小学奥数教程圆与扇形计算题doc.docx

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小学奥数教程圆与扇形计算题doc

圆与扇形

例题精讲

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．

圆的面积

πr

2

；扇形的面积π

2

n

；

r

360

圆的周长

2πr

；扇形的弧长

2

π

n

．

r

360

一、跟曲线有关的图形元素：

①扇形：

扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的1圆、1圆、1圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几

246

分之几．那么一般的求法是什么呢关键是n．

360

比如：

扇形的面积所在圆的面积n；

360

n

扇形中的弧长部分所在圆的周长

360

扇形的周长

所在圆的周长

n

半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长）

2

360

②弓形：

弓形一般不要求周长，主要求面积．

一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．（除了半圆）

③”弯角”：

如图：

弯角的面积正方形-扇形

④”谷子”：

如图：

“谷子”的面积弓形面积2

二、常用的思想方法：

①转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）

②等积变形（割补、平移、旋转等）

③借来还去（加减法）

④外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”）

板块、曲线型旋转问题

【例

1】正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，

点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米如果三角形面积是

过程中扫过的面积是多少平方厘米（结果保留π）

使A点再次落在这条直线上，那么

15平方厘米，那么三角形在滚动

A

B

A

C

B

A

【考点】曲线型旋转问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】如图所示，

A点在翻滚过程中经过的路线为两段

120的圆弧，所以路线的总长度为：

2π6120

28π厘米；

360

120

三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个

的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：

π6212021524π15平方厘米．

360

【答案】24π15

【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米．如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B1，C1点；再绕B1点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C1点分别到达A2，C2点．求C点经C1到C2走过的路径的长．

A2

B

C1

60Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

30

C

A

B1

C2

【考点】曲线型旋转问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】由于BC为AC的一半，所以

CAB

30

，则弧CC1

为大圆周长的

180

30

5，弧C1C2

为小圆

360

12

周长的

1，而CC1C1C2即为C点经C1到C2的路径，所以

C点经C1到C2

走过的路径的长为

4

2π20

5

1

50

5π

65

（厘米）．

2π

10

3

π

3

π

12

4

【答案】65π

3

【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为

4cm和3cm的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5cm．让这

个长方形绕顶点

B

顺时针旋转

后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点

A

到达点

E

的位

90°

置．求点A走过的路程的长．

A1

A2

Ⅲ

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅰ

Ⅱ

Ⅳ

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

【考点】曲线型旋转问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】因为长方形旋转了三次，所以

A点在整个运动过程中也走了三段路程

（如右上图所示）．

这三段路程分别是：

第1段是弧AA1

，它的长度是2

π4

1

（cm）；

4

第2段是弧A1A2，它的长度是2

π5

1（cm）；

4

第3段是弧A2E，它的长度是2

π3

1（cm）；

4

所以A点走过的路程长为：

2

π4

1

2π51

2

π3

1

6π（cm）．

【答案】6π

4

4

4

【例2】草场上有一个长

20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30

米的绳子拴着一只羊

（见如

图）．问：

这只羊能够活动的范围有多大

（圆周率取3.14

）

30

30

A

10

10

C

20

B

【考点】曲线型旋转问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】如图所示，羊活动的范围可以分为

A，B，C三部分，其中A是半径30米的3个圆，B，C分别是

米和10米的1个圆．

4

半径为20

4

所以羊活动的范围是

π302

3

π2021

π102

1

4

4

4

π

302

3

202

1

102

1

4

4

4

2512．

【答案】2512

【巩固】一只狗被拴在底座为边长

3m

的等边三角形建筑物的墙角上

（如图），绳长是

4m，求狗所能到的地方

的总面积．（圆周率按

3.14计算）

33

【考点】曲线型旋转问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】如图所示，羊活动的范围是一个半径

4m，圆心角300°的扇形与两个半径

1m，圆心角120°的扇

形之和．所以答案是

43.96m

2．

【答案】

【例3】如图是一个直径为

3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转

60，此时B点移动到B'

点，求阴影部分的面积．（图中长度单位为cm，圆周率按3计算）．

B'

60

A

B

【考点】曲线型旋转问题【解析】面积圆心角为

【难度】3星

60的扇形面积

【题型】解答

半圆空白部分面积

（也是半圆

）

圆心角为

60

的扇形面积

60π323π4.5（cm2）．

3602

【答案】

【例

4】

如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，

中心，将ABC顺时针旋转120，点A、C分别到达点

中阴影部分的面积．（π取3）

ABCE、

60，此时

D的位置．求

BC长5厘米．以点B为

AC边扫过的图形即图

E

C

A

B

D

【考点】曲线型旋转问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】注意分割、平移、补齐．

E

C

（1）

（2）

A

B

D

如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，

因为EBD60，那么

ABE

120

，

则阴影部分为一圆环的

1．

3

所以阴影部分面积为

1

πAB

2

BC

2

75（平方厘米）．

【答案】75

3

【巩固】如右图，以OA为斜边的直角三角形的面积是

24平方厘米，斜边长

10厘米，将它以O点为中心旋

转90，问：

三角形扫过的面积是多少

（π取3）

A

O

A'

【考点】曲线型旋转问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之

一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边

OA．

因此可以求得，三角形扫过的面积为：

1

π10

102425π99（

平方厘米）．

24

【答案】99

4

【巩固】（“学而思杯”数学试题）如图，直角三角形ABC中，

B为直角，且BC

2厘米，AC

4厘米，

则在将ABC绕C点顺时针旋转120

的过程中，AB边扫过图形的面积为

．（π3.14）

AA

B'

B

C

B

C

A'

【考点】曲线型旋转问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】如右上图所示，假设

ABC旋转120到达A'B'C的位置．阴影部分为

AB边扫过的图形．

从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于

扇形ACA'的面积与

ABC的面积之和，空白部分面积等于扇形

BCB'的面积与A'B'C的面积，由

于ABC的面积与

A'B'C的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形

ACA'与扇形BCB'的面积之

差，为120

π42

120

π22

4π12.56（平方厘米）．

360

360

【答案】

【例5】如下图，△

是一个等腰直角三角形，直角边的长度是

1米。

现在以C点为圆点，顺时针旋转

ABC

90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是平方米

。

（

=）

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。

r

r

r

1

1

1

1

因为r2

r2

12，所以r2

1。

2

所求面积为

121

12

1

12

r2

1

4

1

0.6775（平方米）

4

2

4

2

8

【答案】

【例6】如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转

90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分

的面积．（

取

AD

BC

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如下图所示，

AD

ADBDA

BAB

BDB

CCD

如下图所示，端点

A扫过的轨迹为

AAA，端点D扫过轨迹为DDD，而AD之间的点，扫过的轨迹

在以A、D轨迹，AD，AD所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段

AD上某点扫过，

所以AD边扫过的图形为阴影部分．显然

有阴影部分面积为

S直角ADC

S扇形ACA

S直角ACD

S扇形CDD,而直角三角形ADC、ACD面积相等．

S直角ADC

S扇形ACAS直角ACD

S扇形CDD=S扇形ACA

S扇形CDD

=90

AC2

90

CD2

（52

42）

9

7.065（平方厘米）

360

360

4

4

即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米．

【答案】

【例7】（祖冲之杯竞赛试题）如图，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C点按顺

时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积．

AB

DC

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的1，如图：

4

A'

AB

D

C

B'

因此DC边扫过图形的面积为

，

BC

边扫过图形的面积为

9π．

4π

4

2、研究AB边的情况．

在整个AB边上，距离C点最近的点是

B点，最远的点是

A点，因此整条线段所扫过部分应该介于

这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：

A'

AB

D

C

B'

下面来求这部分的面积．

观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：

扇形ACA'面积＋三角形

A'B'C面积－三角形

ABC面积一扇形

BCB'面积＝扇形ACA'面积一扇形

BCB'面积

52π32π4π

4

4

3、研究AD边扫过的图形．

由于在整条线段上距离

C点最远的点是

A，最近的点是

D，所以我们可以画出

AD边扫过的图形，

如图阴影部分所示：

A'

AB

D

C

B'

用与前面同样的方法可以求出面积为：

52π42π

9π

4

4

4

旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接

告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．

可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的．

【答案】

（1）BC边扫过图形的面积为

9π

4

（2）AB边扫过图形的面积为

4π

（3）AD边扫过图形的面积为

9π

4

（4）DC边扫过图形的面积为

4π

【例8】（华杯赛初赛）半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小

铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点A，观察半径OA，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到

与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径OA也运动到了与初始时相对的位置．这时

OA沿大环内壁才滚动了半圈．继续进行下半圈，直到OA与初始位置重合，这时OA自身转了1圈，

因此小铁环自身也转了1圈．

A

O

O

A

⑴⑵

【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈．所以本题也可以考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自

己的圆周长，那么小铁环转动了1圈．

【答案】1圈

【巩固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁

环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】如图，同样考虑小圆的一条半径OA，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径

OA滚动了540，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了3圈．

OAAO

⑴⑵

也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个圆的

周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题

中小圆自身转了3圈．

【答案】3圈

【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n（n1）倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的滚动一圈后又

回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周

【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答

【解析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．

设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“n”．

⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为

2π（n1）．

所以小圆绕自己的圆心转动了：

2π（n

1）

2π

n1（圈）．

图

（1）图

（2）

⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．

因为圆心滚动的距离为2π（n

1）．

所以小圆绕自己的圆心转动了：

2π（n1）

（圈）．

n1

2π

【答案】n-1和n+1

【例9】如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置．问：

这枚硬币自身转动了多少圈

【考点】曲线型旋转问题

【难度】3星

【题型】解答

【解析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬

币的圆心相当于沿着半径为硬币

2倍的圆旋转了180606060

．而硬币上的每一点都是半径

等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了

120°．

当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币

2倍的圆旋转

了360

60

60

90

150．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转

了300o．

长方形的外圈有

12

个硬币，其中有

4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有

8次是

在长方形的一条边之内滚动，

4次是从长方形的一条边滚动到另一条边．

120

83004

2160，

所以这枚硬币转动了

2160o，即自身转动了

6圈．

另解：

通过计算圆心轨迹的长度，每走一个

即滚动了一周．

【答案】6圈

2π

【巩固】12个相同的硬币可以排成下面的

4种正