自动控制原理(中英文对照李道根)习题2题解.pdf

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Solutions1SolutionsP2.1Thefollowingdifferentialequationsrepresentlineartime-invariantsystems,where）（trdenotestheinputand）（tcdenotestheoutput.Findthetransferfunctionofeachofthesystems.（a）（）（6d）（d11d）（d6d）（d2233trtcttcttcttc（b）（d）（d2）（d）（d4d）（d3d）（d2233trttrtcttcttcttcSolution:

（a）TakingLaplacetransform,assumingzeroinitialconditions,wehave）（）（6）（11）（6）（23sRsCssCsCssCsHence,thetransferfunctionis61161）（）（23ssssRsC（b）Inasameway,wehave）（）

（2）（6）（4）（3）（23sRssRsCssCsCssCs14312）（）（23sssssRsCP2.2Amass-spring-dampersystemisshowninFig.P2.2.Determinethedifferentialequationbetweentheinputforcefandtheoutputdisplacementx.Solution:

UsingNewtonssecondlawyields22d）（dd）（d）（）（ttxMttxBtKxtfRearranginginanormalizedformgets）

（1）（d）（dd）（d22tfMtxMKttxMBttxP2.3Determinethetransferfunction）（）（2sFsXforthesystemshowninFig.P2.3.Bothmassesslideonafrictionlesssurface,andMNK/1.Solution:

UsingNewtonssecondlawforbothmassesyieldsfxxKtxxM）（d）（d2122121222221dd）（txMxxKTakingLaplacetransformyields）（）（）（）（）（212121sFsXsXKsXsXsMSolutions2）（）（）（22221sXsMsXsXKEliminatingtheintermediatevariablesresultsin）2

（1）（）（22sssFsXP2.4AthermistorhasaresponsetotemperaturerepresentedbyTeRR1.00whereRisresistance,TistemperatureindegreesCelsius,and100000R.FindthelinearizedmodelforthethermistoroperatingatCT20andforasmallrangeofvariationoftemperature.Solution:

ExpandingtheexpressionofthermistorintoTaylorsseriesintheneighborhoodofspecifiedtemperature,wehaveTTtRTRtRTT0d）（d）（）（0,CT200where3.13510001.0d）（d21.0000eeRTtRTTTTT.Hence,thelinearizedmodelforthethermistor,atCT20,isT.R3135P2.5Obtainthetransferfunctions,）（）（sVsVio,forthepassivenetworksshowninFig.P2.5.Solution:

UsingKirchhoffslaws,wehave（a）1）（111）（）（212212CsRRCsRCsRRCsRsVsVio（b）212112122112111）（）（RRCsRRCsRRRRRCsRCsRRsVsVio（c）（）（）1（）（）（）（）（）2（）（）

（1）

（1）

（1）

（1）（2112112ssVRCsVsRCsVsVsVsVsRCssVCsVsCRsVRsVRsVRsVsCRioAioAioAioAovCiv1R2R（a）ovCiv1R2R（b）ov1CivRR（c）2CFigureP2.5.Solutions31）2（12）（）（21221212212sCCRsCCRsRCsCCRsVsVioP2.6Obtainthetransferfunctions,）（）（sVsVio,fortheactivenetworksshowninFig.P2.6.Solution:

UsingKirchhoffslaws,wehave（a）00100001）1（）1（）1（）（）（RCsRRsCRsCRRsVsVio（b）sCRsCRRsCRsCRsCRsVsVio10001000011）1（）1（）1（）1（）（）（c）11）（）（）

（1）（）

（1）

（2）

（1）（211221221A222111sCRsCRRRsVsVsVRRsVsVRsVsCRsVRsVsCRioBoBiA（d）30313221232110）（）（）

（1）（111）

（1）（1ZZZZZZZZsVsVsVZsVZZZsVZsVZiooAAiKK0R1R0CovovivivKovivK0R1R0Coviv1C（a）（b）（c）（d）0C0R0R0R1R1Z1R2Z3Z1CFigureP2.6.Solutions4P2.7Drawablockdiagramshowingallthevariablesforthesystemdescribedbythefollowingsetofdifferentialequations.）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（5022453452311211txKtctctnKtxtxtxxTtxtxtxtxKtxtntctrtxwhere）（tristheinput,）（tcistheoutput,）（1tnand）（2tnaretwodisturbances,0K,1K,2K,andTareconstants.Solution:

TakingLaplacetransformwithzeroinitialconditionsandwritingtheresultinacause-and-effectformyields）（）1（）（）（）（）（）

（1）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（502245345231121150222453452311211sxssKsCsNKsXsXsXTssXsXsXsXsXKsXsNsCsRsXsxKssCsCssNKsXsXsXsTsXsXsXsXsXKsXsNsCsRsXRearrangingthevariables）（sR,）（1sX,）（2sX,）（3sX,）（4sX,）（5sXand）（sCfromlefttorightinorder,wehavetheblockdiagramasshown.P2.8Asystemisdescribedbythefollowingsetofequations:

）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（3452333612287111sXsGsCsCsGsXsGsXsXsGsXsGsXsCsGsGsGsRsGsXDrawtheblockdiagramshowingallthevariablesforthissystemandfindthetransferfunctionfor）（）（sRsC.Solution:

TakingLaplacetransformwithzeroinitialconditionsandwritingtheresultinacause-and-effectform,itisnotdifficulttogettheblockdiagramasshown.R1GTs1）1（0ssK2KC2N1N1X2X3X4X5XR1GC1X2X3X2G6G3G4G5G7G8GSolutions51G2G3G4G）（2sR）（1sC）（1sR）（2sCFigureP2.9.P2.9AsystemwithtwoinputsandtwooutputsisshowninFig.P2.9.Determinethetransferfunctions）（）（11sRsC,）（）（21sRsC,）（）（12sRsC,and）（）（22sRsC.Writetheexpressionsof）（1sCand）（2sC.Solution:

Thetransferfunctionisadescriptionofoneinputtooneoutput.Letting0）（2sR,weget）（）（）（）

（1）（）（）（4321111sGsGsGsGsGsRsC）（）（）（）

（1）（）（）（）（）（432132112sGsGsGsGsGsGsGsRsCLetting0）（1sR,weget）（）（）（）

（1）（）（）（）（）（432114321sGsGsGsGsGsGsGsRsC）（）（）（）

（1）（）（）（4321322sGsGsGsGsGsRsCTheexpressionsof）（1sCand）（2sCaregivenby）（）（）（）（）

（1）（）（）（）（）（）（）（）

（1）（）（243214311432111sRsGsGsGsGsGsGsGsRsGsGsGsGsGsC）（）（）（）

（1）（）（）（）（）（）（4321243111sGsGsGsGsRsGsGsGsRsG）（）（）（）

（1）（）（）（）（）（）（）（43212313212sGsGsGsGsRsGsRsGsGsGsCrespectively.P2.10Byblockdiagramdeductionfindthetransferfunctionsoffollowingsystems.RGHCR1G2GHR1G2G3G3H2H1HC（d）（b）（a）CR1G2GHC（c）FigureP2.10.Solutions6Solution:

（a）HGHHGHGHGsRsC1）1（11）（）（b）HGGGsRsC22111）（）（）（HGGG2211（c）HGGGsRsC12111）（）（）（HGGG1211（d）22331132131233321113332111）1）（1（11111）（）（HGHGHGGGGGGHHGGGHGGHGGGHGGsRsC31313322113211HHGGHGHGHGGGGP2.11Forthefollowingsystems:

Derivethetransferfunctionsfor）（）（sRsCand）（）（sNsCbyblockdiagramdeduction.）（sR1G2G3GH）（sC）（sN1G2G3G2H1H（b）（sN）（sC）（sR（a）FigureP2.11.RGHCRGHH1CR1G2GHCR1G2GHG2CR1G2GHCR1G2GHG1CR1G2G3G3H2H1HCR1G2G3G3H2H1HC31G11GSolutions7Solution:

（a）HGGGGsRsC11）（）（2121HGGGGsRsC111）（）（2132（b）221212112212211111）（）（HGHGGGGHHGGGHGGGsRsC22121312212122311）1（111）1（）（）（HGHGGGGGHGHGGHGGGGsRsC）（sR1G2G3GH）（sC）（sN）（sR1G2GH1）（sC）（sR1G2G3GH）（sC）（sN1G2G3GH1）（sC）（sN32GG）1（21HGG）（sN）（sC1G2G3G2H1H）（sN）（sC）（sR1G2G2H1H）（sC）（sR1G2G3G2H1H）（sN）（sC）（sR3G2G2H1H）（sC）（sN1G13GG2221HGG11HG）（sC）（sNSolutions8P2.12Byblockdiagramdeductionfindthetransferfunctionsofthefollowingsystems.Solution:

（a）22112312212211221131）（111）1（）（）（HGGHGGGGHHGGGHGGGGGsRsC（b）1432123213324321142433232143323211111）（）（HGGGGHGGGHGGGGGGhGHGHGGGGGGHGGGGGsRsC）（sR1G2G3G1H）（sC（b）（a）2H2H1H）（sR1G2G3H）（sC3G4G2H1H）（sR1G2G3H）（sC（c）（d）2H1H）（sR1G2G3H）（sC3G4GFigureP2.12.）（sR1G2G3G1H）（sC2H）（sR1G2G13GG1H）（sC2H2H1H）（sR1G2G3H）（sC3G4G42GH1H）（sR1G32GG3H）（sC4GSolutions9）（sRK）（sH）（sC）（sE）5（2ssFigureP2.13.（c）2111211211111）1（11）（HHHGHHGHHHGGsGe322111211221112113221）1（11）1

（1）（）（HGHHHGHHGGHHHGHHGHGGGGsRsCee32121321211121211）1（HHHGGHGGHHHGHHGG（d）41241134343213434321111）（）（GGHGGHHGGGGGGHGGGGGGsRsC1432123234343211HGGGGHGGHGGGGGGP2.13Forthesystemshowninthefigure,determineK,and）（sHifitisrequiredthatthefeedforwardtransferfunctionofthesystem）20）（5（）10（100）（）（sssssEsCSolution:

Thereisarelationforthesystem,mathematically,）（）（）（）（）（）（sEsRsRsCsEsCCalculatingKsHssKssKsssHssKsRsC2）

（2）5

（2）5

（2）5（）（21）5

（2）（）（2H1H）（sR1G2G3H）（sC2111HHH）（sR1G2G3H）（sCeG2H1H）（sR1G2G3H）（sC3G4G2H1H）（sR11G21GG3H）（sC43GG41G4121GGHH）（sR21GG）（sC343431HGGGGSolutions10KsHsssHssssKsssHsssHsRsE2）

（2）5（）

（2）5（）5

（2）5（）（21）5（）（21）（）（weget）20）（5（）10（100）

（2）5

（2）（）（sssssHssKsEsCHence,thefinalresultis50K,10）5（5）（ssssHP2.14ArethetwosystemsshowninFig.?

P2.14（a）and（b）equivalent?

Explain.Solution:

Thetwosystemsarenotequivalent,becausethethreeloopsin（a）arenontouching,however,theloopsadandbe,beandcfin（b）aretouching.Infact,usingMasonsformula,wehaveadbecfbecfadcfadbecfbeadabcsXsY1）（）（11adcfcfbeadabcsXsY1）（）（22P2.15Findtheoveralltransferfunctionsforthefollowingsystems.Solution:

Usingmasonsformula,wehave（a）cgbchcgbchfabcdesRsC1）1（）（）（1x1yabcde11fabcfde112x2yFigureP2.14.）（sR）（sCabcde11（a）fgh）（sR）（sCabcde1（b）fgh）（sR）（sCabcde11（c）fgh）（sR）（sCabcde1（d）fgh1FigureP2.15.Solutions11（b）afchefghchbgafbgedabcdsRsC1）1（）（）（c）afchchbgafchbgeabcdsRsC1）1（）（）（d）aedfchfehgbgaedabcdfaeabcsRsC1）1（）（）（P2.16Findthetransferfunctionforthemulti-loopcrossingsystemshowninFig.P.2.16.Solution:

Therearefiveloopsandfourforwardpaths.Hencewehave212121211GGGGGGGG11Gp,1122Gp,12213GGp,13213GGp,1321212121312）（）（GGGGGGGGsRsCP2.17DrawequivalentsignalflowgraphsfortheblockdiagramsinFig.P.2.12.FindthetransferfunctionsbyuseofMasonsformula.Solution:

（a）2211222211）（）（HGGHGGGGGsRsC（b）2211222211）（）（HGGHGGGGGsRsC）（sR1G2G）（sCFigureP2.16.）（sR1G2G3G1H）（sC2H1RC3G1G2G112H1H1R3G1G2G12H1H2H1H）（sR1G2G3H）（sC3G4GC14G3HSolutions12（c）32121321211121211）1（）（）（HHHGGHGGHHHGHHGGsRsC（d）1432134323243211）（）（HGGGGHGGHGGGGGGsRsC11R1G2G12H1HC13H2H1H）（sR1G2G3H）（sC13G4G1R1G2G2H1HC3H12H1H）（sR1G2G3H）（sC3G4G