初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案文档格式.docx
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过P作EFAB于F交DC于E．
1
设PFx，则EF10x，BF（10x）．
2
222
由PB2PF2BF2．
2212
可得：
102x2（10x）2．
4
故x6．
SABCD16256．
则有EFBEDF，为什么？
【解析】：
要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可．
理由：
连结AE、AF．
由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，
∴△ABE≌△AME．
∴BE=ME．同理可得，△ADF≌△AMF．
∴DF=MF．
∴EF=ME+MF=BE+D．F例4．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且EAF45，试说明EFBEDF。
将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG
∵∠EAF=45°
且四边形是正方形，
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG（SAS）∴EF=EG=E﹢BBG=EB﹢DF
例5.如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使
EAF45，AGEF于G.求证：
AGAB
【解析】：
欲证AG=AB，就图形直观来看，
应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够.
∠EAF=45°
怎么用呢？
显然∠1＋∠2=45°
，若把它们拼在一起，问题就解决了【证明】：
把△AFD绕A点旋转90°
至△AHB.
，∴∠1＋∠2=45°
.
∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°
.
又由旋转所得AH=AF，AE=AE.
∴△AEF≌△AEH.
例6.
（1）如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,
CD上,AE,BF交于点O,AOF90.
求证：
BECF.
（2）如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90,EF4.求GH的长.
1.已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，
EF,GH交于点O,FOH90,EF4.直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成
图3
解析】
求GH的长（用n的代数式表示）.
图2
面积为cm2．
（6）（7）
2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?
如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方
形⑥与正方形③的面积相等，?
那么正方形⑤的面积为．
（1）证明：
如图1，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°
，
∴∠EAB+∠AEB=90°
∵∠EOB=∠AOF＝90°
∴∠FBC+∠AEB=90°
，∴∠EAB=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．
（2）解：
如图2,过点A作AM//GH交BC于M，过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，∴EF=BN,GH=A，M
∵∠FOH＝90°
AM//GH，EF//BN,∴∠NO/A=90°
故由
（1）得,△ABM≌△BCN，∴AM=BN，
∴GH=EF=4．
（3）
①8．②4n．
纵向应用】
6.在正方形ABCD中，12．
OF1BE
7.在正方形ABCD中，12．AEDF,
OGCE
13
EGCD
FC
8.如图13，点E为正方形ABCD对角线BD上一点,EFBC,求证：
AEFG
如果AB2,求GH的长；
求证：
CGCD
【练习题答案】
1．6cm．
2．36．
202
3．4cm2（面积法）．
27
4.证明：
FN=EC。
证明：
在正方形ABEF和正方形BCMN中，AB=BE=E，FBC=BN，∠FEN=∠EBC=90°
∵AB=2BC
∴EN=BC
∴△FEN≌△EBC
∴FN=EC。
5.略
6.提示：
注意到基本图形中的AE=AF.
一.两次应用内角平分线定理和CE=CF可证二.过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=C可E证.
3，过点O作OH‖BE,OF=OH=BE
7.提示：
一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种
8.提示：
延长AE交GF于点M，DC,使CH=DG连,接HF,证四边形对角互补,法2：
延长FE，AE证全等三角形
9.
（1）略
（2）（3）作CM⊥DG,证DM=AG=0.5DG
1）定义：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2）特征：
边：
两组对边分别平行；
四条边都相等；
内角：
四个角都是90°
；
对角线：
对角线互相垂直；
对角线相等且互相平分；
每条对角线平分一组对角。
3）主要识别方法：
1：
对角线相等的菱形是正方形
2：
对角线互相垂直的矩形是正方形
3：
四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形
4：
一组邻边相等的平行四边形是正方形5：
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依
次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
正方形的中点四边形是正方形。
例1.已知：
如图，P是正方形ABCD内点，求证：
PBC是正三角形．
【证明】：
如下图做△DGC使与△ADP全等，
可得△PDG为等边△，从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,
得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150
所以∠DCP=300，从而得出△PBC是正三角形
PADPDA15．
例2.如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．
点P到边AB的距离等于AB的一半．
证明】：
过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。
可得
PQ=
EG+FH
D
AQB
F
由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，
由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。
从而可得PQ=AI+BI
AB，
从而得证。
例4.如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AEAC，AE与CD相交于F．求证：
CECF．
顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证：
例6.设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CFDC．E
PAPF．
作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。
即Z（Y-X）=X（Y-X），既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得证。
例7.已知：
P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小A值．
顺时针旋转△BPC600，可得△既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：
可得最PA+PB+PC=AF。
2+3=
4+23
（3+1）2
2（3+1）
6+2
。
PB2a，PC3a，求正方形的边长．
例8.P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，
证明】顺时针旋转△ABP
900，可得如下图：
既得正方形边长
5+22a。
L=（2+22）2+（22）2a
【双基训练】
1.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为．
2.如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?
恰是一个菱形，?
则EAB=
【纵向应用】
3.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，AEF90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）证明：
BAEFEC；
（2）证明：
AGEECF；
（3）求AEF的面积．
【横向拓展】
4.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕
点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴求证：
AMBENB；
⑵①当M点在何处时，AMCM的值最小；
②当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；
⑶当AMBMCM的最小值为31时，求正方形的边长.
1．36
2．【解析】连结BD交AC于点O，作EM⊥AC于点M．
设正方形边长为a，则AC=BD=AE=2a又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC，
12
∴BO=EM=BD=a．
22
在Rt△AEM中，AE=2a，EM=2a．
∴∠CAE=30°
．
则∠EAB=15°
3.
（1）证明：
∵∠AEF=90o，
∴∠FEC+∠AEB=90o．在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，∴∠BAE=∠FEC；
（2）证明：
∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=，EC且∠AGE=180o－45o=135o．又∵CF是∠DCH的平分线，∠ECF=90o+45o=135o．
在△AGE和△ECF中，
AGEC,
o
AGEECF135o,
GAEFEC
∴△AGE≌△ECF；
3）解：
由△AGE≌△ECF，得AE=EF．又∵∠AEF=90o，
∴△AEF是等腰直角三角形．
15
由AB=a，BE=a，知AE=a，
∴S△
52AEF=a
∴BA＝BE，∠ABE＝60°
4.【解析】：
⑴∵△ABE是等边三角形，
∵∠MBN＝60°
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：
连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°
，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°
－60°
＝30°
.设正方形的边长为x，则BF＝3x，EF＝x.
在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（x）2＋（3x＋x）2＝312.22
解得，x＝2（舍去负值）.
∴正方形的边长为2.
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