特殊三角形复习学案.docx
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特殊三角形复习学案
特殊三角形复习
课标要求
（1）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。
探索并掌握等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
探索等边三角形的性质定理：
等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：
三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
（2）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：
直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
课标分析
从知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等四个方面阐述
（1）、知识与技能
掌握基本的证明方法和基本的作图等技能；掌握基本的推理技能。
（2）、数学思考在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。
能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式
（3）、问题解决
尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。
经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
（4）、情感与态度
感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。
在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。
教学目标：
1、知道等腰三角形的轴对称性及对称轴；
2、掌握等腰三角形和等边三角形的有关性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。
3、掌握直角三角形的性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。
4、掌握勾股定理及其逆定理，进一步理解数形之间的联系。
教学重点：
等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定，勾股定理。
教学难点：
灵活运用等腰三角形、直角三角形的性质和判定，进行有关计算和证明。
教学过程
【自主练习】
自主完成课件“自主尝试”环节。
【知识回顾】
1．等腰三角形：
（1）性质：
相等，相等，底边上的高线、中线、
顶角的角平分线“三线合一”；
（2）判定：
有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形．
2．等边三角形：
（1）性质：
相等，三内角都等于；
（2）判定：
三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三
角形是等边三角形．
3．直角三角形：
在△ABC中，∠C＝90°.
（1）性质：
边与边的关系：
（勾股定理）a2＋b2＝；
（2）角与角的关系：
∠A＋∠B＝；
（3）边与角的关系：
若∠A＝30°，则a＝c，b＝c；
若a＝c，则∠A＝30°；若∠A＝45°，则a＝b＝c；
若a＝c，则∠A＝45°；斜边上的中线m＝c＝R.其中R为三角形外接圆的半径．
（4）判定：
有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
【基础自测】
1．（2011·）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是（ ）
A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm
2．（2011·）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ）
A．等腰三角形两底角相等
B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互
相重合
C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形
3．（2011·）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为（ ）
A．2 B．4C．3 D．4
4．如图，在
中，
，
，点
为
的中点，
，垂足为点
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）
A．4
B．3
C．2
D．
题型分类深度剖析
题型一 等腰三角形有关边角的讨论
【例1】
（1）方程x2－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12B．12或15C．15D．不能确定
（2）如果等腰三角形的一个内角是80°，那么顶角是________度．
探究提高 在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底，
也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨
论．
变式训练1
（1）（2011·株洲）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.
①求∠ECD的度数；
②若CE＝5，求BC长．
（2）（2011·）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为___________________．
题型二 等腰三角形的性质
【例2】 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，且AE＝BF，试判断△DEF的形状．
变式训练2 已知：
如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF.当D点在什么位置时，DE＝DF？
并加以证明．
题型三 等边三角形
【例3】
（1）已知：
如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数．
（2）（2010·大兴安岭）如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边
三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点
O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，
则下列结论：
①AE＝BD；
②AG＝BF；
③FG∥BE；
④∠BOC＝∠EOC.
其中正确结论的个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式训练3 如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.
（1）求证：
AD＝CE；
（2）求∠DFC的度数．
题型四 直角三角形、勾股定理
【例4】
（1）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是（ ）A．2B．2C．4D．7
（2）如图，在钝角三角形ABC中，BC＝9，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC，交BC的延长线于D，求AD的长．
变式训练4
（1）如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6C．16D．55
（2）（2011·鸡西）已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为__________cm2.
三角形的高可能在形外
在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC的度数
易出错的等腰三角形问题
已知△ABC是等腰三角形，由A所引BC边上的高恰好等于BC边长的一半，试求∠BAC的度数．
总结提醒
1．对于等腰三角形问题，当给出的条件（如边、角情况）不明时，一般要分情况逐一考察，否则，容易出现错解或漏解的错误．
2．当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角为直角时，腰上的高与另一腰重合；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外．这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时，应考虑的几个方面.
方法与技巧
1.掌握分类的思想和方法，可深入理解，有效记忆，便于应用．例如：
从三角形三边长的比较，可把三角形分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为等边三角形和其它等腰三角形；而从最大内角的大小出发，又可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．由于两种分类的标准不同，所以一个具体的三角形，在两种分类中，必各属于其中的一类．如等腰直角三角形，在第一种分类中，属于其它等腰三角形；在第二种分类中，属于直角三角形．
2.在一个三角形中“等边对等角，等角对等边”，当所要求证的两边、两角位于同一个三角形中，利用等腰三角形来论证它们的相等关系是常用的方法．
3.等腰三角形“三线合一”的性质，运用广泛而又灵活，在于三线中只要有任两线重合，则可判定三角形等腰，即第三线也重合．
4.证明等边三角形的方法一般有两种：
一是直接论证三边或三角相等；二是先证明是等腰三角形，再证明其中一角为60°.
5.在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有运用；在直角三角形中，含锐角30°、45°这两类是较为特殊的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在心．
失误与防范
1．在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因．实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形．
2．有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同样，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论．我们要细心谨慎，注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然．
3．在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定．在解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c就是斜边，从而造成误解．
当堂测试
考点一：
等腰三角形性质的运用
1、（2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是或4
．
2．（2012•）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=
BC，则△ABC底角的度数为（ ）
A．45°B．75°C．45°或75°D．60°
考点二：
线段垂直平分线
3、（2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（ ）
A．
B．2C．
D．4
4．（2012•）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）
A．3B．2C．
D．1
考点三：
等边三角形的判定与性质
5．（2012•）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
考点四：
角的平分线
6、（2012•）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=2
．
7．（2012•）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是2
．
考点五：
勾股定理
8、（2012•黔西南州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为．
9.（2012•新疆）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=
π，S2=2π，则S3是．
课下作业
1．（2012•）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）
A．3B．3.5C．2.5D．2.8
2．（2012•）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
A．-4和-3之间B．3和4之间C．-5和-4之间D．4和5之间
3．（2012•）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．18C．20D．16或20
4．（2012•）已知实数x，y满足|x-4|+
=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20
C．16D．以上答案均不对
5．（2012•）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
6．（2012•黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A．（2，0）B．（
，0）C．（
，0）D．（
，0）
7．（2012•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ）
A．
6
B．
7
C．
8
D．
9
8．（2012•）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．
20
B．
12
C．
14
D．
13
9．（2012•）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=3
．
10．（2012•黄冈） 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为36°
．
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