柯西不等式的变形公式的妙用.docx
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柯西不等式的变形公式的妙用
柯西不等式的变形公式的妙用
柯西不等式晌丝形公式的她用
湖北省襄阳市第一中学王勇龚俊峰441000
柯西不等式具有对称和谐的结构,应用的关键在
于抓住问题的结构特征,找准解题的正确方向,合理
地变形,巧妙地构造.作为新课程的选修内容,柯西不
等式（简记为"方和积不小于积和方"）在数学的多个
领域都有着广泛的应用.课堂教学中,笔者与学生共
同探究了柯西不等式的一个变形公式的应用,方便快
捷,妙不可言,达到了化难为易,化繁为简,化陌生为
熟悉的目的.
柯西不等式的变形公式:
设a,n,…,a为实
数,b,bz,…,为正数,则等+薏十…+筹≥
b1+62+…+
等号.
当且仅当一薏一?
一时取
址明:
田tⅡJ四个寺瓦,侍
（（22十~t2+…+等）（64.b24.…+）
（）+（老）+..?
+（老）.][c,z
+（）4-…+（）!
]
≥（.+老'+...+老.）
一（口l十以2+…+甜）.
.
.
.bl,b2,…～b为正数,...bl4"b24-…+>O,
.
?
.
鲁+譬+…+譬≥.
当且仅当一-...一卿一…
时取等号.
下面分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题
方法.
1在代数中的妙用
例1设n,b,C均为正数,且不全相等,求证:
++>.
证明:
由柯西不等式的变形公式,得
++一:
一
04.b6+f.f+n2（a+6）.2（bq-一c）
l2
.2（c+a）
（2+2+2）0
2（n+6）+2（64-c）+2（f+0）
4（a+6+f）
一
——
a4"b4"c'
当且仅当一一,即6
—6+f:
f+n,亦即a~b=c时,上述不等式取等号.
因题设a,b,c不全相等,于是9l_+赢9+?
）
0
>?
._..I◆
点评:
将十+变形为+
十,为应用柯西不等式的变形公式创十,为应用柯西不等式的变形公式创
造了条件.本题注意阐明等号取不到的理由.
例2若（z,b,cE（0,1）,满足ab+bc+ca=1,求
++的最/J,值.
解析:
由柯西不等式的变形公式,得
.—1_—L一_—L
1一a1一b.1一c
izl1I1
1一.1一厅'1一f
≥导
9
3一（n+6+C）'
而n+6+c≥+bc+cn,
.
'
.n2+b2+c+2（ab+bc+ca）≥3（ab+bc+ca）,
nO（口+6+f）z≥3×1,亦即日+6+c≥.
.
?
.
上
1--a
++≥-3"---
9_
（a+b+c）≥'.——十十
3一
3（3+43）一————一'
当且仅当一6一c一每时,上述几个不等式同时
取等号.
.
?
.
上+—l_+l_的最小值为旦一1一
n1—6.1一C2
点评:
将++变形为12+12
+}是求解的基础.后续所用到的n+6.+c≥"6
+6c+及（n+6+c）≥3（a6++∞）是常用的重
要结论,应切实掌握.
例3已知实数n,b,C,d满足,"++c+一3,
a+2bz+3c+6d.一5,试求n的取值范围.
●
分析:
分离参数n,利用柯西不等式的变形公式
把方程化为关于参数n的不等式,解不等式即可.
解析:
由已知得,6+f+一3一口.2+3c2-6d
一5一n.
由柯西不等式的变形公式,得
5--az=2b.+3c+6d一Tb2十Tc2十Td2
百百
≥6+升'
.
'
.
5一n≥（3--a）,解得l≤&≤2.
.
'
.n的取值范围为[1,2].
例4已知-z,,∈R+,求证:
+
+z百3?
证明:
令-T++—,则
x
v十z
~y+zx+2y+zx+y+一2z一生t+x+
2z+十z
tY+案t十十2
一s…（+南+）.
由柯西不等式的变形公式,得
+南+=+焉+
～
（1+1+1）一
9
干F而干（￡+）一4t'
.
?
.
上
2x+y+z+i+上2y+z++y+2z≤3一￡'4t.'I
z
.
3一9一
_
3
.
点评:
本题先用换元法将所证不等式的左边进行
变形,为下一步活用柯西不等式的变形公式奠基.本
题有一定的难度,极富思考性和挑战性.
2在三角中的妙用
例5若口,』9,y均为锐角,且满足COSd+co十
COS.y一1,
求证:
cOtZa十c.+cot2号.
证明:
要证cot2a+c.t+c.t2号,
只需证冬+嚣+,≥导,
sin
++
sin≥号,口slJyZ
靴+十南≥詈.
由cosg-~-cos/~-}-COS）,一1易得sina+sin.口+
sin2）,一2.
由柯西不等式的变形公式,得
++南++
（1+1+1）.9
~-
sin2a+sin2fl+sin27--2'
.
'
.
原不等式成立.
点评:
本题联袂使用切割化弦法,分析法及柯西
不等式的变形公式等方可圆满解决.
例6设a,I9,y∈（o,号）,且sin2.+sin2/?
+
sin27—1,
求证:
+曼
slny
+
slna
1.
Sln.
证明:
由柯西不等式的变形公式,得
上上曼i出
slnsin）'slno:
一—
（sin—
2
a）2_L!
:
4-一
（sin27）2
sinasinfl.sin/5'sin7'sln）'s1'1~
!
±sin2垒±sz）,/
simsi+siiny+sinySim
sinasinp+sin~sinT+sinTsina'
当且仅当==时取等号.
又..sinZa+sinZfl+sin2）,sinasinfl+sinflsin?
-
t-smTsma,
一
0%sirasisirCsin）,+sinysir~≤1,
故所证不等式成立.
点评:
本题将+巫
sin?
+变形为蔷
++是破解问题的突破口,辅之重要
结论口+6+f2~ab+bc+ca的应用,可实现第二次
放缩而得证.
例7已知a,均为锐角,且寒+一1,:
求
证:
+卢一号.
证明:
由柯西不等式的变形公式,得
—
COS—
4
ot4-—
sin—
4
a一（cos口）l（sin2）\
sin2fl.c0s.卢～sin2fl'/
（COSa+sin~a）
sin+cos0
上式岢矾~兀贾尔什足COS20t一sinea
注意到a,均为锐角,
所以簧摹cOc0一simsin
?
'
?
cos（a+/~）一c0co--sinasin~=0,
又O<a+fl<u,
?
a+8一专.
点评:
利用柯西不等式的变形公式并灵活应用取
等条件可以使许多数学问题的解决变得犹如囊中取
物,易如反掌.
例8设n,6是非零实数,zER,且曼+兰
以0
上
00+6'
求喾+譬的值.
解析:
由柯西不等式的变形公式,得
..?
..I◆
sinz.COS-T（sin2z）I（cos.Iz）
n2.b2n62
≥"2+b2'
上式等号成立的充要条件是一COSzaT
令sinax一COS2:
27一是,
则是一—sin2x~丽co—s2x
1
口0+b'
所以
上—
（COS2—
X）1004
beOO
.COS..z（sin2）1004
6..0n0..
（n是）...（是）.
一■十—
一k（a+b）一
11003
×（口+6）（
n十b.）1004一
（&+b2）'
点评:
用柯西不等式的变形公式的取等条件解决
一
些技巧性较强的竞赛试题,可收到一招制胜之
奇效.
3在几何中的妙用
例9如图1所示,等腰
直角三角形AOB的一直角边
为1,在此三角形内任取点P,
过P分别引三边的平行线,与
各边围成以P为顶点的三个0
三角形（图中阴影部分）,求这图l
三个三角形的面积和的最小
值以及达到最小值时P点的位置.
分析:
首先建立直角坐标系,然后建立三个三角
形的面积和S与,的函数关系式,最后利用柯西
不等式的变形公式求最值.
如图2所示的直角坐标系,
则AB所在直线的方程为
z+一1,记P点坐标为P
（zr,yP）,则以P为公共顶
点的三个三角形的面积和
s—1zP2
121
图2
（1--32p--yp）.
由柯西不等式的变形公式,得
s一譬+誓+
≥
一
上
6'
当且仅当警一号一时,等号成立,即
一
一
专时,面积和s最小,且最小值为s
1
R'
所以三个三角形的面积之和的最小值为{,此
时点P到两直角边的距离均为{.
点评:
解此题的关键是用P点的坐标表示出三
个三角形的面积.观察图形,可以看出:
靠近轴的等
腰直角三角形的直角边长为Y,靠近Y轴的等腰直
角三角形的直角边长为z,靠近斜边的等腰直角三
角形的直角边长为1一即mXp.
例10P为AABC内一点,D,E,F分别为P到
BC,CA,AB各边所引垂线的垂足,求使++
AB求使取最小值时的P点.
解析:
如图3,连接AP,BP,CP,设AABC的面
解析:
分别取OA,OB所在直线为轴,Y轴建立积为s,则有
●
C
BC.PD+cA'PE由净B'PF一2s.
由柯西不等式的变形公式,得
BCCA.AB
PDPE.PF
BC2.CA.AB
BC?
PD.CA?
PE.AB?
PF
（BC+CA+AB）0
/BC?
PD+CA?
PE+AB?
PF
?
一一
S.（其中夕为△ABc的半周长）
当且仅当一一
～
竺==A一
圈4
设点F（x,）（>O）,所以四边形AEBF的面积
S一2（S△F+Szxa~）一z+2.
由柯西不等式的变形公式,得
X2
+y2一等+≥
一
!
±
8'
.
?
.-z+2y≤2,当且仅当寺一挈,注意到等+
一阳一…,（+雨CA+）
2一
_誊_'
因而使++取最小值时的P点是
△ABC的内心.
点评:
本题先利用柯西不等式的变形公式求出
++的最小值,再由柯西不等式的变形公
式中取等号的条件得出PD=PE=PF,进而得出P
点是△ABC的内心.
例11设椭圆中心在坐标原点,A（2,0）,B（O,1）
是它的两个顶点,直线y=kx（k~O）与AB相交于点
D,与椭圆相交于E,F两点.求四边形AEBF面积的
最大值.
解析:
依题意知:
椭圆的方程为4+y一1,
lB0l一1,lAO{一2,.如图4所示,由椭圆的对称性
易知四边形AEBF的面积等于四边形AOBF的面积
的两倍.
点评:
观察目标函数S=z+2y的结构特征,将
+z变形为5172+
4以便于利用柯西不等式的
变形公式是求解问题的关键,敬请读者细细品味:
和充
分领悟.
..?
◆
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