高中数学知识点总结精华版.docx
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高中数学知识点总结精华版
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吃得苦中苦方为人上人！
高中数学第一章-集合
考试知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
（一）集合
1.基本概念：
集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2.集合的表示法：
列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：
确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为AÍA；
②空集是任何集合的子集，记为fÍA；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果AÍB，同时BÍA，那么A=B.
如果AÍB，BÍC，那么AÍC.
[注]：
①Z={整数}（√）Z={全体整数}（³）
②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（³）（例：
S=N；A=N+，则CsA={0}）
③空集的补集是全集.
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④若集合A=集合B，则CBA=Æ，CAB=ÆCS（CAB）=D（注：
CAB=Æ）.
3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的点集.
[注]：
①对方程组解的集合应是点集.
例：
íìx+y=3解的集合{（2，1）}.2x-3y=1î
②点集与数集的交集是f.（例：
A={（x，y）|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=Æ）
4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n－1个.③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5.⑪①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题Û逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题Û逆否命题.
例：
①若a+b¹5，则a¹2或b¹3应是真命题.
解：
逆否：
a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真.
②
x¹1且y¹2+y¹3.
解：
逆否：
x+y=3
\x¹1且y¹2x=1或y=2.x+y¹3,故x+y¹3是x¹1且y¹2的既不是充分，又不是必要条件.⑫小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
3.例：
若xf5，Þxf5或xp2.
4.集合运算：
交、并、补.
交：
AIBÛ{x|xÎA,且xÎB}
并：
AUBÛ{x|xÎA或xÎB}
补：
CUAÛ{xÎU,且xÏA}
5.主要性质和运算律
（1）包含关系：
AÍA,FÍA,AÍU,CUAÍU,
AÍB,BÍCÞAÍC;AIBÍA,AIBÍB;AUBÊA,AUBÊB.
（2）等价关系：
AÍBÛAIB=AÛAUB=BÛCUAUB=U
（3）集合的运算律：
交换律：
AIB=BIA;AUB=BUA.
结合律:
（AIB）IC=AI（BIC）;（AUB）UC=AU（BUC）
分配律:
.AI（BUC）=（AIB）U（AIC）;AU（BIC）=（AUB）I（AUC）0-1律：
FIA=F,FUA=A,UIA=A,UUA=U
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等幂律：
AIA=A,AUA=A.
求补律：
A∩CUA=φA∪CUA=UðCUU=φðCUφ=U
反演律：
CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）
6.有限集的元素个数
定义：
有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card（A）规定card（φ）=0.
基本公式：
（1）card（AUB）=card（A）+card（B）-card（AIB）
（2）card（AUBUC）=card（A）+card（B）+card（C）-card（AIB）-card（BIC）-card（CIA）
+card（AIBIC）
（3）card（ðUA）=card（U）-card（A）
（二）含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a0（x-x1）（x-x2）„（x-xm）>0（<0）形式，并将各因式x的系数化“+”；（为了统一方便）
②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？
）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
x
（自右向左正负相间）
则不等式a0xn+a1xn-1+a2xn-2+L+an>0（<0）（a0>0）的解可以根据各区间的符号确定.
特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；
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2.分式不等式的解法
（1）标准化：
移项通分化为f（x）f（x）f（x）f（x）>0（或<0）；≥0（或≤0）的形式，g（x）g（x）g（x）g（x）
（2）转化为整式不等式3.含绝对值不等式的解法f（x）f（x）f（x）g（x）³0>0Ûf（x）g（x）>0;³0Ûìíg（x）¹0îg（x）g（x）
（1）公式法：
ax+bc（c>0）型的不等式的解法.
（2）定义法：
用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：
根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
2一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）
（1）根的“零分布”：
根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：
作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
（三）简易逻辑
1、命题的定义：
可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：
p或q（记作“p∨q”）；p且q（记作“p∧q”）；非p（记作“┑q”）。
3、“或”、“且”、“非”的真值判断互逆原命题逆命题
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相若p则q若q则p反；逆互
互
（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时否否为真，其他情况时为假；逆否命题（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时否命题若┐q则┐p若┐p则┐q互为假，其他情况时为真．
4、四种命题的形式：
原命题：
若P则q；逆命题：
若q则p；
否命题：
若┑P则┑q；逆否命题：
若┑q则┑p。
（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
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5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：
（原命题Û逆否命题）①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知pÞq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若pÞq且qÞp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.
7、反证法：
从命题结论的反面出发（假设），引出（与已知、公理、定理„）矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试和性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
§02.
一、本章知识网络结构：
F:
A®B
二次函数函数知识要点
二、知识回顾：
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（一）映射与函数
1.映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数y=f（x）（xÎA）的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=j（y）.若对于y在C中的任何一个值，通过x=j（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=j（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=j（y）（yÎC）叫做函数y=f（x）（xÎA）的反函数，记作x=f-1（y）,习惯上改写成y=f-1（x）
（二）函数的性质
⒈函数的单调性
定义：
对于函数f（x）的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑪若当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2）,则说f（x）在这个区间上是增函数；
⑫若当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2）,则说f（x）在这个区间上是减函数.
若函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f（x）的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
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正确理解奇、偶函数的定义。
必须把握好两个问题：
（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇
函数或偶函数的必要不充分条件；
（2）f（-x）=f（x）或
f（-x）=-f（x）是定义域上的恒等式。
2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数
的图象关于y轴成轴对称图形。
反之亦真，因此，也
可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。
3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增
减性相反.
4．如果f（x）是偶函数，则f（x）=f（|x|），反之亦成立。
若奇函数在x=0时有意义，则f（0）=0。
7.奇函数，偶函数：
⑪偶函数：
f（-x）=f（x）
设（a,b）为偶函数上一点，则（-a,b）也是图象上一点.
偶函数的判定：
两个条件同时满足
①定义域一定要关于y轴对称，例如：
y=x2+1在[1,-1）上不是偶函数.
②满足f（-x）=f（x），或f（-x）-f（x）=0，若f（x）¹0时，
⑫奇函数：
f（-x）=-f（x）
设（a,b）为奇函数上一点，则（-a,-b）也是图象上一点.
奇函数的判定：
两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：
y=x3在[1,-1）上不是奇函数.
②满足f（-x）=-f（x），或f（-x）+f（x）=0，若f（x）¹0时，
y轴对称8.对称变换：
①y=f（x）¾¾¾¾®y=f（-x）f（x）=1.f（-x）f（x）=-1.f（-x）
x轴对称②y=f（x）¾¾¾¾®y=-f（x）
③y=f（x）¾原点对称¾¾¾®y=-f（-x）
9.判断函数单调性（定义）作差法：
对带根号的一定要分子有理化，例如：
（x1+x2）f（x）-f（x）=x2+b2-x2+b2=（x1-x2）
121222xx+b2+x1+b2
在进行讨论.
10.外层函数的定义域是.
解：
f（x）的值域是f（f（x））的定义域B，f（x）的值域ÎR，故BÎR，而A={x|x¹1}，故BÉA.
11.常用变换：
①f（x+y）=f（x）f（y）Ûf（x-y）=f（x）.f（y）
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证：
f（x-y）=
xy
f（y）
Ûf（x）=f[（x-y）+y]=f（x-y）f（y）f（x）
②f（）=f（x）-f（y）Ûf（x×y）=f（x）+f（y）证：
f（x）=f（×y）=f（）+f（y）12.⑪熟悉常用函数图象：
æ1ö
例：
y=2→|x|关于y轴对称.y=ç÷
è2ø
|x|
xyxy
|x+2|
æ1öæ1ö→y=ç÷→y
=ç÷
è2øè2ø
|x||x+2|
y=|2x+2x-1|→|y|关于x轴对称.
2
⑫熟悉分式图象：
2x+17
例：
y=Þ定义域{x|x¹3,=2+
x-3x-3
值域{y|y¹2,yÎR}→值域¹x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数
指数函数y=ax（a>0且a¹1）的图象和性质
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对数函数y=logax的图象和性质:
对数运算：
loga（M×N）=logaM+logaN
（1）
Mloga=logaM-logaNN
logaMn=nloga（±M）12）loga
aloganN1M=logaMn=N
logbN换底公式：
logaN=logba
推论：
logab×logbc×logca=1Þloga1a2×loga2a3×...×logan-1an=loga1an（以上Mf0,Nf0,a
f0,a¹1,bf0,b¹1,cf0,c¹1,a1,a2...anf0且¹1）
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注⑪：
当a,bp0时，log（a×b）=log（-a）+log（-b）.⑫：
当Mf0时，取“+”，当n是偶数时且Mp0时，Mnf0，而Mp0，故取“—”.
2例如：
logax¹2logaxQ（2logax中x＞0而logax2中x∈R）.⑫y=ax（af0,a¹1）与y=logax互为反函数.当af1时，y=logax的a值越大，越靠近x轴；当0pap1时，则相反.
（四）方法总结
⑪.相同函数的判定方法：
定义域相同且对应法则相同.⑪对数运算：
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loga（M×N）=logaM+logaN
（1）
logaM=logaM-logaNN
1logaMn
logaMn=nloga（±M）12）loganM=alogaN=N
logbN
logba换底公式：
logaN=
推论：
logab×logbc×logca=1
Þloga1a2×loga2a3×...×logan-1an=loga1an
（以上Mf0,Nf0,af0,a¹1,bf0,b¹1,cf0,c¹1,a1,a2...anf0且¹1）
注⑪：
当a,bp0时，log（a×b）=log（-a）+log（-b）.
⑫：
当Mf0时，取“+”，当n是偶数时且Mp0时，Mnf0，而Mp0，故取“—”.例如：
logax2¹2logaxQ（2logax中x＞0而logax2中x∈R）.
⑫y=ax（af0,a¹1）与y=logax互为反函数.
当af1时，y=logax的a值越大，越靠近x轴；当0pap1时，则相反.
⑫.函数表达式的求法：
①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑬.反函数的求法：
先解x,互换x、y，注明反函数的定义域（即原函数的值域）.
⑭.函数的定义域的求法：
布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑮.函数值域的求法：
①配方法（二次或四次）；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑯.单调性的判定法：
①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f（x1）与f（x2）的大小；③作差比较或作商比较.
⑰.奇偶性的判定法：
首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f（-x）与f（x）之间的关系：
①f（-x）=f（x）为偶函数；f（-x）=-f（x）为奇函数；②f（-x）-f（x）=0为偶；f（x）+f（-x）=0为奇；③f（-x）/f（x）=1是偶；f（x）÷f（-x）=-1为奇函数.
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⑱.图象的作法与平移：
①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
高中数学第三章数列
考试知识要点
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⑫看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①an-an-1=d（n³2,d为常数）
②2an=an+1+an-1（n³2）
③an=kn+b（n,k为常数）.
⑬看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①an=an-1q（n³2,q为常数,且¹0）
2②an=an+1×an-1（n³2，anan+1an-1¹0）①
注①：
i.b=ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b=ac
ii.b=ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.b=±→为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.b=±ac且acf0→为a、b、c等比数列的充要.、b、c等比数列.注意：
任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.③an=cqn（c,q为非零常数）.
④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（xf1）成等比数列.
ìs1=a1（n=1）a=⑭数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：
nís-s（n³2）nn-1î
[注]：
①an=a1+（n-1）d=nd+（a1-d）（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.
dödædöæ②等差{an}前n项和Sn=An2+Bn=ç÷n2+ça1-÷n→可以为零也可不为零→为等差2ø2è2øè
的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）．．
2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2k-Sk,S3k-S2k...；
②若等差数列的项数为2nnÎN+，则S偶-S奇=（）ndS奇
S偶an=an+1；
S偶=nn-1③若等差数列的项数为2n-1nÎN+，则S2n-1=（2n-1）an，且S奇-S偶=an，S奇
Þ代入n到2n-1得到所求项数.
3.常用公式：
①1+2+3„+n=
②12+22+32+Ln2=n（n+1）2（）n（n+1）（2n+1）6
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én（n+1）ù③13+23+33Ln3=êú2ëû2
[注]：
熟悉常用通项：
9，99，999，…Þan=10n-1；5，55，555，…Þan=5n10-1.9（）
4.等比数列的前n项和公式的常见应用题：
⑪生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1+r.其中第n年产量为a（1+r）n-1，且过n年后总产量为：
2n-1a+a（1+r）+a（1+r）+...+a（1+r）a[a-（1+r）n]=.1-（1+r）
⑫银行部门中按复利计算问题.例如：
一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a（1+r）n元.因此，第二年年初可存款：
121110a（1+r）+a（1+r）+a（1+r）a（1+r）[1-（1+r）12].+...+a（1+r）=1-（1+r）
⑬分期付款应用题：
a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.a（1+r）=x（1+r）mm-1+x（1+r）m-2+......x（1+r）+xÞa（1+r）mx（1+r）m-1ar（1+r）m
=Þx=mr（1+r）-1
5.数列常见的几种形式：
⑪an+2=pan+1+qan（p、q为二阶常数）®用特证根方法求解.具体步骤：
①写出特征方程x2=Px+q（x2对应an+2，x对应an+1），并设二根x1,x2②若x1¹x2
nn可设an.=c1xn1+c2x2，若x1=x2可设an=（c1+c2n）x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.
⑫an=Pan-1+r（P、r为常数）®用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an+2=Pan+1+qan的形式，再用特征根方法求an；④an=c1+c2Pn-1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.①转化等差，等比：
an+1+x=P（an+x）Þan+1=Pan+Px-xÞx=②选代法：
an=Pan-1+r=P（Pan-2+r）+r=LÞan=（a1+
=Pn-1a1+Pn-2×r+L+Pr+r.r.P-1rr）Pn-1-=（a1+x）Pn-1-xP-1P-1
③用特征方程求解：
an+1=Pan+rü（P+1）an-Pan-1.Þan+1-an=Pan-Pan-1Þan+1=ý相减，an=Pan-1+rþ
④由选代法推导结果：
c1=rrrr.，c2=a1+，an=c2Pn-1+c1=（a1+）Pn-1+1-PP-1P-11-P
6.几种常见的数列的思想方法：
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⑪等差数列的前n项和为Sn，在dp0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：
一是求使an³0,an+1p0，成立的n值；二是由Sn=d2dn+（a1-）n利用二次函数的性质求n22
的值.
⑫如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依
111照等比数列前n项和的推倒导方法：
错位相减求和.例如：
1×,3,...（2n-1）n,...242
⑬两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.
2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
（1）定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1（an）为同一常数。
（2）通项公式法。
（3）中项公式法:
验证an-1
22an+1=an+an-2（an+1=anan+2）nÎN都成立。
ìam³03.在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：
（1）当a1>0,d<0时，满足í的项数ma£0îm+1
使得sm取最大值.
（2）当a1<0,d>0时，满足íìam£0的项数m使得sm取最小值。
在解含绝
îam+1³0
对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1.公式法:
适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:
适用于íìcüý其中{an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部
îanan+1þ
分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:
适用于{anbn}其中{an}是等差数列，{bn}是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法:
类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）:
1+2+3+...+n=n（n+1）2
22）1+3+5+...+（2n-1）=n
é1ù3）1+2+L+n=ên（n+1）úë2û3332
4）1+2+3+L+n=22221n（n+1）（2n+1）6
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吃得苦中苦方为人上人！
5）
1111111
=-=（-）
n（n+1）nn+1n（n+2）2nn+21111=（-）（p
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