左孝凌离散数学课后题答案doc.docx
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左孝凌离散数学课后题答案doc
PoQ
f）设P：
语法错误。
Q：
程序错误。
R：
停机。
（PVQ）-R
⑹解：
a）P:
天气炎热。
Q:
正在下雨。
PAQ
b）P:
天气炎热。
R:
湿度较低。
PAR
c）R:
天正在下雨。
S:
湿度很高。
RVS
d）A:
刘英上山。
B:
李进上山。
AAB
e）M:
老王是革新者。
N:
小李是革新者。
M\/N
f）L:
你看电影。
M:
我看电影。
1L—1M
g）P：
我不看电视。
Q：
我不外出。
R：
我在睡觉。
PAQAR
h）P:
控制台打字机作输入设备。
Q:
控制台打字机作输出设备。
PAQ
1-3
（1）解：
a）不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）
b）是合式公式
c）不是合式公式（括弧不配对）
d）不是合式公式（R和S之间缺少联结词）
e）是合式公式。
（2）解：
a）A是合式公式，（AVB）是合式公式，（A—（AVB））是合式公式。
这个过程可以简记为：
A；（AVB）；（A-（AVB））
同理可记
b）A；-IA；（-1AAB）；（（-iAAB）AA）
c）A；-|A；B；（iA-B）；（B-A）；（GA-B）-（B-A））
d）A；B；（A—B）；（B—A）；（（A—B）V（B—A））
（3）解：
a）（（（（A-C）-（（BAC）-A））-（（BAC）-A））-（A-C））
b）（（B-A）V（A-B））o
（4）解：
a）是由c）式进行代换得到，在c）中用Q代换P,（P-P）代换Q.
1-1,1-2
（1）解：
a）是命题，真值为T□
b）不是命题。
c）是命题，真值要根据具体情况确定。
d）不是命题。
e）是命题，真值为To
f）是命题，真值为To
g）是命题，真值为Fo
h）不是命题。
i）不是命题。
（2）解：
原子命题：
我爱北京天安门。
复合命题：
如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：
a）（-1PAR）-Q
b）Q—R
c）-iP
d）P-iQ
（4）解：
a）设Q:
我将去参加舞会。
R:
我有时间。
P:
天下雨。
Q分（RA-iP）:
我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b）设R:
我在看电视。
Q:
我在吃苹果。
RAQ：
我在看电视边吃苹果。
c）设Q:
—个数是奇数。
R：
—个数不能被2除。
（Q-R）A（R-Q）:
一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
⑸解：
a）设P：
王强身体很好。
Q：
王强成绩很好。
PAQ
b）设P：
小李看书。
Q：
小李听音乐。
PAQ
c）设P：
气候很好。
Q：
气候很热。
PVQ
d）设P：
a和b是偶数。
Q：
a+b是偶数。
P-Q
e）设P：
匹边形ABCD是平行四边形。
Q:
四边形ABCD的对边平行。
PQR
QVR
PV（QVR）
PVQ
（PVQ）VR
TTT
T
T
T
T
TTF
T
T
T
T
TFT
T
T
T
T
TFF
F
T
T
T
FTT
T
T
T
T
FTF
T
T
T
T
FFT
T
T
F
T
FFF
F
F
F
F
所以，PV（QVR）o（PVQ）VRc）
P
Q
QVR
PA（QVR）
PAQ
PAR
（PAQ）V（PAR）
R
T
T
T
T
F
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
T
F
T
T
F
T
T
F
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
所以，PA（QVR）o（PAQ）V（PAR）d）
PQ
-1p
"iQ
-JPV-1Q
i（PAQ）
-IPA-iQ
-1（PVQ）
TI
F
F
F
F
F
F
d）是由a）式进行代换得到，在a）中用P-（Q-P）代换Q.
e）是由b）式进行代换得到，用R代换P,S代换Q,Q代换R,P代换S.
（5）解：
a）P：
你没有给我写信。
R：
信在途中丢失了。
PQ
b）P:
张三不去。
Q:
李四不去。
R:
他就去亠（PAQ）-*R
c）P:
我们能划船。
Q:
我们能跑步。
1（WAQ）
d）P:
你来了。
Q:
他唱歌。
R:
你伴奏。
P-（QoR）
（6）解：
P：
它占据空间。
Q：
它有质量。
R：
它不断变化。
S:
它是物质。
这个人起初主张：
（PAQAR）oS
后来主张：
（PAQ<^S）A（S-R）
这个人开头主张与后来主张的不同点在于：
后来认为有PAQ必同时有R,开头时没有这样的主张。
（7）解：
a）P:
上午下雨。
Q:
我去看电影。
R:
我在家里读书。
S:
我在家里看报。
（-）P-Q）八（P-（RVS））
b）P:
我今天进城。
Q:
天下雨。
iQ-P
c）P:
你走了。
Q:
我留下。
Q—P
1-4
（4）解：
a）
PQR
QAR
PA（QAR）
PAQ
（PAQ）AR
TTT
T
T
T
T
TTF
F
F
T
F
TFT
F
F
F
F
TFF
F
F
F
F
FTT
T
F
F
F
FTF
F
F
F
F
FFT
F
F
F
F
FFF
F
F
F
F
所以，PA（QAR）o（PAQ）ARb）
a）A~*（B—A）o~iAVGBVA）
u>AVGAV~iB）u>AV（A~*-|B）o-!
A—（A-*-|B）
b）-|（AoB）o-|（（AAB）VGAAnB））
o~i（（AAB）V~i（AVB））o（AVB）An（AAB）
或-]（AoB）o~i（（A—B）A（B—A））（（-|AVB）A（iBVA））（（-|AAnB）V（~iAAA）V（BAnB）V（BAA））o~i（（-|AAnB）V（BAA））o-l（-1（AVB））V（AAB）<^>（AVB）An（AAB）
c）-|（A~^B）o-|（-|AVB）oA/\-|B
d）-|（A<-^-B）<=>-]（（A-*B）A（B~*A））
o~i（（-|AVB）A（nBVA））o（AA~iB）V（~iAAB）
e）（（（AABAC）-D）A（C-*（AVBVD）））o（i（AABAC）VD）A（-1CV（AVBVD））o（i（AABAC）VD）A（n（nAAqBAC）VD）o（-1（AABAC）An（-1AAnBAC））VD
（AABAC）V（nAA-iBAC））-Do（（（AAB）V（-1AA-iB））AC）-Do（（C/\（AoB））fD）
f）A-（BVC）o-iAV（BVC）
oGAVB）VCu>~i（AAnB）VCu>（AA~iB）fC
g）（A-D）A（B-D）^hAVD）A（-1BVD）
u>（~iAAqB）VDo1（AVB）VDo（AVB）-D
h）（（AAB）-C）A（B->（DVC））
T
F
F
T
T
T
F
F
F
T
T
F
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
所以，~）（PAQ）o-|PV~iQ,-）（PVQ）o-jPAnQ
（5）解：
如表，对问好所填的地方，可得公式FcF6,可表达为
P
Q
R
Fl
F2
F3
F4
F5
F6
T
T
T
T
F
T
T
F
F
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
F
T
T
T
F
F
F
F
F
T
F
T
T
T
Fl:
（Q—P）—R
F2:
（PA-1QA-]R）V（-1PA-1QA-）R）
F3:
（P—Q）A（QVR）
F4:
（-1PV-iQVR）A（PV-iQVR）
F5:
（-1PV-iQVR）A（-）PV-）QV-）R）
F6:
-）（PVQVR）
（7）证明:
oPVGPVQ）o（PV-）P）VQoTVQ
oT
c）（（P-Q）A（QfR））-（P-R）因为（P-Q）A（Q-*R）n（P-R）所以（P—Q）/\（QfR）为重言式。
d）（（a/\b）V（b/\c）V（cAa））<->（aVb）A（bVc）A（cVa）因为（（aAb）V（bAc）V（cAa））
<»（（aVc）Ab）V（cAa）o（（a\/c）V（cAa））A（bV（cAa））o（a\/c）A（bVc）A（bVa）
所以（（aAb）V（bAc）V（cAa））<-^（aVb）A（bVc）A（cVa）为重言式。
（2）证明：
a）（P-Q）nP-（PAQ）解法1：
设P-Q为T
（1）若P为T,则Q为T,所以PAQ为T,故P-*（PAQ）为T
（2）若P为F,则Q为F,所以PAQ为F,P-（PAQ）为T命题得证
解法2：
设P-（PAQ）为F,则P为T,（PAQ）为F,故必有P为T,Q为F,所以P-Q为F。
解法3：
（P-Q）-（P-（PAQ））
o-i（-1PVQ）V（nPV（PAQ））o-i（-1PVQ）V（（-）PVP）A（-1PVQ））oT
所以（P-Q）nP-（PAQ）
b）（P-Q）-Q^PVQ
设PVQ为F,则P为F,且Q为F,故P-Q为T,（P-Q）-Q为F,
o（-）（AAB）VC）A（-|BV（DVC））o（-1（AAB）A（nBVD））VC0（1（AAB）A-i（nDAB））VC0-1（（AAB）V（nDAB））VCo（（AV-iD）AB）-Co（BA（D-A））-C
（8）解：
a）（（A—B）<->（-|B^~]A））AC
o（GAVB）o（BV-）A））ACo（（-IAVB）o（-1AVB））ACoT/\CoC
b）AV（-|AV（BA-）B））o（AV-iA）V（BA-|B）oT\/FoT
c）（AABAC）V（-）AABAC）
o（AV-iA）A（BAC）oTA（BAC）oBAC
（9）解：
1）设C为T,A为T,B为F,则满足AVCoBVC,但AoB不成立。
2）设C为F,A为T,B为F,则满足AACoBAC,但AoB不成立。
3）由题意知rA和rB的真值相同，所以A和B的真值也相同。
习题1-5
（1）证明：
a）（PA（P-Q））-Q
o（PA（nPVQ））-Qo（PAiP）V（PAQ）-Qo（PAQ）To-i（PAQ）VQ
PViQVQ
o-iPVT
oT
b）-iP-（P-Q）
所以（PoQ）AQ^P
解法2:
由体题可知，即证（（PoQ）AQ）—P是永真式。
（（PoQ）AQT<^（（（PAQ）VhPAnQ））AQ）-P0（1（（PAQ）VhPAnQ））VnQ）VPo（（（-iPV-iQ）A（PVQ））V-）Q）VP0（（-1QV-）PV-|Q）AhQVPVQ））VP0（（-1QV-）P）AT）VP
o-iQV-iPVPo~iQVToT
（6）解：
P：
我学习Q：
我数学不及格R：
我热衷于玩扑克。
如果我学习，那么我数学不会不及格：
P—）Q
如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习：
rR-P但我数学不及格：
Q
因此我热衷于玩扑克。
R
即本题符号化为：
（P-*-!
Q）A（~iR-*P）AQ=>R证：
证法1：
（（P—1Q）A（nR^P）AQ）-*Ro1（GPV-）Q）A（RVP）AQ）VRo（PAQ）VGRA-iP）V-iQVRo（（-iQVP）A（-1QVQ））V（（RVnR）A（RV-|P））o-iQVPVRV-iPoT
所以，论证有效。
证法2：
设（P—|Q）A（-1R-P）AQ为T,则因Q为T,（P-Q）为T,可得P为F,由GR-P）为T,得到R为T。
故本题论证有效。
（7）解：
P：
6是偶数Q：
7被2除尽R：
5是素数
所以（P-Q）-Q^PVQo
c）（Qf（PAnP））-（R-（R-（PAnP）））nR-Q
设RfQ为F,则R为T,且Q为F,又PAnP为F所以Q-*（PAiP）为T,R-（PA-|P）为F
所以R-（R-（PA-iP））为F,所以（Q-*（PAnP））-（R-（R-（P/\-IP）））为F
即（Q-（PA-iP））-（R-（R-（PA-iP）））nR-Q成立。
（3）解：
a）P-Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。
b）a）的逆换式Q-P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。
c）a）的反换式rP—1Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。
d）a）的逆反式rQ-1P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。
（4）解：
a）如果天下雨，我不去。
设P：
天下雨。
Q：
我不去。
P-Q
逆换式Q-P表示命题:
如果我不去，则天下雨。
逆反式iQ—|P表示命题:
如果我去，则天不下雨
b）仅当你走我将留下。
设S：
你走了。
R：
我将留下。
R-S逆换式S-R表示命题：
如果你走了则我将留下。
逆反式iS--|R表示命题：
如果你不走，则我不留下。
c）如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。
设E：
我不能获得更多帮助。
H：
我不能完成这个任务。
E-H逆换式H-E表示命题：
我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。
逆反式表示命题：
我完成这个任务，则我能获得更多帮助
（5）试证明PoQ,Q逻辑蕴含P。
证明：
解法1：
本题要求证明（PoQ）AQ^P,
设（PoQ）AQ为T,则（PoQ）为T,Q为T,故由o的定义，必有P为To
f）（AAB）-C,-iD,-iCVD^-|AV-iB
设（AAB）-C,-iD,nCVD为T,则-）D为T,-）CVD为T,所以C为F
又（AAB）-C为T,所以AAB为F,所以AV-|B为T。
命题得证。
（9）解：
a）如果他有勇气，他将得胜。
P:
他有勇气原命题：
P-Q说明他没勇气。
Q：
他将得胜
逆反式：
rQf~iP表示：
如果他失败了，
b）仅当他不累他将得胜。
P：
他不累原命题：
Q—P失败。
Q：
他得胜
逆反式：
rPf~iQ表不：
如果他累，他将
习题1_6
⑴解：
a）（PAQ）AnPo（P/\-）P）AQo-i（TVQ）
b）（P-*（QV-|R））A-iPAQ
o（-1PV（QV-|R））AnPAQ0（-1PA-iPAQ）V（QA-iPAQ）V（iRAiPAQ）0（1PAQ）V（iPAQ）V（-1PA-iRAQ）o-!
PAQ
（PV~iQ）
c）-iPA-iQA（nR^P）o-iPA-iQA（RVP）
o（-iPA-iQAR）V（-]PA-iQAP）o（-iPAnQAR）VFo-]PA~iQAR<=>~i（PVQV-]R）
⑵解：
a）-|PoP（P
b）PVQoi（PIQ）o（PIQ）I（PIQ）
c）PAQo-）PJ-iQo（PIP）I（QIQ）
如果6是偶数，则7被2除不尽Q
或5不是素数，或7被2除尽RVQ
5是素数R
所以6是奇数-IP
即本题符号化为：
（P—-!
Q）A（1RVQ）AR=>~）P证：
证法1：
（（P—）Q）A（nRVQ）AR）-nP
on（（~iPV~iQ）A（nRVQ）AR）V~iP
o（（PAQ）V（RAnQ）VnR）VnP
o（（-IPVP）A（nPVQ））V（（-）RVR）A（nRV-）o（-1PVQ）V（nRV-iQ）
oT
所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。
证法2：
（P-nQ）A（-）RVQ）AR为T,则有R为T,且-）RVQ为T,故Q为T,再由P—IQ为T,得到-iP为T。
（8）证明：
a）P*P-Q）
设P为T,贝卜]P为F,故-]P-Q为T
b）-iAABAC^C
假定-lAABAC为T,则C为T。
c）C^AVBV-iB
因为AVBV-iB为永真，所以C^>AVBV-iB成立。
d）-|（AAB）=>-|AV~iB
设1（AAB）为T,则AAB为Fo
命题得证。
e）-|A-*（BVC）,DVE,（DVE）—）A^BVC设-lA-（BVC）,DVE,（DVE）—iA为T,则DVE为T,（DVE）—iA为T,所以-|A为T
X-iA-（BVC）为T,所以BVC为T。
命题得证。
故（PIQ）IRPI（QIR）.
（7）证明：
设变元P,Q,用连结词分,-i作用于P,Q得到：
P,Q,-iP，IQ，PoQ，PoP,QoQ,QoP。
但P0Q0Q0P,P0P0Q0Q,故实际有：
P,Q,1P，-IQ，PoQ，PoP（T）（A）
用r作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：
P,Q,~iP，~1Q，~|（PoQ）,T,F,PoQ（B）
用刁作用于（A）类，得到：
PoQ,Po-|PoF,Po-）Qo-）（PoQ）,Po（PoQ）oQ,Po（PoP）oP,
Qo-iPo-|（PoQ）,Qo-|QoF,Q令（PoQ）oP,QoToQ,
nPo~iQoPoQ,-|Po（PoQ）o-|Q,-|PoTo-|P,
1Qo（PoQ）o~iP,nQoTo-]Q,
（PoQ）o（PoQ）0P0Q.
因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。
对（B）类使用r运算得：
~iP，~iQ，P，Q，PoQ,F,T,
-I（PoQ）,
仍在（B）类中。
对（B）类使用o运算得：
PoQ,Po~iPoF,Po-|Qo~i（PoQ）,Po-|（PoQ）o-|Q,PoToP,PoFo-jP,Po（PoQ）oQ,
Qo~iPo~i（PoQ）,Qo~iQoF,Q<->-|（PoQ）o-）P,QoToQ,QoFu>-]Q,Qo（PoQ）oP,
~1Po~iQoPoQ,-|Po-|（PoQ）oQ,-）PoTo-|P,-|PoFoP,P<->（PoQ）o~iQ,
~iQo~i（PoQ）oP,~iQoTo-]Q,-|QoTo-|Q,-|Q<->（PoQ）o-|P,
n（PoQ）oTo-）（PoQ）,-]（PoQ）0F0P0Q,（PoQ）o（PoQ）oF
ToFoF,To（PoQ）oPoQ
F分（PoQ）on（PoQ）
⑶解：
P-GP-Q）o-iPV（PVQ）oToiPVPo（-]Pt-iP）t（PtP）oPf（PfP）
P-GP-Q）
o-iPV（PVQ）
oT
oiPVP
O~]（-|PIP）
0-1（（PJP）；P）
o（（PJP）IP）I（（PIP）IP）
⑷解：
PtQ
o~i（-）PI~iQ）
oi（（PiP）I（Q!
Q））
o（（PIP）I（QIQ））I（（PIP）I（QIQ））
（5）证明:
-l（BfC）
o~i（-|BVnC）
o~iBI~iC
-l（BIC）
o-|（-]BA~iC）
o~iBf-|C
（6）解：
联结词“f”和“I”不满足结合律。
举例如下：
a）给出一组萨派：
P为T,Q为F,R为F,则（PtQ）tR为T,Pt（QtR）为F4
故（PtQ）tRPt（QfR）.
b）给出一组指派：
P为T,Q为F,R为F,则（PIQ）JR为T,PJ（QJR）为F菸
⑵解：
a）（-1P/\Q）~R
o~i（~iPAQ）VRoPV-iQVRo（PAQ）V（PA-iQ）V（-1QAR）VGQAnR）V（RAP）V（RAnP）
b）P-（（QAR）-*S）
o-iPV（n（QAR）VS）o-|PV-]QV~iRVSu>GPAQ）V（~iPA~iQ）V（~iQAR）V（~iQA-）R）V（nRAS）V（-iRA-iS）V（SAP）V（SA-|P）
c）-i（PV-iQ）A（S-T）oGPAQ）A（nSVT）
o（-iPAQA-iS）V（nPAQAT）
d）（PT）-R
o-|（-|PVQ）VRo（P/\-）Q）VRo（PVR）八（-1QVR）
e）-i（PAQ）A（PVQ）oGPV-iQ）A（PVQ）
oGPAP）V（-]PAQ）V（-1QAP）VGQAQ）o（-1PAQ）V（-）QAP）
⑶解：
a）PV（nPAQAR）o（PV-）P）A（PVQ）A（PVR）
^（PV
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