中考初三数学圆周角卓越汇编 圆周角答案中弧.docx

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中考初三数学圆周角卓越汇编圆周角答案中弧

解：

∵∠A=80°

∴∠C=100°

∵ABC^，ADC^的长度分别为7p，11p

∴圆的周长为18p

∴B、D两点把圆分成10p和8p两部分

∴BAD^的长度是10p．

故选C．

解：

当P的运动到D点时，AP最长为52，所以周长为5×3+52=15+52．

故选C．

解：

∵∠AOB的度数为m，

∴弧AB的度数为m，

∴弧ACB的度数为360°-m，

∴∠D+∠E=（360°-m）÷2=180°-m2．

故选B．

解：

如图，过O作半径OF⊥AB于E，连接AF；

由垂径定理知：

AE=BE，AF^=12AB^；

∴AE=CD=12AB；

在Rt△AEF中，AF＞AE，则AF＞CD；

∴AF^＞CD^，即AB^＞2CD^；

故选A．

解：

将半圆O补全，得圆O．过点D作DF⊥AB于P，交⊙O于F，连接HF、FK．

∵DF⊥AB于P，AB是圆O的直径，

∴DP=FP，

∴AB是DF的垂直平分线，

∴HD=HF，KD=KF，

∴∠HDF=∠HFD，∠KDF=∠KFD．

∵HD=HF，DP=FP，

∴∠FHB=∠DHB，

∵∠AHC=∠DHB，

∴∠FHB=∠AHC，

∴∠AHC+∠AHF=∠FHB+∠AHF=180°，

∴C、H、F三点共线．

同理，E、K、F三点共线．

∴∠HDK=∠HDF+∠KDF=∠HFD+∠KFD=∠CFE，

又∵弧AC为30°，弧BE为70°，

∴弧CE为180°-30°-70°=80°，

∴∠CFE=12×80°=40°，

∴∠HDK=40°．

故选B．

解：

连接OA、OB、OC、OD，

∵OA=OB=OC=OD=1，AB=2，CD=1，

∴OA2+OB2=AB2，

∴△AOB是等腰直角三角形，

△COD是等边三角形，

∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，

∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，

∴α=180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-（∠CDB+∠ODB）=180°-45°-60°=75°．

解：

∵∠AOB=98°，∠COB=120°，

∴∠AOC=360°-∠AOB-∠COB=142°；

∴∠ABC=71°；

∵D是BC^的中点，

∴∠CBD=12∠BAC；

又∵∠BAC=12∠COB=60°，

∴∠CBD=30°；

∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=101°．

解：

设AB与CD交于点E，∵AB⊥CD，∴∠AED=∠CEB=90°，∵圆心角∠AOC=130°，

∴∠ADC=∠ABC=65°，∴∠BAD=∠DCB=90°-65°=25°，∵∠ADC=∠P+∠DCP，

∴∠P=65°-25°=40°．

解：

连接CD

∵∠ACB=90°，∠B=35°

∴∠A=90°-∠B=55°

∵CA=CD

∴∠A=∠CDA=55°

∴∠ACD=180°-2∠A=70°

∴弧AD的度数是70°

解：

连接AB，OC，

∵∠AOB=90°，

∴AB为⊙C的直径，

∵∠BMO=120°，

∴∠BCO=120°，∠BAO=60°，

∵AC=OC，∠BAO=60°，

∴△AOC是等边三角形，

∴⊙C的半径=OA=4；

过O作OD⊥OB于D，则OD=12OB，

∵∠BAO=60°，

∴∠ABO=30°，

∴OD=OAtan30°=233=23，CD=12BC=12×4=2，

∴D点坐标为（-23，0），

∴C点坐标为（-23，2）．

故答案为：

4，C（-23，2）．

过O作OM⊥AB，ON⊥AC，OP⊥BC，垂足分别为M，N，P，根据三角形内角和定理及角平分线定理即可得到∠BOC的度数．

解答：

解：

过O作OM⊥AB，ON⊥AC，OP⊥BC

垂足分别为M，N，P

∵∠A=70°，∠B+∠C=180°-∠A=110°

∵OM=ON=OP

∴O是∠B，∠C平分线的交点

∴∠BOC=180°-12（∠B+∠C）=180°-12×110°=125°．

证明：

（1）∵OC=OE

∴∠E=∠OCE（1分）

又∠OCE=∠DCE

∴∠E=∠DCE

∴OE∥CD（2分）

又CD⊥AB

∴∠AOE=∠BOE=90°

∴E为ADB^的中点；（3分）

（2）①∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，CD=3

∴CH=12CD=32（4分）

又OC=1

∴sin∠COB=CHOC=321=32

∴∠COB=60°（5分）

∴∠BAC=30°

作OP⊥AC于P，则OP=12OA=12；（6分）

解：

（Ⅰ）∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，

∴△DCM≌△ACM（1分）

∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A

又∵CA=CB，

∴CD=CB（2分），

∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM

∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM

=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM

∴∠DCN=∠BCN（3分）

又∵CN=CN，

∴△CDN≌△CBN．（4分）

∴DN=BN，∠CDN=∠B．

∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．（5分）

∴在Rt△MDN中，由勾股定理

∴MN2=DM2+DN2，即MN2=AM2+BN2．（6分）

（Ⅱ）关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．（7分

∵将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，

∴△GCM≌△ACM．（8分）

∴CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM，

又∵CA=CB，得CG=CB．

∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=GCM+45°

∴∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-（∠ECF-∠ACM）=45°+∠ACM

得∠GCN=∠BCN．（8分）

又∵CN=CN，

∴△CGN≌△CBN．

∵GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°，

∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°，

∴在Rt△MGN中，由勾股定理，

∴MN2=GM2+GN2，即MN2=AM2+BN2．（9分）

解：

（1）证明：

∵AM是⊙O的直径，

∴∠ABM=90°．

∵CD⊥AB，

∴BM∥DC．

∴∠NBM=∠NCE．

∵BN=NC（ON是弦心距），

∴△NEC≌△NMB（ASA）．

∴EN=NM．

（2）证明：

∵CD=AB，

∴ADB^=DBC^．

∴AD^=BC^．

∴∠ACD=∠BDC．

∵∠ACD=∠ABE，

∴∠BDC=∠ABE，∠BEF=∠BEF．

∴△FEB∽△BED．

∴EF•DE=BE2=CE2．

（3）如图，

（2）的结论仍成立．

证明：

∵AM⊥BC，

∴BE=CE，AB=AC．

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵AB=CD，

∴∠4=∠DBC．

∴∠3=∠DBC=∠2+∠5．

又∵∠3=∠F+∠1，∴∠F=∠5．

∵∠BED=∠FEB，∴△BDE∽△FBE．

∴BE：

EF=ED：

BE，

∴BE2=EF•ED．

∴CE2=EF•ED．

证明：

（1）连接AD，BD，

∵C是劣弧AB的中点

，

∴∠CDA=∠CDB，

∴△ADB为等腰三角形，

∵CD⊥AB，

∴AE=BE；

（2）延长DB、AP相交于点F，再连接AD，

∵ADBP是圆内接四边形，

∴∠PBF=∠PAD，

∵C是劣弧AB的中点，

∴∠CDA=∠CDF，

∵CD⊥PA，

∴△AFD为等腰三角形，

∴∠F=∠A，AE=EF，

∴∠PBF=∠F，

∴PB=PF，

∴AE=PE+PB

（3）AE=PE-PB．

连接AD，BD，AB，BD，DB、AP相交于点F，

∵弧AC=弧BC，

∴∠ADC=∠BDC，

∵CD⊥AP，

∴∠DEA=∠DEF，∠ADE=∠FED，

∵DE=DE，

∴△DAE≌△DFE，

∴AD=DF，AE=EF，

∴∠DAF=∠DFA，

∴∠DFA=∠PFB，∠PBD=∠DAP，

∴∠PFB=∠PBF，

∴PF=PB，

∴AE=PE-PB；

解：

连接CA并延长到圆上一点D，

∵直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），

∴CD=10，CO=5，

∴DO=53，

∵∠B=∠CDO，

∴∠OBC的余弦值为∠CDO的余弦值，

∴cos∠OBC=cos∠CDO=5310=32．

：

连接CO，∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，

在△BOC中，∵BO=CO，

∴∠BCO=（180°-72°）÷2=54°，

∴∠OCA=∠BCA-54°=60°-54°=6°，

又OD⊥AC，

∴∠COD=90°-∠OCA=90°-6°=84°，

∴∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+84°=156°．

故选C

．解：

∵⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，OM=13，

∴∠MOB=∠C，

∴sin∠CBD=sin∠OBM=MOOB=131=13

则sin∠CBD的值等于13．

故选：

B．

解：

过O点作OD⊥BC，垂足为D，

∵∠BOC，∠BAC是BC^所对的圆心角和圆周角，

∴∠BOC=2∠BAC=120°，

∵OD⊥BC，

∴∠BOD=12∠BOC=60°，BC=2BD，

在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD=2×32=3，

∴BC=2BD=23．

故选D．

解：

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=∠D，

∵∠BAD=∠BAD，

∴△ABD∽△AEB，

∴ABAE=ADAB，

∴AB2=3×7=21，

∴AB=21．

故选C．

解法一：

∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；

∴ECBE=DEAE=CDAB=12；

设BE=x，则DE=5-x，EC=2x，AE=2（5-x）；

连接BC，则∠ACB=90°；

Rt△BCE中，BE=x，EC=12x，则BC=32x；

在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10-32x，BC=32x；

由勾股定理，得：

AB2=AC2+BC2，

即：

72=（10-32x）2+（32x）2，

整理，得x2-10x+17=0，解得x1=5+22，x2=5-22；

由于x＜5，故x=5-22；

则DE=BD-BE=22．

解法二：

连接OD，OC，AD，

∵OD=CD=OC

则∠DOC=60°，∠DAC=30°

又AB=7，BD=5，

∴AD=26，

在Rt△ADE中，∠DAC=30°，

所以DE=22．

故选A．

．

分析：

建立AC与AG、AF之间的关系是关键，连接BC，则∠B=∠F，∠ACB=90°，通过证明∠ACD=∠B得∠F=∠ACG，从而得△ACG∽△AFC，根据对应边成比例得关系式求解．

解答：

解：

连接BC，则∠B=∠F，

∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，

∴∠ACG=∠F．

又∠CAF=∠FAC，

∴△ACG∽△AFC，

∴AC：

AF=AG：

AC，

即AG•AF=AC2=（22）2=8．

解：

∵BC∥OD

∴∠B=∠AOD

∵∠C=∠OAD

∴△ABC∽△DOA

∴BC：

OA=AB：

OD

∴BC=23．故选A．

解：

设等腰梯形的较小的底角为x，则3x=180°，∴x=60°

依题意，延长BE，CF必交于点O（△ABO，△CDO为等边三角形），

∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠BEC=12∠BOC=30°

故选B．

解：

连接DO，∵∠DAB=20°，

∴∠DOB=40°，

∴∠COD=90°-40°=50°，

∵CO=DO，

∴∠OCD=∠CDO，

∴∠OCD=（180°-50°）÷2=65°．

故答案为：

65．

解：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠D=30°，

∴∠A=∠D=30°，

∵BC=3，

∴AB=6．

故答案为：

6．

据圆周角定理，得∠A=∠BDC=60°，从而判断△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求得其外接圆的直径，从而求得其周长．

解答：

解：

连接OC，作OE⊥AC于E．

∵∠ACB=∠BDC=60°，

∴∠A=∠BDC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠OCE=30°，CE=12AC=3，

∴OC=CEcos30°=2，

则⊙O的周长是4π．

据已知得出当P点在圆上时，轮船P与A、B的张角∠APB的最大，根据圆周角定理得出答案．

解答：

解：

∵海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°．

∴当P点在圆上时，轮船P与A、B的张角∠APB的最大，

此时为∠AOB=80°的一半，为40°．

故答案为：

40°．

连接OE，利用三角形的外角性质得出∠ODC的度数，再求出∠DOC，从而求出∠EOG的度数，再利用圆周角定理求出∠EFG的度数．

解答：

解：

连接EO，

∵AD=DO，

∴∠BAC=∠DOA=22°，

∴∠EDO=44°，

∵DO=EO，

连接CO并延长角圆O于点D，连接AD，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识求直径即可．

解答：

解：

连接CO并延长角圆O于点D，连接AD，

∵CD是直径，

∴∠CAD=90°，

∵∠B=30°，

等腰△OAC和△OCD中，根据等腰三角形的两个底角相等的性质求得∠OCD=∠ODC、∠CAO=∠OCA，所以由三角形的内角和求得∠OCD=48°；然后根据角平分线的性质求得∴∠OCA=∠OCA=24°；最后由圆周角定理知：

∠ABD=12∠AOD，∠OCA=12∠AOD．所以∠ABD=∠CAO，进而求得∠ABD+∠CAO=48°．

解答：

解：

∵圆心角的度数和它们对的弧的度数相等，

∴CD^的度数等于84°，即∠COD=84°；

在△COD中，OC=OD（⊙O的半径），

∴∠OCD=∠ODC（等边对等角）；

又∠COD+∠OCD+∠ODC=180°，

∴∠OCD=48°；

而CA是∠OCD的平分线，

∴∠OCA=∠OCA，

∴∠OCA=∠OCA=24°；

在△AOC中，OA=OC（⊙O的半径），

∴∠CAO=∠OCA（等边对等角）；

∵∠ABD=12∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），

∠OCA=12∠AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），

∴∠ABD=∠CAO，

∴∠ABD+∠CAO=48°；

故答案为：

48°．

①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可；

②不能证明CE=OE；

③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③△ODE∽△ADO；

④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠COD=45°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE=45°，

再求证△CED∽△COD，利用其对应变成比例即可得出结论．

解答：

证明：

①∵AB是半圆直径，

∴AO=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，

∴∠CAD=∠DAO=12∠CAB，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∴①正确．

②∵△CED与△AED不全等，

∴CE≠OE，

∴②错误．

③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，其它两角都不相等，

∴不能证明△ODE和△ADO全等，

∴③错误；

④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，

∴∠CAD=12×45°=22.5°，

∴∠COD=45°，

∵AB是半圆直径，

∴OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC=67.5°

∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），

∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-25°=45°，

∴△CED∽△COD，

∴CDOD=CECD，

∴CD2=OD•CE=12AB•CE，

∴2CD2=CE•AB．

∴④正确．

综上所述，只有①③④正确．

故答案为：

①④．

分P点在第一象限，P点在第四象限，由勾股定理即可求得P点的坐标．

解答：

解：

∵OB=2，OA=23，

∴AB=OA2+OB2=4，

∵∠AOP=45°，

P点横纵坐标相等，可设为a．

∵∠AOB=90°，

∴AB是直径，

∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（3，1），

P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2．

过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，

∴∠CFP=90°，

∴PF=a-1，CF=a-3，PC=2，

∴（a-3）2+（a-1）2=22，舍去不合适的根，

可得a=1+3，P（1+3，1+3）；

即P点坐标为（3+1，3+1）．

由圆周角定理知：

∠ABD=12∠AOD=30°，由于BD平分∠ABC，且PE∥AB，可得到∠PEC=2∠DBC=60°，由此可证得△PEB是等腰三角形，即PE=BE=5，过P作BC的垂线PM，通过解直角三角形易求得PM的值，而BD是∠ABC的角平分线，所以P到弦AB、BC的距离相等，由此得解．

解答：

解：

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠ABD=∠AOD=60°，

∵PE∥AB，

∴∠PEC=∠ABC=60°，

∴∠DBC=∠BPE=30°，即PE=BE=5．

过P作PM⊥BC于M，则：

PM=PE•sin60°=532．

若△BEF是直角三角形，则有两种情况：

①∠BFE=90°，②∠BEF=90°；在上述两种情况所得到的直角三角形中，已知了BC边和∠B的度数，即可求得BE的长；AB的长易求得，由AE=AB-BE即可求出AE的长，也就能得出E点运动的距离（有两种情况），根据时间=路程÷速度即可求得t的值．

解答：

解：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°；

Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；

∴AB=2BC=4cm；

①当∠BFE=90°时；

Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；

故此时AE=AB-BE=2cm；

∴E点运动的距离为：

2cm或6cm，故t=1s或3s；

由于0≤t＜3，故t=3s不合题意，舍去；

所以当∠BFE=90°时，t=1s；

②当∠BEF=90°时；

同①可求得BE=0.5cm，此时BE=AB-AE=3.5cm；

∴E点运动的距离为：

3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s；

综上所述，当t的值为1、1.75或2.25s时，△BEF是直角三角形．

作出辅助线，根据半圆或直径所对的圆周角为90°，判断出D为BC的中点，进而判断出DE为△ABC的中位线，根据中位线定理即可解答．

解答：

解：

连接AD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

又∵AB=AC，

∴D为BC的中点，

又∵DE∥AB，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE=12AB=12×4=2．

解：

过P作PF⊥AB，PG⊥BD

∵∠CBD=∠ABC，PE∥AB交BD于点E，∠AOC=60°，BE=3

∴∵∠CBD=∠ABC=30°

∵BC为∠ABD的角平分线，PF=PG

∵PE∥AB

∴∠BPE=∠ABC=∠CBD=30°

∴∠PEG=∠BPE+∠CDB=30°+30°=60°

∵PG⊥BD

∴∠PGE=90°

∴sin∠PEG=PGPE

即PGPE=32

∴PG=32×PE=32×3=332．

解：

（1）∵BD平分∠CBA，

∴∠CBD=∠DBA，

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，

∴∠DAC=∠CBD，

∴∠DAC=∠DBA；

（2）∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AB于E，

∴∠DEB=90°，

∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，

∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，

∴PD=PA，

∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，

∴∠PDF=∠PFD，

∴PD=PF，

∴PA=PF，

即：

P是AF的中点；

（3）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，

∴△FDA∽△ADB，

∴ADDB=AFAB，

∴在Rt△ABD中，tan∠ABD=15210=34，

即：

tan∠ABF=34．

圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

专题：

证明题；几何综合题．

分析：

（1）连接AD，由圆周角定理即可得出∠DAC=∠DEC，∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质即可得出结论；

（2）由∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°可求出∠BAD=45°，利用勾股定理即可得出DC的长，进而求出BC的长，由已知的一对角线段和公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形BCE与三角形EDC相似，由相似得比例即可求出CE的长．

解答：

证明：

（1）连接AD，

∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，

∴∠DAC=∠EBC，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠DCA+∠DAC=90°，

∴∠EBC+∠DCA=90°，

∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，

∴AC⊥BH；

（2）∵∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°，

∴∠BAD=45°，

∴BD=AD，

∵BD=8，∴AD=8，

在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，

根据勾股定理得：

DC=6，则BC=BD+DC=14，

∵∠EBC=∠DEC，∠C公共角，

∴△BCE∽△ECD，

∴BCCE=CECD，即CE2=BC•CD=14×6=84，

∴CE=84=221．

1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角；

（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可；

（3）利用上题证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．

解答：

解：

（1）∠APC=60°，∠BPC=60°；

（2）∵CM∥BP，

∴∠BPM+∠M=180°，

∠PCM=∠BPC=60°，

∴∠M=180°-∠BPM-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，

∴∠M=∠BPC=60，

又∵∠MAC=∠PBC，AC=BC，

∴△ACM≌△BCP；

（3）∵△ACM≌△BCP，

∴CM=CPAM=BP，

又∠M=60°，

∴△PCM为等边三角形，

∴CM=CP=PM=1+2=3，

作PH⊥CM于H，

在Rt△PMH中，∠MPH=30°，

∴PH=323，

∴梯形PBCM的面积为：

12（PB+CM）×PH=12（2+3）×332=1543．

（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；

（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；

（3）由∠BC