>x=16

概率论部分

1.排列（permutation）:

从N个东东（有区别）中不重复（即取完后不再取）取出M个并作排列,共有几种方法：

P（M,N）=N!

/（N-M）!

例如:

从1-5中取出3个数不重复,问能组成几个三位数？

解答：

P（3,5）=5!

/（5-3）!

=5!

/2!

=5*4*3*2*1/（2*1）=5*4*3=60

也可以这样想从五个数中取出三个放三个固定位置

那么第一个位置可以放五个数中任一一个,所以有5种可能选法，那么第二个位置余下四个数中任一个,....4.....，那么第三个位置……3……

所以总共的排列为5*4*3=60

同理可知如果可以重复选（即取完后可再取）,总共的排列是5*5*5=125

2．组合（combination）:

从N个东东（可以无区别）中不重复（即取完后不再取）取出M个（不作排列,即不管取得次序先后）,共有几种方法

C（M,N）=P（M,N）/P（M,M）=N!

/（M-N）!

/M!

C（3,5）=P（3,5）/P（3,3）=5!

/2!

/3!

=5*4*3/（1*2*3）=10

可以这样理解：

组合与排列的区别就在于取出的M个作不作排列-即M的全排列P（M,M）=M!

，

那末他们之间关系就有先做组合再作M的全排列就得到了排列

所以C（M,N）*P（M,M）=P（M,N）,由此可得组合公式

性质:

C（M,N）=C（（N-M）,N）

即C（3,5）=C（（5-2）,5）=C（2,5）=5!

/3!

/2!

=10

3．概率

概率的定义：

P=满足某个条件的所有可能情况数量/所有可能情况数量

概率的性质：

0<=P<=1

1）不相容事件的概率：

a,b为两两不相容的事件（即发生了a，就不会发生b）

P（a或b）=P（a）+P（b）

P（a且b）=P（a）+P（b）=0（A,B不能同时发生）

2）对立事件的概率:

对立事件就是a+b就是全部情况,所以不是发生a,就是b发生,但是,有一点a,b不能同时发生.例如:

a:

一件事不发生

b:

一件事发生,则A,B是对立事件

显然：

P（一件事发生的概率或一件事不发生的概率）=1（必然事件的概率为1）

则一件事发生的概率=1-一件事不发生的概率...........公式1

理解抽象的概率最好用集合的概念来讲，否则结合具体体好理解写

a,b不是不相容事件（也就是说a,b有公共部分）分别用集合A和集合B来表示

即集合A与集合B有交集，表示为A*B（a发生且b发生）

集合A与集合B的并集，表示为AUB（a发生或b发生）

则:

P（AUB）=P（A）+P（B）-P（A*B）.................公式2

3）条件概率：

考虑的是事件A已发生的条件下事件B发生的概率

定义：

设A，B是两个事件，且P（A）>0,称

P（B|A）=P（A*B）/P（A）....................公式3

为事件A已发生的条件下事件B发生的概率

理解：

就是P（A与B的交集）/P（A集合）

理解:

“事件A已发生的条件下事件B发生的概率”，很明显，说这句话的时候，A，B都发生了，求的是A，B同时发生的情况占A发生时的比例，就是A与B同时发生与A发生的概率比。

4）独立事件与概率

两个事件独立也就是说，A，B的发生与否互不影响，A是A，B是B，用公式表示就是P（A|B）=P（A）所以说两个事件同时发生的概率就是：

P（AUB）＝P（A）×P（B）................公式4

练习题:

1：

A,B独立事件，一个发生的概率是0.6，一个是0.8，问：

两个中发生一个或都发生的概率？

解答：

P＝P（A且!

B）+P（B且!

A）+P（A且B）

=0.6*（1-0.8）+0.8*（1-0.6）+0.6*0.8=0.92

另一个角度,所求概率P=1-P（A,B都不发生）

=1-（1-0.8）*（1-0.6）=0.92

2：

一道概率题：

就是100以内取两个数是6的整倍数的概率.

解答:

100以内的倍数有6,12,18,...96共计16个

所以从中取出两个共有16*15种方法,从1-100中取出两个数的方法有99*100种,所以P=（16*15）/（99*100）=12/505=0.024

3：

1-350inclusive中，在100-299inclusive之间以3,4,5,6,7,8,9结尾的数的概率.

因为100-299中以3,4,5,6,7,8,9结尾的数各有20个,所以

Key:

（2*10*7）/350=0.4

4.在1-350中（inclusive），337-350之间整数占的百分比

Key:

（359-337+1）/350=4%

5.在E发生的情况下，F发生的概率为0.45，问E不发生的情况下，F发生的概率与0.55比大小

解答:

看了原来的答案,我差点要不考G了.无论柳大侠的推理还是那个哥哥的图,都太过分了吧?

其实用全概率公式是很好解决这个问题的,还是先用白话文说一遍吧:

某一个事件A的发生总是在一定的其它条件下如B,C,D发生的,也就是说A的概率其实就是在,B,C,D发生的条件下A发生的概率之和.A在B发生时有一个条件概率,在C发生时有一个条件概率,在D发生时有一个条件概率,如果B,C,D包括了A发生的所有的条件.那么,A的概率不就是这几个条件概率之和么.

P（A）=P（A|B）+P（A|C）+P（A|D）

好了,看看这个题目就明白了.F发生时,E要么发生,要么不发生,OK?

所以,P（F）=P（F|E）+P（F|!

E）感觉上也没错吧?

给了P（F|E）=0.45,所以

P（F|!

E）=P（F）-P（F|E）=P（F）-0.45

如果P（F）=1,那么P（F|!

E）=0.55

如果0.45=

E）<0.55

如果…………，唉，我就不说你什么了…………sigh

统计学部分

1.mode（众数）

一堆数中出现频率最高的一个或几个数

e.g.modeof1,1,1,2,3,0,0,0,5is1and0

2.range（值域）

一堆数中最大和最小数之差,所以统计学上又称之为极差.（两极的差）

e.g.rangeof1,1,2,3,5is5-1=4

3.mean（平均数）

arithmaticmean（算术平均数）:

n个数之和再除以n

geometricmean（几何平均数）:

n个数之积的n次方根

4.median（中数）

将一堆数排序之后，正中间的一个数（奇数个数字），

或者中间两个数的平均数（偶数个数字）

e.g.medianof1,7,4,9,2,2,2,2,2,5,8is2

medianof1,7,4,9,2,5is（5+7）/2=6

5.standarderror（标准偏差）

一堆数中，每个数与平均数的差的绝对值之和，除以这堆数的个数（n）

e.g.standarderrorof0,2,5,7,6is:

（|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|）/5=2.4

6.standardvariation

一堆数中，每个数与平均数之差的平方之和，再除以n

标准方差的公式：

d2=[（a1-a）2+（a2-a）2+....+（an-a）2]/n

e.g.standardvariationof0,2,5,7,6is:

average=4

（（0-4）2+（2-4）2+（5-4）2+（7-4）2+（6-4）2）/5=6.8

7.standarddeviation

就是standardvariation的平方根d

8.thecalculationofquartile（四分位数的计算）

Quartile（四分位数）：

第0个Quartile实际为通常所说的最小值（MINimum）；

第1个Quartile（En：

1stQuartile）；

第2个Quartile实际为通常所说的中分位数（中数、二分位分、中位数：

Median）；第3个Quartile（En：

3rdQuartile）；

第4个Quartile实际为通常所说的最大值（MAXimum）；

我想大家除了对1st、3rdQuartile不了解外，对其他几个统计值的求法都是比较熟悉的了，而求1st、3rd是比较麻烦的。

下面以求1rd为例：

设样本数为n（即共有n个数），可以按下列步骤求1stQuartile：

1．n个数从小到大排列，求（n-1）/4，设商为i，余数为j

2．则可求得1stQuartile为：

（第i+1个数）*（4-j）/4+（第i+2个数）*j/4

例（已经排过序啦！

）：

1）.设序列为{5}，只有一个样本则：

（1-1）/4商0，余数0

1st=第1个数*4/4+第2个数*0/4=5

2）.设序列为{1,4}，有两个样本则：

（2-1）/4商0，余数1

1st=第1个数*3/4+第2个数*1/4=1.75

3）.设序列为{1,5,7}，有三个样本则：

（3-1）/4商0，余数2

1st=第1个数*2/4+第2个数*2/4=3

4）.设序列为{1,3,6,10}，四个样本：

（4-1）/4商0，余数2

1st=第1个数*1/4+第2个数*3/4=2.5

5）.其他类推！

因为3rd与1rd的位置对称，这是可以将序列从大到小排（即倒过来排），再用1rd的公式即可求得：

例（各序列同上各列，只是逆排）：

1.序列{5}，3rd=5

2.{4,1}，3rd=4*3/4+1*1/4=3.25

3.{7,5,1}，3rd=7*2/4+5*2/4=6

4.{10,6,3,1}，3rd=10*1/4+6*3/4=7

9．ThecalculationofPercentile

设一个序列供有n个数，要求（k%）的Percentile：

（1）从小到大排序，求（n-1）*k%，记整数部分为i，小数部分为j

可以如此记忆：

n个数中间有n-1个间隔，n-1/4就是处于前四分之一处，

（2）所求结果＝（1－j）*第（i＋1）个数＋j*第（i+2）个数

特别注意以下两种最可能考的情况：

（1）j为0，即（n-1）*k%恰为整数，则结果恰为第（i+1）个数

（2）第（i+1）个数与第（i+2）个数相等，不用算也知道正是这两个数.

注意：

前面提到的Quartile也可用这种方法计算，

其中1stQuartile的k%=25%

2ndQuartile的k%=50%

3rdQuartile的k%=75%

计算结果一样.

例：

（注意一定要先从小到大排序的，这里已经排过序啦！

）

｛1，3，4，5，6，7，8，9，19，29，39，49，59，69，79，80｝

共16个样本要求:

percentile＝30%：

则

（16-1）*30%=4.5=4+0.5i＝4，j＝0.5

（1-0.5）*第5个数＋0.5*第6个数=0.5*6+0.5*7=6.5

10.TofindmedianusingStem-and-Leaf（茎叶法计算中位数）

Stem-and-Leafmethod其实并不是很适用于GRE考试,除非有大量数据时可以用这种方法比较迅速的将数据有序化.一般GRE给出的数据在10个左右,茎叶法有点大材小用.

Stem-and-Leaf其实就是一种分级将数据分类的方法.Stem就是大的划分,如可以划分为1～10，11～20，21～30…，而Leaf就是把划分到Stem一类中的数据再排一下序。

看了例子就明白了。

ExampleforStem-and-Leafmethod:

Data：

23，51，1，24，18，2，2，27，59，4，12，23，15，20

0|1224

1|121518

2|2023232427

5|5159

Stem（unit）=10

Leaf（unit）=1

分析如下：

最左边的一竖行0,1,2,5叫做Stem,而右边剩下的就是Leaf（leaves）.上面的Stem-and-Leaf共包含了14个data,根据Stem及leaf的unit,分别是：

1,2,2,4（firstrow）,12,15,18（secondrow）,20,23,23,24,27（thirdrow）,51,59（lastrow）.StemandLeaf其实就是把各个unit，比如个位，十位等归类了而已，一般是从小到大有序排列，所以在找Stem-andLeaf找median的时候，一般不需要你自己把所有的数写出来从新排序.所以只要找到中间的那个数（如果data个数是偶，则取中间两数的平均数）,就是median了.这道题的median是18和20的平均值=19.大家在碰到这种题的时候都可以用上面的方法做，只要注意unit也就是分类的数量级就行了.

为什么用Stem-and-Leaf方法？

可能你觉得这样做太麻烦了，其实Stem-and-Leaf方法好处就是：

你不必从一大堆数里去按大小挑数了，按照data给出的顺序填到表里就可以了。

但是，GRE考试这样做是否值自己斟酌。

我的方法，不就是找十来个数么？

排序！

在先浏一眼数据看看大致范围，然后在答题纸上按个的写，觉得小的写前面，大的写后面，写了几个数之后，就是把剩下的数儿们，一个个的插到已写的数中间么！

注意尽可能的把数之间的距离留大一些，否则，如果某些数比较密集，呵呵，你会死的很惨的。

11．Tofindthemedianofdatagivenbypercentage（按比例求中位数）

给了不同年龄range,和各个range的percentage,问median落在哪个range里.把percentage加到50%就是median的range了.担小心一点，range首先要保证是有序排列.

Exampleforthis:

Given:

10～20=20%,30～50=30%,0～10=40%,20～30=10%,问median在哪个range里.

分析：

千万不要上来就加，要先排序，切记！

！

重新排序为：

0～10=40%,10～20=20%,20～30=10%,30～50=40%.然后从小开始加，median（50％）落在10～20这个range里.

如果觉得比较玄乎，我的方法，GRE大部分的题都可以这么搞。

0～10岁40匹ETS猪，10～20岁20匹ETS猪，20～30岁匹ETS猪，30～50岁匹ETS猪，这100匹ETS猪按着年龄排下来，你说第五十匹ETS猪的年龄落在那个范围。

（原题:

说一堆人0-10岁占10%,11-20岁占12%,21-30岁占23%,31-40岁占20%,〉40岁占35%,问median在什么范围?

）

12：

比较,当n<1时，n，1，2和1，2,3的标准方差谁大

standarderror和standardvariation（作用=standarddeviation）都是用来衡量一组数据的离散程度的统计数值,只不过由于standarderror中涉及绝对值,在数学上是很难处里的所以,都用标准方差,实际上standarderror更合理一些,它代表了数据和平均值的平均距离.很明显题目中如果n=0的话,0,1,2的离散程度应该和1,2,3的离散程度相同.如果n<0,则n,1,2,的离散程度大于后者,而0

Key:

n是整数，前〉=后（n=0,等；n=-1,-2,……大于）

13.算数平均值和加权平均值

三组数据的频数分布FREQUENCYDISTRIBUTION：

1（6），2（4），3

（1），4（4），5（6）

1

（1），2（4），3（6），4（4），5

（1）

1

（1），2

（2），3（3），4（4），5（5）

其中括号里的是出现的频率，问MEAN和AVERAGE相等的有那些.

答案：

只有第二个.

mean-arithmeticmean算术平均值（1+2+3+4+5）/5=3

average-weightedaverage加权平均值:

（1*1+2*4+...5*1）/（1+4+6+4+1）=48/16=3

14.正态分布题.

一列数从0到28，给出正态分布曲线.75%的percentile是20，85%的percentile是r,95%的percentile是26,问r与23的大小.

Key:

r<23

下面是来自柳大侠的七种武器中的正态分布

15．正态分布

高斯分布（Gaussian）（正态分布）的概率密度函数为一钟型曲线，即

a为均值，

为标准方差，曲线关于x=a的虚线对称，

决定了曲线的“胖瘦”，形状为：

图1

高斯型随机变量的概率分布函数，是将其密度函数取积分，即

（★）

表示随机变量A的取值小于等于x的概率。

比如A的取值小于等于均值a的概率是50%。

曲线为

图2

如果前面看得有些头大也没有关系，结合具体题目就很容易理解了

1）一道正态分布：

95%〈26，75%〈20，85%〈r,问r与23的大小，答小于

解：

由图2，正态分布的分布函数F（x）在其期望a的右方曲线是向上凸的，此时

F（20）=75%，F（r）=85%，F（26）=95%，

如果把曲线的片段放大就比较清楚了。

O为AB的中点。

A（20,75%）

B（26,95%）

O（23,85%）

C（r,8