数学圆和圆的位置关系.docx
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数学圆和圆的位置关系
《圆和圆的位置关系》教学设计
一、教学分析
（一）教学内容分析
《圆和圆的位置关系》是人教实验版九年级上第二十章第二部分第三节的学习内容，之前学习了点和圆的位置关，以及直线和圆的位置关系。
这一节是即上节内容的基础上对两圆位置关系进行的更深入的研究和讨论，在整个的几何学习的过程中，在几何的教学内容中起了承上启下的作用。
因此本节课的内容对知识起到了承上启下的作用。
学生亲自参与发现和探究圆与圆的位置关系，确立问题、提出假设、验证分析和总结归纳，培养了学生心理上的、情感上的、从未知到求知到已知的对事物的认知和应用的学习过程。
为此，我把探索并了解圆和圆的位置关系作为教学重点。
（二）教学对象分析
九年级的学生在义务教育阶段属于年龄最大的学生，对世界和事物的认识已有了自己相应的判断，对几何的学习也已打下了一定的基础。
圆在生活中无处不在，小到纽扣、瓶盖、顶针，大到光盘、车轮、月亮，学生虽然对圆有了一定的认识，对圆的性质却知之甚少。
虽然九年级学生对事物的抽象和转化的能力有限，但是对新事物的理解力和吸收能力极强，因此在进行教学设计的时候要针对教学对象的特点，让以学生为主体的思想贯彻始终。
让学生动起来，主动去发现并解决问题，让学生在整个学习过程中围绕“主动实践→猜想结论→运用解题”的学法学习。
二、教学目标
（一）知识与技能
1．探索并了解圆与圆的位置关系；
2．探索两圆圆心距与两圆半径间的数量关系；
3．能够利用圆与圆的位置关系和数量关系解题。
（二）过程与方法
1．学生经历操作、探究、归纳、总结圆与圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力；
2．学生历经探索圆与圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系的过程，培养学生运用数学语言表述问题的能力；
3．学生在探索圆与圆的位置关系的过程中，学会运用数形结合的思想解决问题；
4．学生通过对新知识的理解和吸收，将其转化成自己的知识，应用到实际生活当中，对一些事物进行判定。
（三）情感态度与价值观
学生经过探究等数学活动，在理解新课的基础上，学会自主学习和自我评判，学会沟通交流、团结互助和集体协作的思维能力，培养认识事物的情感态度。
三、教学重点难点
（一）教学重点
两圆位置关系的识别方法及性质的探索过程。
（二）教学难点
用数量关系来刻画两圆的位置关系。
四、教学过程
（一）引导回忆、复习旧知
师：
复习直线与圆的位置关系，引导学生从公共点的个数和圆心到直线的距离两方面体会直线与圆的不同位置关系。
（利用几何画板，呈现直线与圆的位置关系图）
（学生结合图片积极回答）
（2）创设情境、提出问题
师：
播放日食形成的视频（
GI/）让学生边看边思考日食形成过程中月亮和太阳的位置关系有哪几种。
（学生积极回答）
师：
同学们还记得2008年北京奥运会的五环图片长什么样子吗？
（教师展示奥运会五环图片让学生观察）图片中圆与圆的位置关系是什么？
我们日常生活中见到的圆和圆的位置关系有哪些？
（学生积极回答）
同学们现在你能想到两个圆的位置关系有哪几种？
每种位置关系中两个圆有多少个公共点？
现在我们利用几何画板开始探究圆与圆的位置关系！
（3）布置任务
1.学生以小组为单位，利用几何画板探究圆与圆的位置关系有哪些，并总结出每种位置关系两圆的公共点个数，以及两圆的圆心距d和两圆半径（R、r）的数量关系，然后填写到表1中。
表1两圆的位置关系
两圆位置关系
两圆公共点个数
测得的圆心距（d）
圆心距d与半径R、r的关系
2.根据两圆公共点的个数类比直线和圆的位置关系定义，总结出两圆位置关系的定义。
（在此过程中，教师可以穿插讲解圆心距的概念）
（四）小组合作探究
1.组建小组，制定探究方案
1.教师按照就近分组的原则，将全班分成若干小组，每组3—5人，然后选出每组的小组长；
2.各小组明确探究任务的基础上，交流讨论，提出猜想，制定探究方案；
3.组内分工，明确每名组员的职责，主要包括：
谁负责操作、谁收集整理资料、谁记录探究过程得出的结果、监控探究过程、演示汇报等；
4.在开展探究前，阅读评价量表，明确探究需要达到的目标。
2.小组开展探究活动
各小组在明确探究计划、组内分工的基础上，利用几何画板，结合网络，开展探究学习。
3.成果展示
小组派代表利用几何画板班汇报演示探究过程，师生结合探究学习评价表）对探究学习活动进行评价，教师进行总结。
五、评价量表
探究学习评价量表
一级指标
二级指标
等级标准
情感态度投入状况20分
1.积极参与此次探究活动的学习。
A10分
B8分
C6分
D3分
2.进行探究活动时，能坚持到底，不半途而废。
3.在探究过程中，遇到困难，会积极想办法解决难题。
知识技能运用情况20分
1.能够对几何画板进行娴熟的操作。
A10分
B8分
C6分
D3分
2.在探究过程中，能够从教师提供的资源中提取有效的信息，并将它们随时记录下来。
3.能够将所学得知识运用到探究过程中。
探究与合作能力
30分
1.积极参与小组活动，分工明确，主动承担小组任务，有效的完成任务，并能发现问题，能主动探究。
A10分
B8分
C6分
D3分
2.能尊重他人，认真倾听他人的观点，营造一个和谐的氛围。
3.虚心向他人学习，敢于发表自己的见解，做到成果共享、携手共进。
4.能与人合作探究，完成任务，在活动中有自己的计划、记录、成果、作品等。
学习成果
（20分）
学科知识
10分
1.能准确说出圆与圆的位置关系。
A10分
B8分
C6分
D3分
2.掌握了两圆圆心距与两圆半径间的数量关系。
成果展示
10分
1.积极主动参与报告发言，能够流利、准确、清晰表达探究结果。
A10分
B8分
C6分
D3分
2.能够将对探究问题有用的资料完整的整理、记录下来。
3.能够顺利的完成探究，得到较为完整的探究结果。
4.探究报告论述清楚，有条理，证据充分，组织严密，内容丰富完整，形式规范，语言流畅，有说服力和感染力。
其他
10分
1.学习过程有满足、喜悦与成功等体验，对后续学习更有信心。
A10分
B8分
C6分
D3分
2.能总结当堂学习所得，或反思整个探究过程，加深对知识的理解。
学生的活动
✧第一小组探究成果：
一、提出猜想
我们依据点、直线与圆的位置关系可以推测出，圆于圆的位置关系可能有相离、相切、相交、内含等几种。
2、确定探究方案
1.现在几何画板中，利用菜单栏中的“圆”工具，画两个不同半径的圆，取圆心为O1、O2；
2.再利用几何画板中的“度量”功能量出两圆的半径；
3.算出两半径之和、之差。
三、验证猜想
将两圆中的圆O1固定，任意移动O2，观察并记录发生的变化。
1.两圆相离
由画出的两个圆可以看出，两圆之间存在相离的关系，移动O2可以观察到两圆心之间的距离d发生的变化，从下面的图中可以看出此变化：
图1d=5.77厘米图2d=8.55厘米
图3d=10.99厘米
由上面的这些图可以看出，当两圆相离时，它们无交点，而且两圆心间的距离d都是大于R+r。
2.两圆相交
将圆O2向左移动靠近圆O1，两圆会出现相交的现象，所以两圆的位置关系呈相交，圆心距d也会随着发生变化，如下图所示：
图4d=0.86厘米
图5d=2.65厘米
图6d=4.85厘米
由上面的图可以总结出，当两圆相交时，它们有两个交点，而两圆心间的距离d>R+r。
3.两圆相切
（1）外切
移动圆O2，使其与圆O1有且只有1个交点，而且圆O2还在圆O1的外侧，此时两圆间的位置关系是外切，如下图所示：
图7d=5.19厘米
由上图可以得出，当两圆外切时，两圆有且只有一个交点，两圆心间的距离d=R+r。
（2）内切
移动圆O2到圆O1的内部，且两圆有一个交点，此时两圆呈内切的位置关系，具体如下图所示：
图8d=0.77厘米
由图可以得出，当两圆内切时，它们有且只有一个交点，两圆心的距离d=R-r。
4.两圆内含
继续移动圆O2，可以发现，圆O1和圆O2没有了交点，两圆之间呈内含的关系，圆心距d也会发生变化，如下图所示：
图9d=0.24厘米图10d=0.45厘米
图11d=0.64厘米
由上图可以得出，当两圆的位置关系是内含时，它们没有交点，而且圆心距d四、得出结论
通过上面的探究，可以得出两圆将都有哪些位置关系，及它们的交点个数和圆心距，具体可以看下表：
两圆位置关系
两圆公共点个数
测得的圆心距（d）
圆心距d与半径R、r的关系
相离
0
d1=5.77厘米
d>R+r
d2=8.55厘米
d3=10.99厘米
相切
内切
1
d=0.77厘米
d=R-r
外切
1
d=5.91厘米
d=R+r
相交
2
d1=0.86厘米
R-rd2=2.65厘米
d3=4.85厘米
内含
0
d1=0.24厘米
dd2=0.45厘米
d3=0.64厘米
✧第二小组探究成果
一、提出猜想
我们依据点、直线与圆的位置关系可以推测出，圆于圆的位置关系可能有相离、相切、相交、内含等几种。
二、确定探究方案
1.先在几何画板中画两条不同长度的线段；
2.再画一条直线，在直线上任意取两点；
3.分别以这两个点为圆心O1、O2，两条线段为R、r作两个圆。
（两圆心间的距离为d）
三、验证猜想
固定其中圆O1，移动圆O2，观察发生的变化。
1.两圆相离
在两圆之间任取一点E，设置由圆心O2到点E的动作按钮，点击该按钮可得到下面的图形：
由上图可以看出当两圆相离时，它们无交点，O1、O2间的距离大于R+r。
2.两圆相切
（1）在圆O1上取一与直线的交点F，以O2C的长度为标准，做FF’，确定点F’的位置，做由O2到F’的移动按钮，点击按钮可得到下图：
通过该图可以看出，当两圆有一个公共点，且O1、O2间的距离等于两圆半径之和（R+r）时，两圆呈外切的关系。
（2）取圆O1与直线的焦点F，以O2D的长为标准，作FF’，确定F’的位置，做O2到F’的移动按钮，点击按钮得到下图：
由此图可以得出，当两圆有且只有一个公共点，且两圆心间的距离等于两圆半径之差（R-r）时，两圆呈内切的关系。
3.内含
在圆O1内，取直线上一点N，设置由圆心O2向点N移动的按钮，点击该按钮可得到下图：
当两圆间无公共交点，且两圆心间的距离d小于两圆半径之差（R-r）时，两圆呈内含的关系。
4.相交
在线段O1F上取点E，做由圆心O2向点E移动的按钮，点击按钮，可得到下图:
当两圆有两个交点，圆心距d大于两圆半径之差，且小于两圆半径之和时，两圆呈相交关系。
四、得出结论
两圆位置关系
两圆公共点个数
测得的圆心距（d）
圆心距d与半径R、r的关系
相离
0
d1=5.85厘米
d>R+r
d2=6.01厘米
d3=7.83厘米
相切（内切/外切）
1
d=0.87厘米（内切
d=R-r
d=5.21厘米（外切）
d=R+r
相交
2
d1=1.75厘米
R-rd2=2.65厘米
d3=1.43厘米
内含
0
d1=0.58厘米
dd2=0.56厘米
d3=0.64厘米
表1两圆的位置关系
通过探究活动可以看出：
（1）当两圆相离时，有一个公共点，d>R+r；
（2）当两圆相交时，有两个公共点，R-r（3）当两圆相切时，有1个公共点，d=R+r/d=R-r。
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