学年高中物理机械振动第2节振动的描述教学案鲁科版.docx
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学年高中物理机械振动第2节振动的描述教学案鲁科版
第2节振动的描述
1．振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅描述了振动的范围和强弱，用A表示。
2．周期和频率都是描述物体振动快慢的物理量，周期和频率互为倒数。
3．简谐运动的图像是一条正弦（余弦）曲线，直观的反映了简谐运动的位移随时间的变化规律，可表示出振幅和周期。
4．简谐运动的表达式为x＝Asinωt，其中A代表振幅，ω是圆频率。
振动特征的描述
[自读教材·抓基础]
1．振幅（A）
（1）定义：
振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示。
（2）物理意义：
表示振动幅度大小或振动强弱的物理量，是标量。
2．全振动
物体从某一初始状态开始到第一次回到这一状态的过程。
3．周期（T）和频率（f）
（1）周期（T）：
振动物体完成一次全振动经历的时间。
（2）频率（f）：
振动物体在1s内完成全振动的次数。
（3）固有周期（或固有频率）：
物体在自由状态下的振动周期（或频率），是物体本身的属性，与物体是否振动无关。
（4）物理意义：
周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示物体振动越快。
（5）周期与频率的关系：
T＝
（用公式表示）。
[跟随名师·解疑难]
1．全振动的五个特征
（1）振动特征：
一个完整的振动过程。
（2）物理量特征：
位移（x）、加速度（a）、速度（v）三者第一次同时与初始状态相同。
（3）时间特征：
历时一个周期。
（4）路程特征：
振幅的4倍。
（5）相位特征：
增加2π（相位马上学到）。
2．简谐运动中振幅和几个常见量的关系
（1）振幅和振动系统的能量关系：
对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大。
（2）振幅与位移的关系：
振动中的位移是矢量，振幅是标量，在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。
（3）振幅与路程的关系：
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。
其中常用的定量关系是：
①一个周期内的路程为4倍的振幅；
②半个周期内的路程为2倍的振幅；
③若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，
周期内的路程等于振幅；
④若从一般位置开始计时，
周期内路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅。
[特别提醒] 连续两次通过同一位置不一定完成一次全振动，必须是以相同的速度连续两次通过同一位置。
[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（小试身手）
如图1 2 1所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，
＝
＝5cm，若振子从B到C的运动时间是1s，则下列说法正确的是（ ）
图1 2 1
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1s，振幅是10cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20cm
D．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm
解析：
选D 振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1s＝2s，振幅A＝BO＝5cm，选项A、B错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20cm，所以两次全振动中通过的路程为40cm,3s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30cm，故C错误，D正确。
简谐运动的图像描述
[自读教材·抓基础]
1．坐标系的建立
以横轴表示做简谐运动的物体运动的时间t，纵轴表示做简谐
运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x。
2．图像的特点
一条正弦（或余弦）曲线，如图1 2 2所示。
图1 2 2
3．图像意义
表示做简谐运动的物体在任意时刻相对于平衡位置的位移。
[跟随名师·解疑难]
由xt图像可识别哪些物理量？
（1）由图像可以直接读取振幅A和周期T，可以求出频率f。
图1 2 3
（2）比较质点任意时刻的位移大小和方向。
图1 2 3中，t1时刻质点的位移比t2时刻质点的位移大，t1时刻位移方向为正，t2时刻位移方向为负。
（3）比较质点任意时刻的加速度（回复力）大小和方向。
由于加速度（回复力）大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以图1 2 3中t1时刻质点的加速度（回复力）比t2时刻质点的加速度（回复力）大，t1时刻加速度方向为负，t2时刻加速度（回复力）方向为正。
（4）比较质点任意时刻的速度大小和方向。
xt图像的斜率表示该时刻的速度，斜率的绝对值为速度的大小，斜率的正负为速度的方向，所以图1 2 3中t1时刻质点的速度比t2时刻质点的速度小，t1时刻速度方向为负，t2时刻速度方向也为负。
（5）判断任意时间内质点的位移、加速度（回复力）、速度的变化情况。
图1 2 3中t1～t2时间内位移减小时，则靠近平衡位置，加速度（回复力）减小，速度增加；位移增加时，则远离平衡位置，加速度（回复力）增加，速度减小。
[特别提醒]
（1）简谐运动的图像不是振动质点的轨迹。
做简谐运动质点的轨迹是质点（如弹簧振子）往复运动的那一段线段。
（2）位移图像是以x轴上纵坐标的数值表示质点相对平衡位置的位移，以t轴上横坐标的数值表示各个时刻，这样在xt坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图像。
[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（小试身手）
如图1 2 4所示为质点的振动图像，下列判断中正确的是（ ）
图1 2 4
A．质点振动周期是8s
B．振幅是±2cm
C．4s末质点的速度为正，加速度为零
D．10s末质点的加速度为正，速度为零
解析：
选A 由题图可知，T＝8s，A＝2cm，A正确，B错误；4s末质点在平衡位置，速度沿－x方向，加速度为零，C错误；10s末同2s末，质点正处在正方最大位移处，其速度为零，加速度方向为负，D错误。
简谐运动的公式表达
[自读教材·抓基础]
1．简谐运动的公式
x＝Asin_ωt＝Asin
t。
2．说明
（1）x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示振动时间。
（2）A表示简谐运动的振幅，T表示简谐运动的周期。
（3）ω叫做简谐运动的角速度，或称为简谐运动的圆频率，表示简谐运动的快慢，ω＝
＝2πf。
[跟随名师·解疑难]
简谐运动位移表达式的推导与理解
（1）如图1 2 5所示，设质点P以原点O为圆心，以简谐运动的振幅A为半径，在圆周上以角速度ω做匀速圆周运动。
图1 2 5
当t＝0时，它的投影在O点，在任一时刻t，质点到了P′点，它的投影a的位移为x＝Asinωt。
（2）如果t＝0时质点P的投影不在O点，表达式相应的要写成x＝Asin（ωt＋φ），其中ωt＋φ表示相位，描述质点的振动步调，相位每增加2π，意味着质点又完成了一次全振动。
（3）t＝0时的相位，即φ叫做初相位，描述t＝0时振动质点的状态。
而x＝Asinωt就是初相位等于0的简谐运动，即从振动质点位于平衡位置且具有正向速度时开始计时。
（4）相位差：
即某一时刻两个简谐运动的相位之差，Δφ＝（ω2t＋φ2）－（ω1t＋φ1），如果ω1＝ω2，则Δφ＝φ2－φ1。
[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（小试身手）
一个做简谐运动的物体，其位移随时间的变化规律为x＝5sin（5πt）cm，由此可知，该物体的振幅为________，周期为________，t＝0时刻它的位移是________，运动方向为________。
解析：
由x＝5sin（5πt）cm可知振幅A＝5cm，圆频率ω＝5πrad/s，所以周期T＝
＝0.4s；当t＝0时，位移x＝0，其运动方向由平衡位置向最大位移处运动，方向为正方向。
答案：
5cm 0.4s 0 正方向
对xt图像的考查
[典题例析]
1．如图1 2 6所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题。
（1）振幅、周期各是多大？
图1 2 6
（2）在1.5s和2.5s两个时刻，质点向哪个方向运动？
（3）质点在第2s末的位移是多少？
在前4s内的路程是多少？
（4）写出这个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
[思路点拨] 在分析此类问题时，要理解好图像与振动物体的实际振动过程的对应。
解析：
由题图上的信息，结合质点的振动过程可以得出：
（1）质点离开平衡位置的最大位移x＝10cm，所以振幅A＝10cm；质点完成一次全振动的时间为4s，则周期T＝4s。
（2）在1.5s以后的时间质点位移减少，因此是向平衡位置运动，在2.5s以后的时间位移增大，因此是背离平衡位置运动。
（3）质点在2s时在平衡位置，因此位移为零。
质点在前4s内完成一个周期性运动，其路程10cm×4＝40cm。
（4）因为A＝10cm，T＝4s，ω＝
＝
，φ0＝0，所以简谐运动的表达式x＝10sin
tcm。
答案：
（1）10cm 4s
（2）负方向 负方向
（3）0 40cm
（4）x＝10sin
tcm
[探规寻律]
根据物体简谐运动的实际运动情况，画出振动图像时要注意三点：
起点、振幅和周期。
简谐运动的周期性，体现在振动图像上是曲线的重复性；其中起点（即初相）很重要，不仅要注意起点的位移，还要注意到该时刻振子的振动方向。
[跟踪演练]
一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图线如图1 2 7所示，由图可知（ ）
图1 2 7
A．质点振动频率是4Hz
B．t＝2s时，质点的加速度最大
C．质点的振幅为4cm
D．t＝3s时，质点所受的合外力最大
解析：
选B 由图可知质点的振幅为2cm，质点振动的周期是4s，频率是0.25Hz，A、C错误；t＝2s时，质点离开平衡位置的距离最大，质点的位移最大，回复力最大，加速度最大，B正确；t＝3s时，质点的位移为零，所受的回复力为零，合外力不能确定，D错误。
简谐运动中位移与路程的计算
[典题例析]
2．一弹簧振子的振幅是2cm，振子完成一次全振动通过的路程是多少？
如果频率是5Hz，振子每秒钟通过的路程是多少？
解析：
振子完成一次全振动通过4个振幅，所以一次全振动的路程为s＝4A＝4×2cm＝8cm
如果频率为5Hz，则振子1s内完成全振动的次数n＝5
所以振子1s内通过的路程
s总＝n·4A＝5×4×2cm＝40cm
答案：
8cm 40cm
[探规寻律]
求振动物体在一段时间内通过路程的依据是：
（1）振动物体在一个周期内的路程一定为4倍振幅，则在n个周期内路程必为n·4A；
（2）振动物体在半个周期内的路程一定为2倍振幅；
（3）振动物体在T/4内的路程可能等于一个振幅，可能小于一个振幅，还可能大于一个振幅。
只有当T/4的初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，T/4内的路程才等于一个振幅。
[跟踪演练]
一物体做简谐运动，下列说法正确的是（ ）
A．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅
B．物体在
周期内，通过的路程是1个振幅
C．物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅
D．物体在
周期内，通过的路程是3个振幅
解析：
选C 由于物体在振动中速度大小时刻变化，所以路程并不和时间成正比，例如：
从平衡位置与最大位移处中间的某点开始向最大位移处运动时，经
周期的时间物体运动的路程小于1个振幅，选项B、D错误。
物体完成一次全振动还回到原位置，所以通过的位移为零（注意与物体所在位置的位移不同），选项A错误。
物体在一个周期内完成一次全振动，所以通过的路程为4个振幅，选项C正确。
[课堂双基落实]
1.如图1 2 8所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则（ ）
图1 2 8
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．从D→C→O→B→O为一次全振动
解析：
选C 从全振动的意义上解答本题。
即物体完成一次全振动时，一定回到了初始位置，且以相同的速度回到初始位置，可判断选项A、B、D所对应的过程尚未回到初始位置，不是全振动。
只有选项C正确。
2．下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是（ ）
A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率与振幅有关
解析：
选B 振幅A是标量，选项A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，选项B正确；简谐运动的周期与振幅没有关系，这个周期的长短由系统本身决定，这就是固有周期，所以选项C、D错误。
3.如图1 2 9所示为质点P在0～4s内的运动图像，下列叙述正确的是（ ）
图1 2 9
A．再过1s，该质点的位移是正的最大
B．再过1s，该质点的速度沿正方向
C．再过1s，该质点的加速度沿正方向
D．再过1s，该质点加速度为零
解析：
选A 振动图像描述质点在各个时刻离开平衡位置的位移的情况。
依题意，再经过1s，振动图像将延伸到x正方向最大处，这时质点的位移为正的最大，故A对；因为回复力与位移成正比且方向与位移方向相反，所以此时回复力最大且方向为负向，故质点的加速度最大且方向为负向。
此时质点的速度为零，无方向可谈，故B、C、D错误。
4．一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图1 2 10（a）所示，它的振动图像如图（b）所示，设向右为正方向，则OB＝________cm，第0.2s末质点的速度方向为________，加速度大小为________；第0.4s末质点加速度方向为________；第0.7s时，质点位置在________区间，质点从O运动到B再到A需时间t＝________s，在4s内完成________次全振动。
图1 2 10
解析：
由图像知A＝5cm，T＝0.8s，所以OB＝5cm。
t＝0.2s时在平衡位置向A运动，加速度为零；t＝0.4s时在负最大位移处，加速度为正；t＝0.7s时，位移为正，在OB间向B运动，质点从O→B→A用时
，即0.6s,4s内完成5次全振动。
答案：
5 负方向 0 正方向 OB 0.6 5
[课下综合检测]
（时间：
30分钟 满分：
50分）
一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分，每小题只有一个选项正确。
）
1．若做简谐运动的弹簧振子从平衡位置到最大位移处所需最短时间是0.1s，则（ ）
A．振动周期是0.2s B．振动周期是0.1s
C．振动频率是0.4HzD．振动频率是2.5Hz
解析：
选D 从平衡位置到最大位移处的最短时间恰好是四分之一周期，所以周期为0.4s，频率f＝
＝2.5Hz，D正确。
2．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为（ ）
A．1∶1 1∶1B．1∶1 1∶2
C．1∶4 1∶4D．1∶2 1∶2
解析：
选B 弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2；而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1。
3．（北京高考）一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点。
从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度。
能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是图1中的（ ）
图1
解析：
选A 由简谐运动中加速度与位移的关系a＝－
x可知，在T/4时刻，加速度正向最大，则位移负向最大，故选项A正确。
4．如图2所示为某质点做简谐运动的图像，若t＝0时，质点正经过O点向b点运动，则下列说法正确的是（ ）
图2
A．质点在0.7s时，正在背离平衡位置运动
B．质点在1.5s时的位移最大
C．1.2～1.4s时间内，质点的位移在减小
D．1.6～1.8s时间内，质点的位移在增大
解析：
选B 由于位移是由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7s时的位移方向向右，且正在向平衡位置运动，选项A错误；质点在1.5s时的位移达到最大，选项B正确；1.2～1.4s时间内，质点正在背离平衡位置运动，所以其位移在增大，选项C错误；1.6～1.8s时间内，质点正在向平衡位置运动，所以其位移在减小，选项D错误。
5．（浙江高考）一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。
可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20cm，周期为3.0s。
当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。
地面与甲板的高度差不超过10cm时，游客能舒服地登船。
在一个周期内，游客能舒服登船的时间是（ ）
A．0.5sB．0.75s
C．1.0sD．1.5s
解析：
选C 由于振幅A为20cm，振动方程为y＝Asinωt（从游船位于平衡位置时开始计时，ω＝
），由于高度差不超过10cm时，游客能舒服登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t1＝
，t2＝
，所以在一个周期内能舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝
＝1.0s，选项C正确。
6．一质点做简谐运动，其运动图像如图3所示。
那么在
－Δt和
＋Δt两个时刻，质点的（ ）
图3
A．速度相同
B．加速度相同
C．相对平衡位置的位移相同
D．回复力相同
解析：
选A 由图像知，
时刻质点在平衡位置，根据简谐运动的对称性，在
－Δt和
＋Δt两时刻，质点必处在关于平衡位置对称的两位置。
所以，在这两时刻质点的位移、回复力、加速度必定大小相等，方向相反。
速度、动能大小必定相等。
从题图中不难看出，
－Δt和
＋Δt两时刻，质点速度的方向相同。
选项A正确。
二、非选择题（共2小题，共20分）
7．（10分）如图4是弹簧振子的振动图像，试回答下列问题：
图4
（1）振动的振幅、周期、频率各是多少？
（2）如果从O点算起，到图线上哪一点为止，振子完成了一次全振动？
从A点算起呢？
（3）从零到1.6s时间内，哪些点的动能最大？
哪些点的势能最大？
解析：
（1）由图像可知振动的振幅A＝2cm，周期T＝0.8s，由此可得频率f＝
＝1.25Hz。
（2）由图像可知图中的O、D、H三点即在0、0.8s、1.6s三个时刻，振动质点的运动状态相同，图中A、E两点，即在0.2s、1.0s两个时刻，振动质点的运动状态相同。
所以，如果从O点算起，到图像上的D点，如果从A点算起，到图像上的E点，均为振子的一次全振动。
（3）从0～1.6s内，在0、0.4s、0.8s、1.2s、1.6s各时刻，即对应图中的O、B、D、F、H各点，振子处在平衡位置，此时速度最大，动能最大，势能最小，而在0.2s、0.6s、1.0s、1.4s各时刻，即对应图中的A、C、E、G各点，振子均处在最大位移处，此时速度为零，动能为零，势能最大。
答案：
（1）2cm 0.8s 1.25Hz
（2）D点 E点
（3）O、B、D、F、H A、C、E、G
8．（10分）有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动。
若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时（t＝0），经过
周期振子有正向最大加速度。
图5
（1）求振子的振幅和周期；
（2）在图5中做出该振子的位移—时间图像；
（3）写出该简谐运动的表达式。
解析：
（1）由题设所给的已知条件可知，弹簧振子的振幅为10cm，周期T＝
＝0.2s
则ω＝
＝10πrad/s
（2）由振子从平衡位置时开始计时，经
振子具有正向最大加速度可知，
时振子在负的最大位移处，即t＝
时，x＝－10cm，则其位移—时间图像如图所示。
（3）由公式x＝Asin（ωt＋φ0）得φ0＝π，所以简谐运动表达式为x＝0.1sin（10πt＋π）m（或x＝－0.1sin10πtm）。
答案：
（1）10cm 0.2s
（2）图像见解析
（3）x＝0.1sin（10πt＋π）m[或x＝－0.1sin（10πt）m]
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