河北省届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含答案.docx

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河北省届高三上学期第一次月考数学试题Word版含答案

河北省2021届高三上学期第一次月考

数学

1、项选择题:

本大题共12小题，每小题5分，共600分.

1.已知集合M={x|-4

A.{x|-4

2.已知复数z=（i是虚数单位）,则z的实部为（　　）

A.-　　　B.　　　C.-　　　D.

3.设向量a=（1,1）,b=（-1,3）,c=（2,1）,且（a-λb）⊥c,则λ=（　　）

A.3　　　B.2　　　C.-2　　　D.-3

4.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=（　　）

A.4　　　B.3　　C.2　　　　D.1

5.已知双曲线-=1（a>0,b>0）的左焦点为F,离心率为.若经过F和P（0,4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为（　　）

A.-=1　　　　　B.-=1C.-=1　　　　　D.-=1

6.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,那么不同的选法有（　　）

A.50种　　　B.60种　　　C.70种　　　D.90种

7.为了研究某班学生的脚长x（单位:

厘米）和身高y（单位:

厘米）的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为=x+.已知xi=225,yi=1600,=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为（　　）

A.160　　　B.163　　　C.166　　　D.170

8.要得到函数y=sin2x+cos2x（x∈R）的图象,可将y=2sin2x的图象向左平移（　　）

A.个单位.　　　　　B.个单位.C.个单位　　　　　D.个单位

9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,则=（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

10.给出下列四个函数:

①y=x·sinx;②y=x·cosx;③y=x·|cosx|;④y=x·2x.

这四个函数的部分图象如下,但顺序被打乱了,则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是（　　）

A.①④②③　　　　　B.①④③②

C.④①②③　　　　　D.③④②①

11.设函数f（x）=若互不相等的实数a,b,c满足f（a）=f（b）=f（c）,则2a+2b+2c的取值范围是（　　）

A.（6,7）　　　B.（16,32）　　　C.（17,35）　　　D.（18,34）

12.已知a为常数,函数有两个极值点x1,x2（x1

A.f（x1）>0,f（x2）>-　　　　　B.f（x1）<0,f（x2）<-

C.f（x1）<0,f（x2）>-　　　　　D.f（x1）>0,f（x2）<-

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.二项式的展开式中x5的系数是　　　　.（用数字填写答案） 

14.函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R）,且在区间（-2,2]上,f（x）=则f（f（15））的值为　　　　. 

15.已知f（x）为偶函数,当x<0时,f（x）=ln（-x）+3x,则曲线y=f（x）在点（1,-3）处的切线方程是　　　　. 

16.已知F是抛物线C:

y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=　　　　. 

三、解答题：

本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列{an}满足:

a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.

（1）求an及Sn;

（2）令bn=（n∈N*）,求数列{bn}的前n项和Tn.

18.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知cos2A-3cos（B+C）=1.

（1）求角A的大小;

（2）若a=,b+c=9,求△ABC的面积.

19.某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛,学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练.每队四名运动员,并统计了以往多次比赛成绩,按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗,每场对抗赛都互不影响,当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次.按以往多次比赛统计的结果,甲、乙两队同名次进行对抗时,甲队队员获胜的概率分别为,,,.

（1）进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果?

（2）计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分,失败一方所在的队得0分.设进行一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X,求X的分布列及数学期望.

20.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AD=DC=AP=2,AB=1,BC=.

（1）证明:

AB⊥平面PAD;

（2）若E为棱PC上一点,满足BE⊥AC,求二面角E-AB-P的余弦值.

21.已知离心率为的椭圆+y2=1（a>1）与直线l交于P,Q两点,记直线OP的斜率为k1,直线OQ的斜率为k2.

（1）求椭圆的方程;

（2）若k1·k2=-,则三角形POQ的面积是不是定值?

若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.

21.已知函数f（x）=-x+alnx.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）若f（x）存在两个极值点x1,x2,证明:

数学答案

一、选择题1-5.CBADB6-10.CCBAA11-12.DC

二、填空题　13.3514.15.y=-2x-116.6

三、解答题

17、解析　

（1）设等差数列{an}的公差为d,

因为a3=7,a5+a7=26,所以解得

所以an=3+2（n-1）=2n+1,Sn=3n+×2=n2+2n.

（2）由

（1）知an=2n+1,所以bn===·=·,

所以Tn=·=·=.

18、解析　

（1）在△ABC中,cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA,

则由cos2A-3cos（B+C）=1,得2cos2A+3cosA-2=0,

即（2cosA-1）（cosA+2）=0,解得cosA=或cosA=-2（舍去）.∵0

（2）由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos,∵a=,b+c=9,

∴21=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc,即21=81-3bc,解得bc=20.∴S△ABC=bcsinA=×20×=5.

19、解析　

（1）因为甲、乙两队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生,

所以进行一个轮次对抗赛后一共有24=16种对抗结果.

（2）X的可能取值分别为4,3,2,1,0,P（X=4）=×××==;

P（X=3）=×××+×××+×××+×××==;

P（X=2）=×××+×××+×××+×××+×××+×××==;

P（X=1）=×××+×××+×××+×××==;

P（X=0）=×××==.所以X的分布列为

X

4

3

2

1

0

P

E（X）=4×+3×+2×+1×+0×=2.

20.解析　

（1）证明:

∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.

取CD中点F,连接BF,∵AB∥DF且AB=DF=1,

∴四边形ABFD是平行四边形,则BF=AD=2,∵BF2+CF2=22+12=5=BC2,

∴BF⊥CF,∴四边形ABFD是矩形,∴AB⊥AD,∵PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD.

（2）由

（1）及已知得AB,AD,AP两两垂直,

以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（2,2,0）,P（0,0,2）,

∴=（-2,-2,2）,=（2,2,0）.

由E点在棱PC上,设=λ=（-2λ,-2λ,2λ）（0≤λ≤1）,

则E（2-2λ,2-2λ,2λ）.故=+=（1-2λ,2-2λ,2λ）,

由BE⊥AC,得·=2（1-2λ）+2（2-2λ）=0,解得λ=,即=,

设平面ABE的法向量为n=（a,b,c）,由得

令c=1,则n=（0,-3,1）.取平面ABP的法向量i=（0,1,0）,

设二面角E-AB-P的平面角为α,则cosα===-.

由图知二面角E-AB-P为锐二面角,故二面角E-AB-P的余弦值为.

21、解析　

（1）由题意可知解得a=3,c=2,

所以椭圆的方程为+y2=1.

（2）设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,若直线PQ的斜率不存在,则易算得S△POQ=.

当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,

与椭圆方程联立得（9k2+1）x2+18kmx+9m2-9=0,

则x1+x2=-,x1x2=.

因为|PQ|==,

点O到直线PQ的距离d=,

所以S△POQ=|PQ|·d=3,（※）

由k1k2===-

化简得9k2=2m2-1,代入（※）式得S△POQ=.

综上,得三角形POQ的面积是定值.

22.解析　

（1）f（x）的定义域为（0,+∞）,f'（x）=--1+=-.

（i）若a≤2,则f'（x）≤0,当且仅当a=2,x=1时,f'（x）=0,所以f（x）在（0,+∞）单调递减.

（ii）若a>2,令f'（x）=0,得x=或x=.

当x∈∪时,f'（x）<0;

当x∈时,f'（x）>0.

所以f（x）在,单调递减,在单调递增.

（2）证明:

由

（1）知,f（x）存在两个极值点当且仅当a>2.

由于f（x）的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,

所以x1x2=1,不妨设x11,

由于=--1+a=-2+a=-2+a,

所以

设函数g（x）=-x+2lnx,

由

（1）知,g（x）在（0,+∞）单调递减,

又g

（1）=0,从而当x∈（1,+∞）时,g（x）<0,

所以-x2+2lnx2<0,即