普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国卷3含答案docx.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国卷3含答案docx
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1
．已知集合
A
2
y
2
1，B=（x,y│）
yx，则AI
B中元素的个数为
=（x,y│）x
A．3
B．2
C．1
D．0
2．设复数z满足（1+i）
z=2i
，则∣z∣=
A．1
B．
2
C．2
D．2
2
2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了
2020年1月至2020年12月期
间月接待游客量（单位：
万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在
7,8
月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对
7
月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．（x+y）（2x-y）5的展开式中x3y3的系数为
A．-80
B．-40
C．40
D．80
5．已知双曲线
C：
x2
y2
1（
a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为
y
5x,且与椭圆x2
y2
1有公共
a2
b2
2
12
3
焦点，则C的方程为
A．x2
y2
1
B．x2
y2
1
C．x2
y2
1
D．x2
y2
1
8
10
4
5
5
4
4
3
6．设函数f（x）=cos（x+
），则下列结论错误的是
3
A．
f
（）的一个周期为-2π
B．=（
x
）的图像关于直线
x
=8
对称
x
y
f
3
C．
f
（+π）的一个零点为
x
=
D．
（
）在（
π）单调递减
x
6
f
x
2
7．执行下面的程序框图，为使输出
S的值小于
91，则输入的正整数
N的最小值为
A．5
B．4
C．3
D．2
8．已知圆柱的高为
1，它的两个底面的圆周在直径为
2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A．π
B．3π
C．π
D．π
4
2
4
9．等差数列
an
的首项为
1，公差不为
2
3
6
an前6
项的和为
0．若a
，a
，a成等比数列，则
A．-24
B．-3
C．3
D．8
10．已知椭圆C：
x2
y2
1
，（ab
）的左、右顶点分别为
A1，A2，且以线段
A1A2为直径的圆与直线
a2
b2
>>0
bxay2ab0相切，则C的离心率为
A．
6
B．
3
C．
2
D．1
3
3
3
3
11．已知函数
2
x1
x1
f（x）x
2x
a（e
e
）
有唯一零点，则
=
a
A．
1
B．1
C．1
D．1
2
3
2
uuur
uuur
uuur
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与
BD相切的圆上．若AP=
AB+
AD，
则+的最大值为
A．3B．22C．5D．2
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
xy0
13．若x，y满足约束条件xy20，则z3x4y的最小值为__________．
y0
14．设等比数列an
满足
a1+a2=–1,a1
–a3=
–3，则a4=___________．
x
，
，
1
1
x0
1的x的取值范围是_________。
15．设函数f（x）
x，
x
，则满足f（x）
f（x）
2
0
2
16．，
b
为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形
的直角边
所在直线与
a
，
b
都垂直，斜边
a
ABC
AC
AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线
AB与
a成
60°角时，
AB与b成
30°角；
②当直线
AB与
a成
60°角时，
AB与b成
60°角；
③直线
AB与
a所成角的最小值为
45°；
④直线
AB与
a所成角的最小值为
60°；
其中正确的是
________。
（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：
共
70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第
17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。
第
22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27,b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积．
18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶
4元，售价每瓶
6元，未售出的酸奶
降价处理，以每瓶
2元的价格当天全部处理完．
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温
（单位：
℃）
有关．如果最高气温不低于
25，需求量为
500瓶；如果最高气温位于区间
[20，25），需求量为
300瓶；如
果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温
数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：
平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C
的余弦值．
20．（12分）
已知抛物线C：
y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：
坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
21．（12分）
已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（1）若f（x）0，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数
n，（1+
1
1
1
2
）（1+
22
）K（1+
2n）﹤m，求m的最小值．
（二）选考题：
共
10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程
]（10分）
在直角坐标系
xOy中，直线l
1的参数方程为
x
2+t,（t
为参数），直线
l2的参数方程为
y
kt,
x2
m,
l
l
k
P
m
（m为参数）
．设
1与
2的交点为，当
变化时，
的轨迹为曲线
．
P
C
y,
k
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
l：
ρ（cosθ+sinθ）-
2=0，M为l
3
3
与C的交点，求M的极径．
23．[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围．
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题正式答案
一、选择题
1.B
2.C
3.A
4.C
5.B
6.D
7.D
8.B
9.A
10.A
11.C
12.A
二、填空题
13.-114.-815.
（-
1，+
）16.②③
4
三、解答题
17.解：
（1）由已知得tanA=3，所以A=2
3
在△ABC中，由余弦定理得
284
c2
4ccos
2
，即c2+2c-24=0
3
解得
c
（舍去），
c
=4
6
（2）有题设可得
CAD=
2
，所以
BAD
BAC
CAD
6
1ABgADgsin
6
2
1
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
1ACgAD
2
1
4
2sin
BAC2
3，所以
ABD的面积为3.
又△ABC的面积为2
18.解：
（1）由题意知，
X所有的可能取值为
200,300,500
，由表格数据知
P
X
200
2
16
0.2
90
P
X
300
36
0.4
90
P
X
500
25
7
4
0.4.
90
因此X的分布列为
X200300500
P0.20.40.4
⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500
当300≤n≤500时，
若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间
20，,25
，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;
若最高气温低于20
，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+（800-2n）
×0.2=640-0.4n
当200≤n300时，
若最高气温不低于
20，则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20
，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;
因此EY=2n×（0.4+0.4）+（800-2n）
×0.2=160+1.2n
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为
520元。
19.解：
（1）由题设可得，
ABDCBD,从而AD
DC
又ACD是直角三角形，所以
0
ACD=90
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于
ABC是正三角形，故BO
AC
所以
DOB为二面角D
AC
B的平面角
在Rt
AOB中，BO2
AO
2
AB2
又AB
BD,所以
2
2
2
2
2
2
，故
0
BO
DOBO
AO
AB
BD
DOB=90
所以平面ACD
平面ABC
（2）
由题设及
（1）知，
uuur
uuur
OA,OB,OD
两两垂直，以
O
为坐标原点，
的方向为x轴正方向，
OA
为单位长，
OA
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则
（1，0，0）,
（0，3，0）,
（1，0，0）,
（0，0，1）
A
B
C
D
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体
ABCD的体积的
1，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距
2
离的
1
3
1
.故
，即E为DB的中点，得E0，
2
，
2
2
uuur
uuur
uuur
3
1
AD
1，0，1，
2，0，0，
1，，
AC
AE
2
2
uuur
0，
设n=x,y,z
是平面DAE的法向量，则
ngAD
uuur
即
ngAE
0，
可取n=1,
3
1
3
uuur
0，
设m是平面AEC的法向量，则
mgAC
uuur
同理可得m
mgAE
0，
则cosn,m
ngm
7
nm
7
7
所以二面角D-AE-C的余弦值为
7
20.解
（1）设Ax1,y1,Bx2,y2,l:
xmy2
x
my
2
2my
4
0,则yy4
由
可得y2
y2
2x
1
2
2
2
y1y2
2
又x1=y1,x2
=y2,故x1x2=
=4
4
2
2
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
y1gy2=-4=-1
x1x2
4
所以OA⊥OB
故坐标原点O在圆M上.
x
z
0
x
3
y
1
0
2
z
2
0,1,3
（2）由
（1）可得y1+y2=2m,x1+x2=my1+y2
+4=2m2
4
故圆心M的坐标为
m2+2，m，圆M的半径r
m2
2
m2
2
uuuruuur
y2y20
由于圆M过点P（4，-2），因此
APBP0,故x4x4
g
1
2
1
2
即x1x24x1+x2
y1y22y1y2200
由
（1）可得y1y2=-4，x1x2=4，
所以
2m2
m
1
0
，解得m
1或m
1
.
2
当m=1时，直线
l
的方程为
x-y-2=0
，圆心
M的坐标为（3,1），圆M的半径为10
，圆M的方程为
x
2
y
1
2
10
3
当m
1
4
0，圆心M的坐标为
9
1
85
时，直线l的方程为2xy
，-
，圆M的半径为
，圆M的方
2
4
2
4
程为
x
9
2
+
y+
1
2
85
4
2
16
21.解：
（1）fx的定义域为0，+.
①若a0
，因为f
1
=-1+aln2＜0，所以不满足题意；
2
2
②若a＞0，由
f'x
1
a
xa知，当
时，
＜
；当
，
时，
＞
，所
x
x
x
0,a
f'
x
0
x
a+
f'x
0
以f
x在
0,a单调递减，在
a，+
单调递增，故
x=a是f
x
在x
0，+
的唯一最小值点.
由于
f1
0
，所以当且仅当
=1时，
f
x
0
.
a
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