勾股定理16种经典证明方法.docx

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勾股定理16种经典证明方法

勾股定理16种经典证明方法

勾股定理的证明

【证法1】

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即

，整理得

.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于

.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵EF=FG=GH=HE=b―a,

∠HEF=90º.

∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于

.

∴

.

∴

.

【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于

.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90º,

∴∠AED+∠BEC=90º.

∴∠DEC=180º―90º=90º.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于

.

又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,

∴AD∥BC.

∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于

.

∴

.

∴

.

【证法5】（梅文鼎证明）

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

∴∠EGF=∠BED，

∵∠EGF+∠GEF=90°，

∴∠BED+∠GEF=90°，

∴∠BEG=180º―90º=90º.

又∵AB=BE=EG=GA=c，

∴ABEG是一个边长为c的正方形.

∴∠ABC+∠CBE=90º.

∵RtΔABC≌RtΔEBD,

∴∠ABC=∠EBD.

∴∠EBD+∠CBE=90º.

即∠CBD=90º.

又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，

BC=BD=a.

∴BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

∴

.

【证法6】（项明达证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA=90º，QP∥BC，

∴∠MPC=90º，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP=90º，

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90º.

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，

∴∠QBM=∠ABC，

又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

【证法7】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CL⊥DE，

交AB于点M，交DE于点

L.

∵AF=AC，AB=AD，

∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面积等于

，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴矩形ADLM的面积=

.

同理可证，矩形MLEB的面积=

.

∵正方形ADEB的面积

=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴

，即

.

【证法8】（利用相似三角形性质证明）

【证法9】（杨作玫证明）

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，

∴∠DAH=∠BAC.

又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，

AD=AB=c，

∴RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴DH=BC=a，AH=AC=b.

由作法可知，PBCA是一个矩形，

所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=

CA=b，AP=a，从而PH=b―a.

∵RtΔDGT≌RtΔBCA,

RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴RtΔDGT≌RtΔDHA.

∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.

又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，

∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，

∴DGFH是一个边长为a的正方形.

∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.

∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

①

∵

=

，

，

∴

=

.②

把②代入①，得

=

=

.

∴

.

【证法10】（李锐证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.

∵∠

TBE=∠ABH=90º，

∴∠TBH=∠ABE.

又∵∠BTH=∠BEA=90º，

BT=BE=b，

∴RtΔHBT≌RtΔABE.

∴HT=AE=a.

∴GH=GT―HT=b―a.

又∵∠GHF+∠BHT=90º，

∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90º，

∴∠GHF=∠DBC.

∵DB=EB―ED=b―a，

∠HGF=∠BDC=90º，

∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即

.

过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE

=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌

RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即

.

由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.

∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，

∴∠FQM=∠CAR.

又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，

∴RtΔQMF≌RtΔARC.即

.

∵

，

，

，

又∵

，

，

，

∴

=

=

，

即

.

【证法11】（利用切割线定理证明）

【证法12】（利用多列米定理证明）

【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）

【证法14】（利用反证法证明）

【证法15】（辛卜松证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为

；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为

=

.

∴

∴

.

【证法16】（陈杰证明）

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.

在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，

则AD=c.

∵EM=EH+HM=b+a,ED=a，

∴DM=EM―ED=

―a=b.

又∵∠CMD=90º，CM=a，

∠AED=90º，AE=b，

∴RtΔAED≌RtΔDMC.

∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.

∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180º，

∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90º，

∴∠ADC=90º.

∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.

∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90º，

∴∠BAF=∠DAE.

连结FB，在ΔABF和ΔADE中，

∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，

∴ΔABF≌ΔADE.

∴∠AFB=∠AED=90º，BF=DE=a.

∴点B、F、G、H在一条直线上.

在RtΔABF和RtΔBCG中，

∵AB=BC=c，BF=CG=a，

∴RtΔABF≌RtΔBCG.

∵

，

，

，

，

∴

=

=

=

∴

.