完整版三角形角平分线中线高线证明题.docx
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完整版三角形角平分线中线高线证明题
2．证题的思路：
找夹角（
）
性质
1、全等三角形的
SAS
已知两边找直角（HL）
对应角相等、对应边相
找第三边（
SSS
等。
）
2、全等三角形的
若边为角的对边，则找随意角（
AAS
）
找已知角的另一边（
）
已知一边一角
SAS
对应边上的高对应相
边为角的邻边找已知边的对角（
）
AAS
等。
找夹已知边的另一角（
）
ASA
3、全等三角形的
找两角的夹边（
）
对应角均分线相等。
已知两角
ASA
4、全等三角形的
找随意一边（
）
AAS
对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
（以上能够简称:
全等三角形的对应元素相等）
7、三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS）
8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（SAS）
9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
全等。
（ASA）
10、两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）
11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（HL）
全等三角形问题中常有的协助线的作法
常有协助线的作法有以下几种：
1）碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”．
2）碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”．
3）碰到角均分线，能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理．
4）过图形上某一点作特定的均分线，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5）截长法与补短法，详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定
线段相等，或是将某条线段延伸，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明．这类作法，合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特别方法：
在求相关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角
形各极点的线段连结起来，利用三角形面积的知识解答．
三角形协助线做法
图中有角均分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称此后关
系现。
角均分线平行线，等腰三角形来添。
角均分线加垂线，三线合一试
试看。
线段垂直均分线，常向两头把线连。
要证线段倍与半，延伸缩短可
试验。
三角形中两中点，连结则成中位线。
三角形中有中线，延伸中线等中线。
一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线
AD的取值范围是_________.
A
BDC
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，
A
试比较BE+CF与EF的大小.
E
F
BDC
3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：
AD均分∠BAE.
A
BDEC
二、截长补短
1、如图，ABC中，AB=2AC，AD均分BAC，且AD=BD，求证：
CD⊥AC
A
C
B
D
0
3、如图，已知在VABC内，BAC60，C400，P，Q分别在BC，
A
CA上，而且AP，BQ分别是BAC，ABC的角均分线。
求证：
BQ+AQ=AB+BP
B
Q
P
C
4、如图，在四边形
求证：
AC
ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD均分
0
ABC，
A
D
BC
5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上随意一点，求证;AB-AC
＞PB-PCA
1
2
P
B
C
D
三、借助角均分线造全等
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角均分线AD,CE
A
订交于点O，求证：
OE=OD
E
O
BC
D
A
2、如图，△ABC中，AD均分∠BAC，DG⊥BC且均分BC，DE⊥
E
AB于E，DF⊥AC于F.
B
G
C
F
（1）说明BE=CF的原因；
（2）假如AB=a，AC=，求AE、BE
b
D
的长.
三、解答题:
（共55分）
10.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MN⊥AB.
求证:
AN均分∠BAC.（7分）
A
12
M
BNC
11.已知:
如图AC、BD相交于点O,AC=BD,∠C=∠D=90°,求证:
OC=OD.（8分）
DC
O
AB
12.已知:
如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:
CF=DF.（8分）
A
BE
CFD
13.在△ABC中,BD、CE是高,BD与CE交于点O,且BE=CD,求
证:
AE=AD.（8分）
14.已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:
BD=DE+CE.（8分）
A
C
D
BC
EAB
15.已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:
△ABC是直角三角形?
（8分）
16.已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边,分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延伸DA交EF于点M.
（1）用圆规比较EM与FM的大小.
（2）你能说明由
（1）中所得结论的道理吗?
（8分）
F
M
E
A
BDC
全等三角形
1．将直角三角形（∠ACB为直角）沿线段CD折叠使B落在B’处，若∠ACB’=60°，则∠ACD度数为______．
A
A
D
B'
HE
C
B
第1题图
第2题图
B
第3题图
D
C
2．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成
的，若∠BAC=150°，则∠EFC的度数为_________．
3．已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线
段BH的长度为_______．
4．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、
CA上的点，
（1）若AD
BECF，问△DEF是等边三角形吗？
试证明你的结论；
A
F
D
B
E
C
（2）若△DEF是等边三角形，问ADBECF建立吗？
试证明你的结论．
5．以下图，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延伸线于M，求证：
2∠M=（∠ACB-∠B）
C
A
12
E
D
E
P
F
B
D
C
MA
F
B
6．△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数目关系，并说明原因．
7.已知：
如图，△ABC中，ABC45°，CDAB于D，BE均分ABC，
且BEAC于E，与CD订交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE订交于点G．
（1）求证：
（2）求证：
BFAC；
CE1BF；
2
A
A
D
F
E
D
G
110oO
B
H
C
B
C
8.如图，点O是等边△ABC内一点，AOB110o，BOC．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60o得△ADC，连结OD．
（1）求证：
△COD是等边三角形；
（2）当150o时，试判断△AOD的形状，并说明原因；
（3）研究：
当为多少度时，△AOD是等腰三角形？
9．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．①AD均分∠BAC；
②DE⊥AB，DF⊥AC；③AD⊥EF．以此三此中的两个为条件，另一个为结论，可组成三个命题，即①②?
③，①③?
②，②③?
①．
试判断上述三个命题能否正确，并证明你以为正确的命题．
A
E
G
F
BDC
10．已知：
如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，
交AC于点G，在GD的延伸线上取点E，使DEDB，连结AE，CD．
（1）求证：
△AGE≌△DAC；
（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连结AF，并判断△AEF
是如何的三角形，试证明你的结论．
A
EDG
BFC
11.以下图,已知点C为线段AB上一点,△ACM、△BCN是等边三角形.试说明:
（1）AN=BM;
（2）CD=CE
（3）连结DE，猜想：
①△CDE的形状②DE与AB的地点关系。
（3）若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形（以下图）,AN与BM的关系如何?
请说明原因.
12、工人师傅常用角尺均分一个随意角,做法以下:
以下图,∠AOB是一个随意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,挪动角尺,使角尺两边同样的刻度分别与M、N重合.过角尺极点P的射线OP即是∠AOB的均分线,依据做法,联合图形写出已知、求证、证明.
13、操作：
如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC
＝120°的等腰三角形，以D为极点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连结MN．
研究：
线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
14、已知:
如图分别以△ABC的每一条边,在三角形外作等边三角形,△ABD、△BCE、△ACF,求证：
CD＝AE＝BF.
15、已知：
如图,在等边三角形AB,AD=BE=CF,D,E,F不是各边的中
点,AE,BF,CD分别交于P,M,N在每一组全等三角形中,有三个三角形全等,在图中全等三角形的有几组？
请指出它们，而且选择一组给出证明
C
O
N
AMB
16.（2003·广东）如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.
（1）写出点O到△ABC的三个极点A、B、C的距离的关系（不证明）;
（2）假如点M、N分别在线段AB、AC上挪动,在挪动中保持AN=BM,请判断△OMN?
的形状,并证明你的结论.
2、如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D
DE
F
证明：
∠A=∠F
2
3
4
1
A
B
C
3、已知：
如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．求证：
BE⊥DE．
AB
4、如图，AB∥CD，求证：
∠A+∠C+∠AEC=360°
E
CD
5、如图，若AB∥CD，猜想∠A、∠E、∠D之间的关系，并证明之。
A
E
C
B
D
7、如图，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为AD的中点，在不添其余字母和线段的状况下，回答以下问题：
（1）图中哪一个三角形的面积与三角形ABE的面积相等？
（2）图中哪些三角形的面积与三角形ABC的面积相等？
（3）假如平行四边形ABCD的面积为8平方厘米，分别求出图中全部
三角形的面积。
A
D
E
BC
8、如图，已知S△ABC=5，S△BCD=,9，S△CDA=10，S△DAB=6，求S△OAB的值
A
B
O
C
10、以下图，AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C的度数。
D
D
E
C
F
12
AB
15、已知：
如图，AC∥DE，DC∥EF，CD均分∠BCD．
求证：
EF均分∠BED．
16、如图，已知
DE∥BC，EF均分∠AED，EF⊥AB，CD⊥AB，试说明
CD均分∠ACB。
A
F
DE
B
C
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