10.若(x2+
)6的展开式中x3的系数是-160,则
A.a=-
B.所有项系数之和为1C.二项式系数之和为64D.常数项为-320
11.已知双曲线C:
的一条渐近线l:
y=2
x,设F1,F2是C的左右焦点,点P在l上,且|OF1|=|OP|,O为坐标原点,则
A.C的虚轴长为4
B.∠F1PF2=90°
C.||PF1|-|PF2||=2D.△PF1F2的面积为6
12.已知f(x)=x-
-sinx。
A.f(x)的零点个数为4B.f(x)的极值点个数为3
C.x轴为曲线y=f(x)的切线D.若f(x1)=f(x2),则x1+x2=π
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知x,y满足约束条件
,则z=2x+y的最小值为。
14.已知等差数列{an}的公差不为零,若a3,a4,a6成等比数列,则a2=。
15.F是抛物线C:
y2=4x的焦点,P是C上且位于第一象限内的点,点P在C的准线上的射影为Q,且|PQ|=2,则△PQF外接圆的方程为。
16.己知四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上、下底面都是正方形,下底面棱长为2,其余各棱长均为1,则该四棱台的外接球的表面积为。
四、解答题:
本题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2。
有以下3个条件:
①2ccosA=b;②2b-a=2ccosA;③a+b=2c。
请在以上3个条件中选择一个,求△ABC面积的最大值。
注:
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。
18.(12分)
在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an-n+1。
(1)证明{an+1-an-n}为等比数列;
(2)求an。
19.(12分)
在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,E是AD的中点。
(1)求证:
平面PBE⊥平面PAD;
(2)直线PB与平面PAD所成角为45°,求二面角C-PE-D的余弦值。
20.(12分)
田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》。
齐国的大将田忌很喜欢赛马,有一回,他和齐威王约定,要进行一场比赛。
双方各自有三匹马,马都可以分为上,中,下三等。
上等马都比中等马强,中等马都比下等马强,但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些,比赛共三局,每局双方分别各派一匹马出场,且每匹马只赛一局,胜两局或三局的一方获得比赛胜利,在比赛之前,双方都不知道对方马的出场顺序。
(1)求在第一局比赛中田忌胜利的概率:
(2)若第一局齐威王派出场的是上等马,而田忌派出场的是下等马,求本场比赛田忌胜利的概率;
(3)写出在一场比赛中田忌胜利的概率(直接写出结果)。
21.(12分)
已知椭圆E:
的离心率为
,直线l:
x=ty+1交E于A,B两点;当t=0时,|AB|=
。
(1)求E的方程;
(2)设A在直线x=3上的射影为D,证明:
直线BD过定点,并求定点坐标。
22.(12分)
已知a>0,函数f(x)=ax-lnx。
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若a>
,证明,f(x)>1-xe-ax。
(提示:
(e-ax)'=-ae-ax)