181平行四边形.docx

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181平行四边形

第十八章平行四边形

本章概述

本章分为平行四边形、特殊的平行四边形两节．是在平行线、三角形和四边形的基础上进一步研究平行四边形；并通过平行四边形角、边的特殊化，研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形；探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，进一步明确命题及其逆命题的关系，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力．

第18.1节主要是研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理；在平行四边形概念和性质定理的基础上，介绍两条平行线之间距离的概念；作为性质定理和判定定理的应用，探索并证明三角形中位线定理．

第18.2节首先研究特殊的平行四边形——矩形和菱形，在此基础上，进一步研究它们的特殊情况，即同时具有两个特殊条件的平行四边形——正方形，它是有一个角是直角的特殊菱形，又是有一组邻边相等的特殊矩形，所以正方形具有各种四边形所具有的性质．最后给出了正方形的概念，并让学生自己研究它的性质和判定方法．

教学目标

1．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系．

2．探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算．

3．了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离．

4．探索并证明三角形中位线定理．

5．通过经历平行四边形以及特殊平行四边形性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养学生的合情推理能力．

6．通过平行四边形以及特殊平行四边形的性质定理、判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力．

7．通过分析平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间的联系与区别，使学生进一步认识特殊与一般的关系．

课时安排

本章教学时间约需15课时，具体安排如下：

18.1平行四边形7课时

18.2特殊的平行四边形6课时

数学活动

小结2课时

18.1平行四边形

第1课时

教学内容

平行四边形的性质．

教学目标

1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．

2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．

3.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．

教学重点

平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．

教学难点

运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

教学过程

一、导入新课

问题：

平行四边形是常见的图形．观察下列图片，你能找出平行四边形的形象吗？

你还能举出其他例子吗？

设计目的：

通过图片，让学生感受生活中存在大量平行四边形的原型，进而从实际背景中抽象出平行四边形，让学生经历将实物抽象为图形的过程．

过渡：

那么，什么是平行四边形呢？

二、新课教学

教师引导学生回顾以前的知识，给出定义．

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用“□”表示，如图，平行四边形ABCD记作“□ABCD”．

注意：

教师在教学时要结合图形，让学生认识清楚什么是四边形的对边？

三角形中有没有对边的概念？

四边形中不相邻的边叫做对边；三角形中没有对边的概念，只有角所对的边．

过渡：

对于平行四边形，从定义出发，你能得出它的性质吗？

探究：

根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？

它的角之间有什么关系？

度量一下，和你的猜想一致吗？

猜想1：

两组对边分别相等．

猜想2：

∠A＝∠C，∠B＝∠D．

教师引导学生证明猜想，体会证明思路的分析方法和把四边形问题转化成三角形问题的基本想法．

分析：

上述猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明．

作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．

证明：

如右图，连接AC．

∵AD∥BC，AB∥CD，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

又AC是△ABC和△CDA的公共边，

∴△ABC≌△CDA．

∴AD＝CB，AB＝CD，

∠B＝∠D．

同理可以证明∠BAD＝∠DCB．

平行四边形具有以下性质：

平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．

三、实例探究

例如下图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证AE＝CF．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AD＝CB．

又∠AED＝∠CFB＝90°，

∴△ADE≌△CBF．

∴AE＝CF.

四、课堂小结

你学习了什么，还有那些问题？

五、布置作业

1.教材第43页练习第1题．

2.习题18.1第1、2题．

第2课时

教学内容

平行四边形的性质．

教学目标

1.掌握两条平行线之间的距离．

2.能运用平行四边形的性质解决有关平行四边形的计算问题．

教学重点

平行四边形性质的灵活应用．

教学难点

平行四边形性质的灵活应用．

教学过程

一、导入新课

什么叫做四边形？

什么叫平行四边形？

平行四边形的对边和对角有什么性质？

通过复习导入新课的教学．

二、新课教学

我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们介绍两条平行线之间的距离．

如下图，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB＝CD．也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．

由此，我们可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，从而得出概念：

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离．

问题：

两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线之间的距离有什么联系和区别呢？

学生思考、师生共同归纳：

点与点之间的距离是定义到点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础．它们本质上是点与点之间的距离．

三、实例探究

例已知：

如下图，四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD＝∠BAF，

（1）证明△CEF是等腰三角形；

（2）若CE＝8，求四边形ABCD的周长．

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

　　∴AB∥EC，∠E＝∠FAB．

又∵AD//BC，

∴∠F＝∠EAD．

　　∵∠EAD＝∠BAF（已知），

　　∴∠E＝∠F，

　　△CEF是等腰三角形．

（2）∵∠E＝∠F＝∠EAD，

　　∴AD＝ED．

　　∵CE＝8，

　　∴AD+DC＝8，

　　C□ABCD＝2×8＝16．

四、课堂小结

任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度．

五、布置作业

教材第43页练习第2题．

第3课时

教学内容

平行四边形的性质．

教学目标

1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质．

2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题．

3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．

教学重点

平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．

教学难点

综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．

教学过程

一、导入新课

1．什么叫平行四边形？

我们已经学习了它的哪些性质？

2．什么叫做两条平行线间的距离？

它有什么性质？

过渡：

在证明“平行四边形对角相等”这一性质时，是通过连结一条对角线，把它分成两个全等三角形来证明的．如果把平行四边形的两条对角两条对角线都连结起来，那么这两条对角线之间又有什么关系呢？

下面来研究这个问题．

二、新课教学

上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质，下面我们研究平行四边形对角线的性质.

1.平行四边形的性质3：

平行四边形的对角线互相平分．

探究：

如下图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？

你能证明发现的结论吗？

教师先引导学生观察图形，获得对角线互相平分的感性认识，然后引导学生写出已知、求证和证明．

我们猜想，在□ABCD中，OA＝OC，OB＝OD．

与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似，我们也可以通过三角形全等证明这个猜想．请你结合下图完成证明．

由此我们又得到平行四边形的一个性质：

平行四边形的对角线互相平分．

2.平行四边形性质，定理的综合应用

同学们已经掌握了平行四边形的边、角、对角线的性质，这是解决平行四边形有关问题的基础，灵活应用则是关键．

例如下图，在□ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及□ABCD的面积．

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10．

∵AC⊥BC，

∴△ABC是直角三角形．

根据勾股定理，

又OA＝OC，

∴OA＝

AC＝3，

S□ABCD＝BC·AC＝8×6＝48.

三、课堂小结

1.性质定理及其他新知识的灵活应用，防止思维定势，方法僵化．

2.引导学生列表总结平行四边形的性质．

四、布置作业

习题18.1第7、8题．

第4课时

教学内容

平行四边形的判定．

教学目标

1.掌握平行四边形的判定定理，并会用它们进行有关的论证和计算．

2.使学生理解判定定理与性质定理的区别与联系．

3.会根据简单的条件画出平行四边形，并说明画图的依据是哪条定理．

4.使学生逐步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．

5.通过分析有关平行四边形的性质和判定定理之间的联系和区别．

教学重点

平行四边形的判定定理1、2、3的应用．

教学难点

判定定理和性质定理的区别．

教学过程

一、导入新课

复习平行四边形的性质，导入新课的教学．

二、新课教学

思考：

通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分．反过来，交换原命题的条件和结论，把原命题变成它的逆命题．即：

对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？

请学生根据自己的猜想填写下表：

平行四边形的性质

平行四边形的判定

平行四边形的对边相等

猜想1：

平行四边形的对角相等

猜想2：

平行四边形的对角线互相平分

猜想3：

学生思考、讨论，填写表格．

学生完成表格后，教师进一步提出问题：

原命题正确，逆命题一定正确吗？

通过问题，引导学生证明自己的猜想．

可以证明，这些逆命题都成立．这样我们得到平行四边形的判定定理：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明．

如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．求证：

四边形ABCD是平行四边形．

证明：

∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，

∴△AOD≌△COB．

∴∠OAD＝∠OCB．

∴AD∥BC．

同理　AB∥DC．

∴四边形ABCD是平行四边形．

小结：

通过推理论证的真命题可以成为定理，我们把上述三个结论称为平行四边形的判定定理，加上平行四边形的定义，我们有四种判定平行四边形的方法．

三、实例探究

例如下图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE＝CF．求证：

四边形BFDE是平行四边形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO，BO＝DO．

∵AE＝CF，

∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO．

又BO＝DO，

∴四边形BFDE是平行四边形．

四、课堂小结

今天学习了什么？

还有什么问题？

五、布置作业

习题18.1第4、5题．

第5课时

教学内容

平行四边形的判定．

教学目标

1.掌握平行四边形的判定定理4，并能与性质定理、定义综合应用．

2.进一步使学生理解判定定理与性质定理的区别与联系．

3.通过教学，使学生逐步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，进一步提高学生分析问题，解决问题的能力．

教学重点

平行四边形的判定定理4的应用．

教学难点

判定定理和性质定理的综合应用．

教学过程

一、导入新课

复习平行四边形的三个判定定理．

过渡：

我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？

二、新课教学

我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？

我们猜想这个结论正确，下面进行证明．

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：

四边形ABCD是平行四边形．

证明：

连接AC．

∵AB∥CD，

∴∠1＝∠2．

又AB＝CD，AC＝CA，

∴△ABC≌△CDA．

∴BC＝DA．

∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形．

于是我们又得到平行四边形的一个判定定理：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

三、实例探究

例1如下图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：

四边形ABCD是平行四边形．

分析：

根据平行四边形的判定定理4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．可以证明．（证明过程见教材第47页）

四、课堂小结

今天学习了什么？

还有什么问题？

五、布置作业

习题18.1第6题．

第6课时

教学内容

平行四边形的判定．

教学目标

1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．

2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．

3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．

4.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．

教学重点

掌握和运用三角形中位线的性质．

教学难点

三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．

教学过程

一、导入新课

问题：

平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？

平行四边形性质与判定的用途有哪些？

答：

平行四边形知识的运用包括三个方面：

一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．

二、新课教学

前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题．下面我们利用平行四边形研究三角形的有关问题．

1.三角形的中位线

如下图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

探究：

观察上图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？

度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？

2.三角形的中位线定理

如下图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：

DE∥BC，且DE＝

BC．

分析：

本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．将DE延长一倍后，可以将证明DE＝

BC转化为证明延长后的线段与BC相等．又由于E是AC的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．（证明过程见教材第48页）

三角形的中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．

三、课堂练习

如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于O，则图中全等三角形有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

分析：

由平行四边形的对边平行、对角线互相平分，可得全等三角形有：

△ABD和△CDB，△ADC和△CBA，△AOD和△COB、△AOB和△COD．

答案：

C．

四、布置作业

习题18.1第11题．

第7课时

教学内容

平行四边形判定定理、三角形中位线定理的应用．

教学目标

能运用平行四边形判定定理、三角形中位线定理进行证明和计算．

教学重点

平行四边形判定定理、三角形中位线定理的应用．

教学难点

平行四边形判定定理、三角形中位线定理的应用．

教学过程

一、导入新课

复习平行四边形判定定理、三角形中位线定理，从而导入新课的教学．

二、新课教学

例1已知：

如图，E，F分别为□ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，DF分别交CF，AE于H，G.

求证：

EG＝FH.

证明：

∵AE∥CF，AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形.

∴AF＝CE．

∵AB＝CD，

∴BF＝DE．

∵BF∥DE，

∴四边形BFDE是平行四边形.

∴DF∥BE.

∵AE∥CF，

∴四边形GFHE是平行四边形.

∴EG＝FH.

说明：

本题考查平行四边形的判定定理，解题关键是设法证四边形GFHE是平行四边形.

例2如图，已知：

四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE＝CF，∠BAC＝∠DCA.

求证：

四边形ABCD是平行四边形.

证法1：

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，

∴∠1＝∠2．

∵∠BAC＝∠DCA，

∴∠BAE＝∠DCF．

在Rt△AEB和Rt△CFD中，

∵∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF，∠BAE＝∠DCF，

∴△AEB≌△CFD，

∴AB＝CD．

∵∠BAC＝∠DCA，

∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

证法2：

设AC与BD交点为O.

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AE∥CF，

∴∠1＝∠2．

在△AOE和△COF中，

∵∠1＝∠2，AE＝CF，∠AEO＝∠CFO＝90°，

∴△AEO≌△CFO，

∴AO＝CO，OE＝OF．

在△ABE和△CDF中，

∵∠BAE＝∠DCF，AE＝CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，

∴△ABE≌△CDF，

∴BE＝DF，BE＋OE＝DF＋OF，

即BO＝DO．

∵AO＝CO，

∴四边形ABCD是平行四边形．

说明：

由垂直得到平行是关键．

三、课堂练习

1.下列条件，能判断四边形是平行四边形的是（）

A．一组对角相等，一组对边相等

B．对角线互相垂直且相等．

C．一组对边平行，另一组对边相等．

D．四边形中任意相邻两角互补．

分析：

A答案无法证明结论；B答案不能证得对角线互相平分；C答案可举等腰梯形反例；D答案可证得两组对边分别平行，符合定义．

答案：

D．

说明：

判断一个命题是否正确，可采用反例法，即举出一个符合题设但不符合结论的例子．判断一个四边形是否是平行四边形，一定要得到四个条件中的一个．

2.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行的四边形吗？

为什么？

参考答案：

不一定是平行四边形．

如下图，△ADC≌△DAE，AB＝AC＝DE，则在四边形ABDE中有AB＝DE，∠B＝∠E，但四边形ABDE显然不是平行四边形.

四、布置作业

习题18.1第12、13题．