中考数学几何压轴题.docx

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中考数学几何压轴题

2015中考真题汇编—几何综合问题

例1：

28.（2015.北京）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH。

（1）若点P在线段CD上，如图1。

①依题意补全图1；

②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；

若点P在线段CD的延长线上，∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路。

（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）

例2：

25（2015.上海）已知：

如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），AB＝20，cos∠AOC＝4/5．设OP＝x，△CPF的面积为y．

（1）求证：

AP＝OQ；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；

（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．

例3：

24（2015.天津）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（

，0），点B（0，1），点O（0，0）.过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′.设OM=m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.

（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；

（Ⅱ）如图②，当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；

（Ⅲ）当S=

时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．

例4：

25（2015.重庆）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。

（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2

，求AB，BD的长。

（2）如图1，求证：

HF=EF。

（3）如图2，连接CF，CE，猜想：

△CEF是否是等边三角形？

若是，请证明；若不是，请说明理由。

例5：

26（2015，南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．

（1）求证：

∠A=∠AEB．

（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：

△ABE是等边三角形．

例6：

25（2015.南京）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：

只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）

例7：

24.（2015.广州）如图10，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.

（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；

（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC>AB，BD，AC为对角线，BD=8.

①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？

若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；

②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE.当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离.

例8：

22（2015年浙江杭州12分）如图，在△ABC中（BC>AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E

（1）若AD/DB=1/3=，AE=2，求EC的长

（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：

线段CP可能是△CFG的高线还是中线？

或两者都有可能？

请说明理由

例9：

22（2015.长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°<α<90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F。

（1）求证：

△AOE≌△COF；

当α=30°时，求线段EF的长度。

例10：

27（2015.成都）已知,ACEC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°。

（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF。

1）求证：

△CAED△CBF；

2）若BE=1,AE=2，求CE的长。

（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC=EF/FC时，若BE=1,AE=2,CE=3，求k的值；

（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设,,BE=m，AE=n，CE=p，试探究,,m、n、p三者之间满足的等量关系。

（直接写出结果，不必写出解答过程）

例11：

24（2015.长沙）.如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0,0），点A（

0）与点B（0,-

，点D在劣弧

OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO。

（1）求⊙M的半径；

（2）求证：

BD平分∠ABO；

（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标。

例12：

25（2015.福州）如图.在锐角中，D，E分别为AB,BC中点,F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM//EF交AC于点M

（1）求证:

DM=DA

（2）点G在BE上,且∠BDG=∠C.如图②,求证:

△DEG∽△ECF

（3）在图②中.取CE上一点H，使∠CFH=∠B.若BG=1求EH的长.

例13：

23（2015.沈阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．

（1）求点A和点C的坐标；

（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；

（3）当m=35时，请直接写出t的值；

（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．

例14：

24（2015.沈阳）如图，在?

ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将?

ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．

（1）当点H与点C重合时．

①填空：

点E到CD的距离是；②求证：

△BCE≌△GCF；③求△CEF的面积；

（1）当点H落在射线BC上，且CH=1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积．

例15：

26.（2015.哈尔滨）AB,CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD,垂足为点F，直线BF交直线CD于点G.

（1）如图1，档点E在⊙O外时，连接BC，求证BE平分∠GBC；

（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG,求证：

AC=AG；

（3）如图3，在

（2）的条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF,AG=4，tan∠D=

，求线段AH的长.

例16：

24.（2015.南昌）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.特例探索

（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2

时，a=，b=；

如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=，b=；

归纳证明

（2）请你观察

（1）中的计算结果，猜想a2b2c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证

明你发现的关系式；

拓展应用

（3）如图4，在□ABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点，BE⊥EG,AD=2

AB=3.

求AF的长.

例19：

23.（2015.陕西）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．

（1）求证：

∠BAD=∠E；

（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

例17：

24.（2015年广东9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.

（1）如题图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；

（2）如题图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：

四边形AGKC是平行四边形；

（3）如题图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：

PH⊥AB.

例18：

26（2015.河北）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图15－1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0≤α≤60）.

发现：

（1）当α=0°，即初始位置时，点P直线AB上.（填“在”或“不在”），求当α是多少时，OQ经过点B？

（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？

并指出这个最小值；

（3）如图15－2，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影.

拓展：

如图15－3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x>0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围.

探究：

当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值.

例20：

25.（2015.陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．

（1）如图1，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为；

（2）如图2，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；

（3）如图3，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？

若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

例21：

23.（2015.安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过

点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．

（1）求证：

AD＝BC；

（2）求证：

△AGD∽△EGF；

（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求AD/EF的值．

例22：

22（2015.河南）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

（1）问题发现

①当α=0°时，AE/BD=_____________；

②当α=180°时，AE/BD=__________

（2）拓展探究

试判断：

当0°≤α＜360°时，AE/BD的大小有无变化？

请仅就图2的情况给出证明.

（3）问题解决

当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.

例23：

23．（2015?

山西）综合与实践：

制作无盖盒子

任务一：

如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4cm，容积为616cm3

的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．

（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．

（2）请求出这块矩形纸板的长和宽．

任务二：

图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形ABCDE中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°．

（1）试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明．

（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm？

请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）．

例24：

21（2015.黄冈）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN,过点C的切线交AB的延长线于点P.

（1）求证：

∠BCP=∠BAN;

（2）求证：

AM/MN=CB/BP

例25：

25．（2015?

吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．

（1）当点C落在边EF上时，x=cm；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．

例26：

27．（2015?

南通）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．

（1）求证：

PQ∥AB；

（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；

（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．

例27：

23．（2015?

潍坊）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：

DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

例28：

24（2015?

温州）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：

AB=3：

4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=

CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．

（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．

（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．

（3）在点P的整个运动过程中，

①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？

②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）

例29：

24（2015?

呼和浩特）如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC

（1）求证：

PA是⊙O的切线；

（2）

（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为弧BC的中点，且∠DCF=∠P，求证：

BD/D=FD/ED=CD/AD．

例30：

23（2015.海南）如图9-1，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．

（1）求证：

△ADP≌△ECP；

（2）若BP=n·PK，试求出n的值；

（3）作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，如图9-2所示．请证明

△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．

例31：

25（2015.南宁）如图14，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.

（1）求证：

CD是⊙O的切线.

（2）若OF/FD=2/3,求∠E的度数.

（3）连接AD，在

（2）的条件下，若CD=3，求AD的长

例32：

25（2015.贵阳）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．

（1）求MP的值；（4分）

（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？

（4分）

（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值.（计算结果保留根号）（4分）

例33：

22（2015?

乌鲁木齐）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．

（1）求证：

DC=DE；

（2）若tan∠CAB=1/2，AB=3，求BD的长．

例34：

27（2015.兰州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D。

以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D。

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=3，∠B=30°，

①求⊙O的半径；

②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和

）。

例35：

22（2015.昆明）如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上。

（1）求证：

直线FG是⊙O的切线；

（2）若CD＝10，EB＝5,求⊙O的直径．

例36：

25（2015?

包头）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）求线段CD的长；

（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：

2两部分？

（3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．

①t为何值时，l经过点C？

②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．

例37：

26（2015.青海）如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．

（1）求证：

AM=AC；

（2）若AC=3，求MC的长．

例38：

25（2015.宁夏）如图，是一副学生用的三角板，在△ABC中，∠C=90°,∠A=60°，∠B=30°；在△A1B1C1中，∠C1=90°,∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB．若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合．将三角板A1B1C1绕点C（A1）按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M,设AC=a．

（1）计算A1C1的长；

（2）当α=30°时，证明：

B1C1∥AB；

（3）若a=

+

，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；

（4）当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积．

（参考数据：

sin15°=（

－

）/4-，cos15°=（

+

）/4+，tan15°=2－

sin75°=（

+

）/4

cos75°=（

－

）/4-,tan75°=2+

）

例39：

25．（2015.山东临沂）如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.

（1）请判断：

AF与BE的数量关系是，位置关系是；

（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC，第

（1）问中的结论是否仍然成立?

请作出判断并给予证明；

（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第

（1）问中的结论都能成立吗？

请直接写出你的判断.

例40：

28．（2015.湖南衡阳）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．

（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．

（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？

并说明理由．

（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．

例41：

25．（2015.湖北襄阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB∶PC＝1∶2.

（1）求证：

AC平分∠BAD；

（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AD＝3，求△ABC的面积.

例42：

22.（2015.武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8

（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K

①求EF/AK的值

②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值

（2）若ABAC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长

23．（2015.武汉）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3

（1）求证：

EF＋PQ＝BC

（2）若S1＋S3＝S2，求PE/AE的值

（3）若S3－S1＝S2，直接写出PE/AE的值

2020-2-8