学年苏科版八年级数学上册《24线段角的轴对称性》同步提升练习附答案.docx

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学年苏科版八年级数学上册《24线段角的轴对称性》同步提升练习附答案

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》同步提升练习（附答案）

1．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（　　）

A．5B．8C．9D．10

2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）

A．2B．4C．6D．8

3．如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（　　）

A．160°B．140°C．130°D．125°

4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）

A．11B．12C．16D．17

5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．1B．

C．2D．无法确定

6．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　）

A．S1＞S2+S3B．S1＝S2+S3C．S1＜S2+S3D．无法确定

7．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．24B．28C．30D．32

8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC＝10cm，那么AE+DE等于（　　）

A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm

9．如图，已知AB+AC＝18，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝3，则四边形ABOC的面积是（　　）

A．36B．27C．20D．18

10．如图，已知：

∠BAC＝100°，若MP和MQ分别是AB、AC的垂直平分线，则∠PAQ＝　　°．

11．如图，在△ABC中，DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，且D点在BC边上，连接AD，则∠BAC＝　　°．

12．如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝10，CF＝2，则AC＝　　．

13．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是　　．

14．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　　．

15．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．

求证：

（1）OC＝OD，

（2）OE是线段CD的垂直平分线．

16．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．

（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；

（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．

（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；

（2）求证：

直线AD是线段CE的垂直平分线．

18．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．

（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；

（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．

19．作图题：

（不写作法，但必须保留作图痕迹）

如图：

某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？

在所给的图形中画出你的设计方案．

20．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．

（1）求证：

AD平分∠BAC；

（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．

21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：

线段BF垂直平分线段AD．

22．如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE＝

BD，求证：

BD是∠ABC的角平分线．

23．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．

求证：

∠BAF＝∠ACF．

24．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．

（1）求证：

PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：

CE＝ED．

参考答案

1．解：

∵△ABC周长为16，

∴AB+BC+AC＝16，

∵AC＝6，

∴AB+BC＝10，

∵EF垂直平分AC，

∴EA＝EC，

∵AB＝AE，AD⊥BC，

∴BD＝DE，

∴AB+BD＝AE+CE＝

×（AB+BC）＝5，

∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，

故选：

A．

2．解：

∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，

∴EB＝EA＝4，

∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，

故选：

C．

3．解：

连接CO，

∵∠AOB＝140°，

∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°，

∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°，

∵O是三边垂直平分线的交点，

∴OA＝OC，OB＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，

∴∠OCA+∠OCB＝70°，

∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，

∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，

∴∠IAB＝

∠CAB，∠IBA＝

∠CBA，

∴∠IAB+∠IBA＝

（∠CAB+∠CBA）＝55°，

∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°，

故选：

D．

4．解：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

∴△ACE的周长＝AC+EC+EA＝AC+EC+EB＝AC+BC，

∵BC＝6，AC＝5，

∴△ACE的周长＝AC+BC＝11，

故选：

A．

5．解：

如图，过点G作GH⊥AB于H．

∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC，

∴GH＝GC＝1，

根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，

故选：

A．

6．解：

过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，

∵O是△ABC的三条角平分线的交点，

∴OD＝OE＝OF，

∵S1＝

•AB•OD，S2+S3＝

•BC•OE+

•AC•OF＝

OD•（BC+AC），

而AB＜BC+AC，

∴S1＜S2+S3．

故选：

C．

7．解：

过D点作DH⊥AB于H，如图，

∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥BA，

∴DH＝DC＝4，

∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝

×5×4+

×9×4＝28．

故选：

B．

8．解：

∵∠ACB＝90°，

∴EC⊥BC，

又∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，

∴CE＝DE，

∴AE+DE＝AE+CE＝AC，

∵AC＝10cm，

∴AE+DE＝AC＝10cm，

故选：

C．

9．解：

过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，

∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于D，OD＝3，

∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，

∵AB+AC＝18，

∴四边形ABOC的面积S＝S△ABO+S△ACO＝

＝

＝

×（AB+AC）＝

×18＝27，

故选：

B．

10．解：

∵∠BAC＝100°，

∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，

∵MP和MQ分别是AB、AC的垂直平分线，

∴PA＝PB，QA＝QC，

∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，

∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C＝80°，

∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）＝20°，

故答案为：

20．

11．解：

∵DE和DF分别是边AB和AC的垂直平分线，

∴BD＝AD，AD＝CD，

∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，

∵∠B+∠C+BAC＝180°，

∴2∠BAD+2∠CAD＝180°，

∴∠BAD+∠CAD＝90°，

即∠BAC＝90°，

故答案为：

90．

12．解：

∵EF是AB的垂直平分线，

∴FA＝BF＝10，

∴AC＝AF+FC＝12．

故答案为：

12．

13．解：

如图所示，过点P作PE⊥BC于E，

∵AB∥CD，PA⊥AB，

∴PD⊥CD，

∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，

∴PA＝PE，PD＝PE，

∴PE＝PA＝PD，

∵PA+PD＝AD＝8，

∴PA＝PD＝4，

∴PE＝4，即点P到BC的距离是4．

故答案为：

4．

14．解：

解法一：

连接BO，并延长BO到P，

∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，

∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，

∴∠DOE+∠ABC＝180°，

∵∠DOE+∠1＝180°，

∴∠ABC＝∠1＝39°，

∵OA＝OB＝OC，

∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，

∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，

∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；

解法二：

连接OB，

∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，

∴AO＝OB＝OC，

∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，

∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，

∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，

∴∠AOD+∠COE＝141°，

∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；

故答案为：

78°．

15．证明：

∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴DE＝CE，OE＝OE，

在Rt△ODE与Rt△OCE中，

，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），

∴OC＝OD；

（2）∵△DOC是等腰三角形，

∵OE是∠AOB的平分线，

∴OE是CD的垂直平分线．

16．解：

（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，

∴AM＝CM，BN＝CN，

∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，

∵△CMN的周长为15cm，

∴AB＝15cm；

（2）∵∠MFN＝70°，

∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，

∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，

∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，

∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，

∵AM＝CM，BN＝CN，

∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，

∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．

17．

（1）解：

∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝

∠BAC＝25°，

∵DE⊥AB，

∴∠AED＝90°，

∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．

（2）证明∵DE⊥AB，

∴∠AED＝90°＝∠ACB，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE＝∠DAC，

∵AD＝AD，

∴△AED≌△ACD，

∴AE＝AC，

∵AD平分∠BAC，

∴AD⊥CE，AD平分线段EC，

即直线AD是线段CE的垂直平分线．

18．解：

（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，

∴AB＝AE＝EC，

∴∠C＝∠CAE，

∵∠BAE＝40°，

∴∠AED＝70°，

∴∠C＝

∠AED＝35°；

（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，

∴AB+BE+EC＝7cm，

即2DE+2EC＝7cm，

∴DE+EC＝DC＝3.5cm．

19．解：

如图所示：

（1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于

MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；

（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于

GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）；

（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．

20．

（1）证明：

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E＝∠DFC＝90°，

∴△BDE与△CDF均为直角三角形，

∵

∴△BDE≌△CDF（HL）．

∴DE＝DF，即AD平分∠BAC；

（2）AB+AC＝2AE．

证明：

∵BE＝CF，AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠CAD，

∵∠E＝∠AFD＝90°，

∴∠ADE＝∠ADF．

在△AED与△AFD中，

∵

，

∴△AED≌△AFD（ASA）．

∴AE＝AF．

∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．

21．证明：

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABC+∠C＝90°，

∵AM⊥BC，

∴∠AMB＝90°，

∴∠ABC+∠BAM＝90°，

∴∠C＝∠BAM，

∵AD平分∠MAC，

∴∠MAD＝∠CAD，

∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，

∵∠ADB＝∠C+∠CAD，

∴∠BAD＝∠ADB，

∴AB＝BD，

∵BE平分∠ABC，

∴BF⊥AD，AF＝FD，

即线段BF垂直平分线段AD．

22．证明：

延长AE、BC交于点F．

∵AE⊥BE，

∴∠BEF＝90°，又∠ACF＝∠ACB＝90°，

∴∠DBC+∠AFC＝∠FAC+∠AFC＝90°，

∴∠DBC＝∠FAC，

在△ACF和△BCD中，

∴△ACF≌△BCD（ASA），

∴AF＝BD．

又AE＝

BD，

∴AE＝

AF＝EF，即点E是AF的中点．

∵BE⊥AF

∴DE是AF的垂直平分线

∴AB＝BF，

根据等腰三角形三线合一的性质可知：

BD是∠ABC的角平分线．

23．证明：

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1＝∠2，

∵FE是AD的垂直平分线，

∴FA＝FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），

∴∠FAD＝∠FDA（等边对等角），

∵∠BAF＝∠FAD+∠1，∠ACF＝∠FDA+∠2，

∴∠BAF＝∠ACF．

24．证明：

（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，

∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，

∴PQ＝PT，PS＝PT，

∴PQ＝PS，

∴AP平分∠DAC，

即PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，

∴∠DAE＝∠CAE，

∵CE⊥AP，

∴∠AED＝∠AEC＝90°，

在△AED和△AEC中

∴△AED≌△AEC，

∴CE＝ED．