必修四三角函数复习题.docx

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必修四三角函数复习题

2017年05月09日三角函数复习题

•解答题（共16小题）

1.已知点P（3m,-2m）（m<0）在角a的终边上，求sina,cos

2.已知a为三角形一内角，且sina+COSa=丄.

（1）求

（2）求

a,tana.

tana的值；

3cos2CL-si

3.已知关于x的方程2x2-（_「；+1）x+m=0的两根为sin0>cos0

0€（0,

2n）,求:

（1）

cos2a

sin9-cos9

cos9-sin9

的值;

（2）m的值.

4.已知函数f（x）=2_「；sin（n-x）cosx+2cos2x+a-1.

（I）求f（x）的最小正周期；

求a的值.

（U）若f（x）在区间［-丄，一］上的最大值与最小值的和为2,

5.已知函数f（x）=cos（2x-工）+2sin（x-—）sin（x^-）.344

（I）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；

（U）讨论函数f（x）在区间［-召，手］上单调性并求出的值域.

6.已知函数f（x）=2cosx-1,x€R.

（I）求f（芈）的值；

（U）求函数f（x）的最小正周期；

（川）设g（x）=f（一-x）+.；cos2x，求g（x）的值域.

TT2

7.已知k是函数f（x）=2cosx+asin2x+1的一个零点.

•LiT

（I）求实数a的值；

（U）求f（x）的单调递增区间.

8.已知函数f（x）=2sin（

-2cosx,x€

（1）若sinx=—，求函数f（x）的值；

（2）求函数f（x）的值域和对称轴.

9•设函数二：

'：

.：

'一工1—■:

二丁一丄：

二二

（I）求f（x）的定义域及最小正周期；

（U）求f（x）在区间［-冗，0］上的最值.

10.已知函数f（x）卫3sin2x-cos2x丄

（I）求函数f（x）=0时x的集合；

（U）求函数f（x）在区间［0,—］上的最小值.

11.

（1）设a,B为锐角，且sinQ=^-,CDSP二歸帀，求a+B的值；

510

（2）化简求值：

'匚-I一二「.

12.已知函数f（x）=Asin（3x+©）+B（A>0,®>0，|©|<一）的最大值为2^2，最小值为-丁乞周期为n，且图象过（0，-^扌）.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调递增区间.

13.已知函数f（x）—sin23xcos©+cos2wxsin©丄cos（工+©）（0<©<

222

n），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为n，且过点（寺）.

（I）求3和©的值；

（II）求函数y=f（2x），x€［0,芈］的值域.

14.已知函数-「-':

■--

（I）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；

（U）求函数f（x）在区间［a上的最大值和最小值.

15•已知r=.■.：

IZl-Jzi/!

；.<：

.［匚二八:

匚二工：

，—门.•，…

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当［皆，詈］时，对任意的t€R,不等式mt2+mt+3》f（x）恒成立,求实数m的取值范围.

16•已知.--..-ii-.y-:

■:

■I:

zij.y-二二乂.r：

z1--.,-

（I）求f（x）的最小正周期和最大值；

（n）若—「，.丫_2__L-,画出函数y=g（x）的图象，讨论y=g（x）

-m（m€R的零点个数.

■■1■1■・1R■~~1

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X*-Jt1L"工

»4T?

2017年05月09日三角函数复习题

参考答案与试题解析

一•解答题（共16小题）

1.（2017春?

天桥区校级月考）已知点P（3m-2m）（m<0）在角a的终边上,

求sina,cosa,tana.

【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可.

【解答】解：

角a

的终边为点P（-3,4）,所以x=3m,y=-2mr=-近习r,

sina=

tana=

;=/.1

7V13-13

cosCl2

W13

_13

COSa=

2.（2017春?

金水区校级月考）已知a为三角形一内角，且sina+COSa二二

（1）求

（2）求

tana的值；

3cos2Cl十sinCL-sin°Cl

【分析】

（1）已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，求出

2sinacosa=-—，确定出sina与cosa的正负，再利用完全平方公式列出

关系式，求出sina与cosa的值，即可求出tana的值；

（2）将sina与cosa的值代入计算即可求出值.

【解答】解：

（1）已知等式sina+cosa=①，两边平方得:

2=1+2sinacosa=—，即2sinacosa=-,

（sina+cosa）

•••sina>0,cosa<0,即卩a

为钝角,

•••（sina-cosa）=1-2sin

acosa

即sina-cosa=

联立①②，解得：

sina=

cosa=—

贝Utana=-丄;

（2）vsina=•••原式=

3.（2017春?

万柏林区校级月考）已知关于x的方程2x2-（.二+1）x+m=0的两根为sin0、cos0,0€（0,2n），求：

.2A

san匕

sinQ-cos9

（2）m的值.

（1）

cos9-sin9

的值;

【分析】

（1）利用韦达定理求得sin9+cos0和

sin0cos0的值，再利用

同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值.

西+1

~~F

（2）把sin0+cos0=

两边平方，可求得

m的值.

【解答】解：

（1）由根与系数的关系可知sin0+cos

0=「

①，sin0cos0

②,

.CDS26

.sin26-cos26

cos9-sin9

sin6-cos6

sin

.2A

sinb

sin9-cos9

（2）由①式平方得1+2sin0cos0-…

0+cos0=——

1+m=—•m=-l

4.（2017?

天津）已知函数f（x）=2■:

sin（n—x）cosx+2cos2x+a—1.

（I）求f（x）的最小正周期;

（U）若f（x）

］上的最大值与最小值的和为

2,求a的值.

【分析】（I）利用倍角公式与和差公式可得：

函数f（x）=2+a.可

得f（x）的最小正周期T.

（II）由x€［—*^，半-］，可得2x^^-W，可得虱口（刼+*-）€

［今，1］.进而得出答案.

【解答】解：

（I）函数f（x）=^3sin（n-x）cosx+2cos2x+a—1^3sin2x+cos2x+a

=2二工丁+a

•••f（x）的最小正周期T=J=n.

（11）Vxe[「哥叩'HF"2唏汽〔跻中e[寺1】.

•f（x）e[a-1,a+2].

•a-1+a+2=2解得a=.

5.（2017?

可东区二模）已知函数f（x）=cos（2x-—

）+2sin（x-

）sin

【分析】（I）化简函数，再求函数f

（U）禾I」用正弦函数的性质，讨论函数

f（x）在区间［-

■TT

］上单调性并求

出的值域.

解

兀71K1

fCk）=cos（2x―亍）+2sintx一）sin&十-;厂）电「

sin2i+（sinx-cosx）

sinx+cosx

（

=--ij..」；=1i」=：

•••周期一二一二厂.

JIf兀丿严小

由2x

•函数图象的对称轴方程为

（U）：

心

fCs）二:

si口（2

nHn

—在区间

］上单调递

/丄兀、

（x+—）.

（I）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；

（U）讨论函数f（x）在区间［-

一，一］上单调性并求出的值域.

（X）的最小正周期和图象的对称轴方程;

减,

时，f（x）取最大值1.

6.（2017?

浙江模拟）已知函数f（x）=2cos2x-1,x€R.

（I）求f（工）的值；

（U）求函数f（x）的最小正周期；

（川）设g（x）=f（―-x）+;cos2x，求g（x）的值域.

【分析】（I）禾U用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，从而求得f（―）

的值.

（U）根据函数的解析式以及三角函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周

期.

（川）化简g（x）

【解答】解：

（I）

的解析式，根据正弦函数的值域求得

•••函数f（x）=2cos2x-仁cos2x，二f（丄）

g（x）的值域.

K1=cos—

=2cos2x-仁cos2x的最小正周期为

27U

=n.

x）=f（

x）+詁fcos2x=cos2

V-x）

故g（x）的值域为[-2,2].

7.（2017?

海淀区一模）已知.是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点.

（I）求实数a的值；

（U）求f（x）的单调递增区间.

【分析】（I）利用函数的零点的定义，求得实数a的值.

（U）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得

（x）的单调递增区间.

【解答】解：

（I）由题意可知f（-^-）=0，即f（-^）=2cos^TT'+asin+1=0，

即F（罟）吆（#）2碍廿匸0,解得亩出•

（n）由（I）可得

运虽卫时严恥加・屈或皿时紀乩口也十牛）+2,

函数y=sinx的递增区间为［2^7!

2k兀+*］,k€Z.

由沪手<2廿罟<21^+牛，k€Z,

得k7vJ^_

所以，f（x）的单调递增区间为^,k€乙

8.（2017?

河东区一模）已知函数f（x）=2sin（x+二）-2cosx,x€［芈，冗］.

（1）若sinx=2，求函数f（x）的值；

（2）求函数f（x）的值域和对称轴.

【分析】

（1）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据x€［冷-,n］时sinx的

值求出f（x）的值；

（2）根据f（x）的解析式求出x€［丄，冗］时的值域，求出f（x）在x€［--,n］内对称轴是x-呼.

【解答】解：

（1）函数f（x）=2sin（x+—）-2cosx

=2sinxcos+2cosxsin丄-2cosx

=、［』sinx-cosx

=2sin（x-

由x€［^,n］，且sinx=」,

二cosx=-^l-sin2x

•••函数f（x）=.「；sinx-cosx

M詈（乍）

二•:

―

5；

（2）由函数f（x）=2sin（x—?

）,x€[ZL，冗],

二x—[丄，—]，

一sin（x<）€啥,1],

•••f（X）在x€[—，冗]的值域是[1,2];

且f（x）=2sin

（X-）对称轴是

x=kn

k€Z,

x€[—,n],

•••对称轴是x=一.

9.（2017?

天津—模）设函数二［工m—■:

二二■—丄：

二二T'—-.

（1）求f（x）的定义域及最小正周期；

（U）求f（x）在区间［-n,0］上的最值.

【分析】

（1）先将函数化简，再求f（x）的定义域及最小正周期；

（2）f（x）在区间［-n,0］的单调性，再利用正弦函数的性质，即可求出最值

sirry-ccis

由邑』

4^2

fW=2siCOS^--COS

「上九得f（x）的定义域为{x|x工2n+4kn（k€Z）}

故f（x）的最小正周期为

（U）T-nWxW0,•

27T

JL：

气26

】・即丁

e[-TT,

fg）单调递減,

2JTJT

10.（2017?

平谷区模拟）已知函数f（x）=：

sin2x-cos2x+^

（I）求函数f（x）=0时x的集合；

（U）求函数f（x）在区间［0,—］上的最小值.

【分析】（I）禾I」用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，求出f（x）=0时x

的取值集合即可;

—］时f（x）的取值范围，即可得出最小值.方法二：

根据正弦函数的单调性，求出x€［0，

（U）方法一：

求出x€［0,

7T~2

【解答】解：

（I）—-：

--：

"：

■1

B22222

=；：

-〕：

一.11.：

，-.；•••（5分）

因为：

f（x）=0时，二二二「二工一-.1,

6x迴吕

］时f（X）的最小值即可.

7£

所以函数f（x）=0时x的集合为

所以：

2x-

=kn（k€Z）,解得

k€Z；

丁丨】:

二丄一一-y・；•••（8分）

（U）因为x€[0,

所以

方法

故函数f（x）在区间［0,—］上的最小值为

"•

…..（13分）

方法二：

•••当时2x-==-=,即卩x=0时，f（x）取得最小值-—,

61\6\2

故函数f（x）在区间［0,今］上的最小值为占.（13分）

11.（2017春?

成都期中）

（1）设a,B为锐角，且

510

求a+B的值；

（2）化简求值：

工:

「匚-i._U.

【分析】

（1）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得cos

（a+B）的值，结合a+B的范围，可得a+B的值.

（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式，求得所

给式子的值.

【解答】解：

（1）Va为锐角,

-vp为锐角,

込xW10_V5xV10=V2

510「5…一

Vio

a+p€（0，

n）,••a+p=

sin50°）

sin50c*（cosLO*4\/3sinl0°）

coe10°

=sin50°?

2cosC60"-1（/）血10『

caslO

cnslO

=1.

12.（2017春?

新化县校级期中）已知函数f（x）=Asin（»+©）+B（A>0,

0,|©|<—）的最大值为2「，最小值为-「，周期为n,且图象过（0,

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调递增区间.

【分析】

（1）利用三角函数的最值求出A,B,利用函数的周期求出①，利用图象经过的点求出©，得到函数的解析式.

（2）利用函数的单调区间求解函数的单调增区间即可.

【解答】（12分）解：

（1）vf（x）=Asin（»+©）+B的最大值为2:

最小值为-.：

，

A二■'■,B=■'.

=n，即3=2.

（0

•f（x）—:

sin（2x+©）+'■

「；sin

即sin

…8'

（2）令t=2x-

则

其增区间为:

又•••函数f（x）过（0,-丄），•••

13.（2017?

江西模拟）已知函数

（x）

cos

（I）求3和©的值;

，其图象上相邻两条对称轴之间的距离为

n，且过点

即2kn-—<2x-丄W2kn+—，k€Z.

解得kn-—WxWkn

所以f（x）的单调递增区间为［k冗¥，k兀卄些］，k€乙…12'

（II）求函数y=f（2x），x€[0,丁]的值域.

【分析】（I）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质和已知坐标，即可

求函数3和©的值;

（II）求出函数y=f（2x）的解析式，根据x€［0,—厂］求出函数y=f（2x）的范围，在求其范围内的最大值和最小值，即可得到值域.

【解答】

解：

f（x）-

cos

+©）（0v©v

n）,

f（x）

二Lsin2

丄sin2

—sin

xcos

+sin©（cos3x「

3xsin©

xcos

（23X+©）,

（I）•••图象上相邻两条对称轴之间的距离为n,AT=2n,

又…t=I'

T|如,

••.3二—丄，

1-sin

（土1X

+©）,

解得：

图象过点（

f（x）丄sin（x^^）或f（x）

sin（-x+=^-

2|32

）；

结合正弦函数的图象和性质：

当

时，y取得最大值，即rlr.—-丄,

当s=-y-时，y取得最小值，即¥丸屮弓令X（」?

）=#■,

所以函数y=f（2x）,x€［0,丄］的值域为1F亠

14.（2017?

红桥区一模）已知函数|-'<■-——「一丄二「-二

（I）求函数

（U）求函数

f（x）的最小正周期与单调递减区间；

【分析】（I）

由三角函数化简可得

得，解不等式

<2x+1

.2kn+-

2kn

f（x）=2sin（2x+-

可得单调递减区间;

）+3,由周期公式可

（n）由x€［o,斗］结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x

5］，可得最值.

【解答】解：

（I）化简可得--.■--_li.ULr.-J

=J";?

2sinxcosx+2cos2x+2

=Jtsin2x+cos2x+1+2

）+3€[2,

=2sin（

+3,

•函数f（x）的最小正周期T一=n,

由2kn+-

三2x+—

<2kn匕一

亠兀n+・

•••函数的单调递减区间为［k

可得kn+-

kn（k€Z）;

f（x）在区间〔0,芈］上的最大值和最小值.

（n）vX€i—r,

二2x

•

1],

sin（2x+——）€

•2sin（2x+——）€[-1,2],

•2sin（2x+一）+3€[2,5],

•••函数的最大值和最小值分别为5,2.

15.（2017?

海淀区校级模拟）已知

心（丁曲皿cosx+siiix）,b=（2cosx,^inx-cosi!

）,f（叢）帀

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当応【罟，帑-］时，对任意的t€R,不等式mt2+mt+3》f（x）恒成立,求实数m的取值范围.

【分析】

（1）首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间.

（2）根据函数与的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出m的取值范围.

；iI■：

■:

"）：

.」・，

【解答】解：

（1）

~a=CV3sinx,casx+sinx）,b=（2cosx,

二f（x）=2：

;sinxcosx+（cosx+sinx）（sinx-cosx）三iin2x-cos2x——2sin

（2x—

），

令2kn

TTTT

2x-<2kn+—

（k€Z），

解得:

冗，

-L_+kn

所以：

函数f（x）的单调递增区间为:

[—+kn，

+kn]（k€Z）.

单调递减区间为［

+kn，

⑵当圧签「筈］时,

+kn]

（k€Z）.

2TT

对任意t€R,不等式mt2+mt+3》f（x）恒成立.

只需满足：

mt+mt+3》f即mt2+mt+1》0即可.

（X）max成立即可.

①当m=0时，恒成立

②当m^0时，只需满足

^>0

解得：

0vm<4

综合所得：

0wm^4.

16.（2017?

安徽二模）已知「-m：

：

=.I二迄二u二.

（I）求f（x）的最小正周期和最大值;

（n）若.■■■■-^―.—，画出函数y=g（x）的图象，讨论y=g（x）-m（m€R的零点个数.

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「

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•

>'iJ«.1

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【分析】（I）根据f（x）=2-1，,利用向量数量积的运算法则求解f（x）并化简，即可求得f（x）的最小正周期和最大值

（U）I工「I工.丫~.——-,利用“5点画法”画出函数y

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