概率论与数理统计知识点总结Word文档下载推荐.docx
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的方法计算
补例1：
将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？
解：
设A：
“每个盒子恰有1个球”.求：
P（A）=？
Ω所含样本点数：
Α所含样本点数：
补例2：
将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？
解:
设Ai：
“信箱中信的最大封数为i”。
（i=1，2，3）求：
P（Ai）=?
A1所含样本点数：
A2所含样本点数：
A3所含样本点数:
注：
由概率定义得出的几个性质:
1、0〈P（A）〈1
2、P（Ω）=1，P（φ）=0
3概率的加法法则
定理:
设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：
P（A∪B）=P（A）+P（B）
推论1：
设A1、A2、…、An互不相容，则
P（A1+A2+。
。
+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）
推论2:
设A1、A2、…、An构成完备事件组，则
..+An）=1
推论3:
P（A）=1－P（）
推论4：
若BA,则P（B－A）=P（B）－P（A）
推论5（广义加法公式）:
对任意两个事件A与B，有P（A∪B）=P（A）+P（B）－P（AB）
补充-—对偶律：
4条件概率与乘法法则
条件概率公式:
P（A/B）=（P（B）≠0）
P（B/A）=（P（A）≠0）
∴P（AB）=P（A/B）P（B）=P（B/A）P（A）
有时须与P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）中的P（AB）联系解题。
全概率与逆概率公式：
全概率公式：
逆概率公式：
（注意全概率公式和逆概率公式的题型:
将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式；
如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用逆概率公式。
）
5独立试验概型
事件的独立性：
贝努里公式（n重贝努里试验概率计算公式）:
课本P24
另两个解题中常用的结论——
1、定理：
有四对事件:
A与B、A与、与B、与，如果其中有一对相互独立,则其余三对也相互独立.
2、公式：
第二章随机变量及其分布
一、关于离散型随机变量的分布问题
1、求分布列：
⑴确定各种事件，记为ξ写成一行；
⑵计算各种事件概率，记为pk写成第二行.得到的表即为所求的分布列。
注意：
应符合性质——
1、（非负性）2、（可加性和规范性）
将一颗骰子连掷2次，以ξ表示两次所得结果之和,试写出ξ的概率分布。
6×
6=36
所求分布列为:
一袋中有5只乒乓球，编号1，2,3，4，5，在其中同时取3只，以ξ表示取出3只球中最大号码,试写出ξ的概率分布。
Ω所含样本点数:
=10
2、求分布函数F（x）：
分布函数
二、关于连续型随机变量的分布问题：
x∈R,如果随机变量ξ的分布函数F（x）可写成F（x）=，则ξ为连续型。
称概率密度函数.
解题中应该知道的几个关系式：
第三章随机变量数字特征
一、求离散型随机变量ξ的数学期望Eξ=？
数学期望（均值）
二、设ξ为随机变量,f（x）是普通实函数，则η=f（ξ）也是随机变量，求Eη=？
ξ
x1
x2
…
xk
pk
p1
p2
η=f（ξ）
y1
y2
yk
以上计算只要求这种离散型的。
设ξ的概率分布为：
－1
1
2
求：
⑴,的概率分布；
⑵。
因为
η=ξ－1
－2
η=ξ2
4
所以,所求分布列为：
和：
当η=ξ－1时，Eη=E（ξ－1）
=－2×
+（－1）×
+0×
+1×
+×
=1/4
当η=ξ2时，Eη=Eξ2=1×
+4×
=27/8
三、求ξ或η的方差Dξ=？
Dη=？
实用公式=－
其中，==
=
0.4
0。
3
Eξ和Dξ
0.4+0×
3+2×
3=－0。
2=（－2）2×
4+02×
3+22×
0.3=2.8
=2－=2。
8－（－0。
2）2=2.76
第四章几种重要的分布（6个）
常用分布的均值与方差（解题必备速查表）
名称
概率分布或密度
期望
方差
参数
范围
0—1分布
二项分布
np
npq
0<
P<
q=1－p
正态
分布
μ
μ任意
σ〉0
泊松
λ
λ〉0
指数
均匀
解题中经常需要运用的Eξ和Dξ的性质（同志们解题必备速查表）
Eξ的性质
Dξ的性质
—-——--——
第八章参数估计
8.1估计量的优劣标准（以下可作填空或选择）
⑴若总体参数θ的估计量为，如果对任给的ε>
0，有
，则称是θ的一致估计;
⑵如果满足,则称是θ的无偏估计；
⑶如果和均是θ的无偏估计,若，则称是比有效的估计量。
8.3区间估计:
几个术语——
1、设总体分布含有一位置参数,若由样本算得的一个统计量及，对于给定的（0〈〈1）满足:
则称随机区间（，）是的100（1－）%的置信区间，和称为的100（1－）％的置信下、上限，百分数100（1－）％称为置信度（置信水平）.
一、求总体期望（均值）Eξ的置信区间
1、总体方差已知的类型
①据，得＝1－，反查表（课本P260表）得临界值；
②=③求d=④置信区间（-d，+d）
补简例：
设总体随机取4个样本其观测值为12。
6,13。
4，12.8，13.2，求总体均值μ的95％的置信区间。
①∵1－α=0。
95，α=0.05
∴Φ（Uα）=1－=0。
975，反查表得：
Uα=1.96
②
③∵σ=0.3，n=4∴d===0.29
④所以,总体均值μ的α=0.05的置信区间为：
（－d，＋d）=（13－0。
29,13＋0.29）即（12。
71,13.29）
2、总体方差未知的类型（这种类型十分重要!
务必掌握！
！
①据和自由度n－1（n为样本容量）,查表（课本P262表）得；
②确定=和
③求d=④置信区间（-d,+d）
无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。
二、求总体方差的置信区间
①据α和自由度n－1（n为样本数），查表得临界值:
和
②确定=和
③上限下限
④置信区间（下限，上限）
典型例题：
补例1:
课本P166之16已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位:
kg/cm2）:
482493457471510
446435418394469
试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（α＝0.04）。
①∵α=0.04，又n=10，自由度n－1=9
∴查表得,==19.7
==2。
53
②===457。
5
=[++…+］
=1240.28
③上限===4412。
06
下限===566。
63
④所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566。
63，4412.06）
第九章假设检验
必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准
一般思路：
1、提出待检假设H0
2、选择统计量
3、据检验水平，确定临界值
4、计算统计量的值
5、作出判断
检验类型⑵：
未知方差,检验总体期望（均值）μ
①根据题设条件，提出H0:
=（已知）；
②选择统计量;
③据和自由度n－1（n为样本容量），查表（课本P262表）得；
④由样本值算出＝？
和＝?
从而得到；
⑤作出判断
对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2）为：
545,545，530，550，545.根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异?
（α=0.05）
H0：
=549
选择统计量
∵=0。
05，n－1=4,∴查表得：
=2。
776
又∵==543
s2==57.5
∴==1.77〈2.776
∴接受假设,即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。
检验类型⑶：
未知期望（均值）μ，检验总体方差
①根据题设条件，提出H0：
②选择统计量；
③据和自由度n－1（n为样本容量），查表（课本P264表）得临界值：
和；
从而得到;
⑤若<
<
则接受假设,否则拒绝！
补例：
某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差=64，今从一批产品中抽10根作折断力试验，试验结果（单位：
公斤）:
578，572，570，568，572，570,572，596，584，570.是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64?
H0：
=64
∵=0.05，n－1=9,∴查表得:
7
==19
又∵==575。
2
s2==75.73
∴
∴=2。
7<
〈=19
∴接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是64。
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